河北省邯郸市寿山寺乡寿山寺中学2023年高二数学理上学期期末试卷含解析

河北省邯郸市寿山寺乡寿山寺中学2023年高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是                （    ） A．       B．         C．         D． 参考答案： D 略 2. 对于R上可导的函数，若满足，则必有（   ） A．                    B．      C．                    D． 参考答案： C 略 3. 已知在时取得极值，则等于(　　) A．2 B．3                     C．4                         D．5 参考答案： D 4. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】正弦定理． 【分析】在锐角△ABC中，利用sinA=，S△ABC=，可求得bc，在利用a=2，由余弦定理可求得b+c，解方程组可求得b的值． 【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=， ∴bcsinA=bc=， ∴bc=3，① 又a=2，A是锐角， ∴cosA==， ∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA， 即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12， ∴b+c=2② 由①②得：， 解得b=c=． 故选A． 【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题． 5. 若，则“”是“方程表示双曲线”的   (    ) （A）充分不必要条件                     （ B）必要不充分条件 （C）充要条件                           （ D）既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 6. 已知f（x）=x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x=3时的值时，v3的值为（　　） A．27 B．11 C．109 D．36 参考答案： D 【考点】中国古代数学瑰宝． 【分析】秦九韶算法可得f（x）=（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1，进而得出． 【解答】解：由秦九韶算法可得f（x）=x5+2x3+3x2+x+1=（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1， ∴v0=1， v1=1×3+0=3， v2=3×3+2=11， v3=11×3+3=36． 故选：D． 7. 下列说法中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）                                              A．事件A、B至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大 B．事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小 C．互斥事件一定是对立事件,对立事件也是互斥事件 D．互斥事件不一定是对立事件,而对立事件一定是互斥事件 参考答案： D 8. 函数的单调递减区间为(   ) （A）    (B)   （C）    (D) 参考答案： B 9. 如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（     ）                       A．4        B． 8   C． 16     D．20 参考答案： C 略 10. 在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点 所在的曲线的形状为 (     ) 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 曲线在点（0,1）处的切线方程为        。 参考答案： ，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即 12. 某校高二年级共1000名学生，为了调查该年级学生视力情况，若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，999，若抽样时确定每组都是抽出第2个数，则第6组抽出的学生的编号　   　． 参考答案： 101 【考点】系统抽样方法． 【分析】根据系统抽样的方法的要求，确定抽取间隔即可得到结论． 【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，第一组随机抽取的编号为001，以后每隔20个号抽到一个人， 则抽取的号码构成以001为首项，d=20为公差的等差数列， ∴an=1+20（n﹣1）=20n﹣19． ∴a6=101． 故答案为：101． 13. 二面角的大小是60°，线段.，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是         . 参考答案： 略 14. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，若E为AB的中点，则点E到面ACD1的距离是　　． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算． 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到面ACD1的距离． 【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，1）， =（﹣1，2，0），=（﹣1，0，1），=（0，1，0）， 设平面ACD1的法向量=（x，y，z）， 则，取y=1，得=（2，1，2）， ∴点E到面ACD1的距离： d==． 故答案为：． 15. 已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为 ▲  ． 参考答案： 略 16. 在平面直角坐标系中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线： 垂直，则实数______________． 参考答案： 2 略 17. 若函数，，则最小值的表达式=             参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，且满足a2+c2﹣b2=ac． （1）求角B的大小； （2）设=（﹣3，﹣1），=（sinA，cos2A），求?的最小值． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）直接利用余弦定理，求出B的余弦函数值，即可求解B的大小； （2）?=﹣3sinA﹣cos2A，化简，利用配方法，即可求?的最小值． 【解答】解：（1）由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，以及a2+c2=b2+ac， 可得cosB=． B是三角形内角，所以B=． （2）?=﹣3sinA﹣cos2A=2sin2A﹣3sinA﹣1=2（sinA﹣）2﹣， ∵0＜A＜，∴0＜sinA≤1． ∴当sinA=时，取得最小值为﹣． 19. （本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲 如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E， F为BA延长线上一点，且BD· BE= BA· BF，求证： （1) EFFB； (2)  DFB+ DBC =90． 参考答案： 20. （本小题满分12分） 已知函数 （1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围； （2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； 参考答案： （1）           ………1分 依题意在时恒成立，即在恒成立． 则在恒成立，即 ………2分 当时，取最小值………………3分 ∴的取值范围是          ………………5分    （2） 设则 …………6分 ? 极大值 ? 极小值 ? ∴极小值，极大值， 又                                   ………………9分 方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根． 则，                                           ………………11分 得                                       ………………13分 21. 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：   喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100 （1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 附：K2= P（K2＞k0） 0.10 0.05   0.01 0.005 k0 2.706 3.841   6.635 7.879 参考答案： 【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）利用2×2列联表中的数据计算观测值x2，对照表中数据即可得出结论； （2）利用列举法求出从这5名学生中任取3人的基本事件数，计算对应的概率即可． 【解答】解：（1）将2×2列联表中的数据代入公式，计算得 x2==≈4.762， 因为4.762＞3.841， 所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异； （2）这5名数学系学生中，2名喜欢甜品的记为A、B， 其余3名不喜欢甜品的学生记为c、d、e， 则从这5名学生中任取3人的结果所组成的基本事件为 ABc，ABd，ABe，Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共10种； 3人中至多有1人喜欢甜品的基本事件是 Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共7种； 所以，至多有1人喜欢甜品的概率为P=． 22. （10分）已知数列{an}中，其中Sn为数列{an}的前n项和，并且Sn+1=4an+2 （n∈N*），a1=1 （1）bn=an+1﹣2an （n∈N*），求证：数列{bn}是等比数列； （2）设数列cn=（n∈N*）求证：数列{cn}是等差数列； （3）求数列{an}的通项公式和前n项． 参考答案： （1）证明  ∵Sn+1=4an+2， ∴Sn+2=4an+1+2，两式相减，得 Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(),--------3分 即an+2=4an+1-4an, 变形得an+2-2an+1=2(an+1-2an) ∵bn=an+1-2an(),∴bn+1=2bn. 由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列. --------5分 （2）证明  由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1. 得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n-1. --------7分 ∵cn=(), ∴cn+1-cn=-==.--------8分 将bn=3·2n-1代入得 cn+1-cn=(), 由此可知，数列{cn}是公差为的等差数列， 它的首项c1==，故cn=n-().--------10分