河北省秦皇岛市第十中学高二数学理期末试题含解析

河北省秦皇岛市第十中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知,那么（***） A． B． C． D． 参考答案： C 略 2. 已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S-ABC的体积为(　　) A.    B.     C.      D. 参考答案： C 如图所示，由题意知，在棱锥S-ABC中，△SAC，△SBC都是等腰直角三角形，其中AB＝2，SC＝4，SA＝AC＝SB＝BC＝2.取SC的中点D，易证SC垂直于平面ABD，因此棱锥S-ABC的体积为两个棱锥S-ABD和C-ABD的体积和，所以棱锥S-ABC的体积V＝SC·S△ADB＝×4×＝. 3. 已知点在圆外, 则直线与圆的位置关系是（    ） A. 相切   B．相交   C． 相离   D.不确定 参考答案： B 略 4. 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽取的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第一营区，从301到495在第二营区，从496到600在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（      ） A.26,16,8         B.25,17,8        C.25,16,9        D.24,17,9 参考答案： B 略 5. 定义 为n个正数 的“均倒数”已知各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为 ，又 ，则   (A)           (B)           (C)          (D) 参考答案： B 6. 某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得 （    ） A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立 C．当n=8时该命题不成立 D．当n=8时该命题成立 参考答案： A 略 7. 若在区间(0,5]内随机取一个数m，则抛物线的焦点F到其准线的距离小于的概率为（   ） A.     B.      C.     D. 参考答案： B 8. 若直线与圆相切，则的值是 A．1，      B．2，         C．1           D． 参考答案： D 9. 设x，y满足约束条件，若x2+4y2≥m恒成立，则实数m的最大值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】利用换元法将不等式进行转化，结合点到直线的距离公式进行求解即可． 【解答】解：设a=x，b=2y，则不等式x2+4y2≥m等价为a2+b2≥m， 则约束条件等价为， 作出不等式组对应的平面区域如图： 设z=a2+b2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离， 由图象知O到直线2a+b=2的距离最小， 此时原点到直线的距离d=， 则z=d2=， 故选：C． 10. 过抛物线的焦点作直线交抛物线与两点，若线段中点的横坐标为3， 则等于（    ） A．10           B．8              C． 6          D．4 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一个棱长为的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为                          ． 参考答案： 12. 一轮船向正北方向航行，某时刻在A处测得灯塔M在正西方向且相距海里，另一灯塔N在北偏东30°方向，继续航行20海里至B处时，测得灯塔N在南偏东60°方向，则两灯塔MN之间的距离是          海里． 参考答案： 13. 在下列四个命题中，正确的序号有________．（填序号） ①命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定 ②“”是“一元二次不等式的解集为的充要条件 ③ 存在 ④ 参考答案： ①②③ 14. 某同学在研究函数在处的切线问题中，偶然通过观察上图中的图象发现了一个恒成立的不等式：当时，，仿照该同学的研究过程，请你研究函数的过原点的切线问题，写出一个类似的恒成立的不等式：                            . 参考答案： ； 15. 函数f（x）=﹣ x﹣cosx在[0， ]上的最大值为________．    参考答案： -1                    【考点】利用导数求闭区间上函数的最值                【解答】解：f′（x）=﹣ +sinx，  ∵x∈[0， ]，∴sinx∈[0， ]， ∴f′（x）＜0，f（x）在[0， ]递减， 故f（x）max=f（0）=﹣1， 故答案为：﹣1． 【分析】求出函数的导数，得到函数f（x）的单调性，求出函数的最大值即可．    16. 已知圆C的圆心坐标为(0,1)，且与直线2x－y－4＝0相切，则圆C的标准方程是　　　　　　　 　. 参考答案： x2＋(y－1)2＝5　 因为直线2x－y－4＝0与圆C相切，所以圆C的半径 故圆C的标准方程是x2＋(y－1)2＝5. 17. 若不等式组，表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________． 参考答案：     三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N． （Ⅰ）求y1y2的值； （Ⅱ）记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2．证明：为定值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2； （Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y1y3=﹣4，同理可得 y2y4=﹣4，根据斜率公式可把表示成关于y1与y2的表达式，再借助（Ⅰ）的结果即可证明． 【解答】（Ⅰ）解：依题意，设直线AB的方程为x=my+2．             将其代入y2=4x，消去x，整理得 y2﹣4my﹣8=0． 从而y1y2=﹣8．                                （Ⅱ）证明：设M（x3，y3），N（x4，y4）． 则 =×=×=． 设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x， 整理得y2﹣4ny﹣4=0．           所以y1y3=﹣4．       同理可得 y2y4=﹣4．          故===． 由（Ⅰ）得=2，为定值． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大． 19. (本小题满分12分)有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内． （1）共有多少种放法？ （2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ （3）恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？ （4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？   参考答案： 略 20. △ABC的三个顶点分别为,求： （1）AC边所在直线的方程； （2）AC边的垂直平分线DE所在直线的方程. 参考答案： 解：（1） 由点斜式易得直线方程为 （2）直线DE的斜率为，线段AC的中点坐标为 故由点斜式可得直线DE的方程为   21. 已知函数，且在处的切线方程为. （1）求的解析式，并讨论其单调性. （2）若函数，证明：. 参考答案： （1）见解析（2）见解析 【分析】 （1）先求出切点的坐标，通过切线方程可以求出切线的斜率，对函数进行求导， 求出切线方程的斜率，这样得到一个等式，最后求出的值，这样就求出的解析式。求出定义域，讨论导函数的正负性，判断其单调性。 （2）研究的单调性，就要对进行求导，研究导函数的正负性，就要对进行求导，得到，研究的正负性，从而判断出的单调性，进而判断出的正负性，最后判断出的单调性，利用单调性就可以证明结论。 【详解】（1）由题切点为代入得：① 即② 解得， ∴，， ∴，即为上的增函数. （2）由题，即证， . 构造函数，， ，即为上增函数， 又，即 时，即在上单调递减， 时，，即在上单调递增， ∴得证. 【点睛】本题考查了函数的导数的几何意义、用导数研究函数单调性、利用二次求导证明恒成立问题。 22. (12分)已知函数        (1)求的定义域. (2)  判断它的奇偶性并说明理由.  (3)  判断它在区间上的单调性并说明理由. 参考答案： （1）定义域为…………………………………………………..(4分)       (2)是奇函数。        设，        则                                      所以所求函数是奇函数……………………………………………(8分)