河北省衡水市龙华镇中学高三数学文模拟试题含解析

河北省衡水市龙华镇中学高三数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知(1+x)10=a0+ a1(1-x)+ a2(1- x)2+…+ a10(1- x)10，则a8等于 A．－5       B．5      C．90      D．180 参考答案： D 2. 在数列中，，，则的值为（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 3. 函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】函数的图象． 【分析】当x＜0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除CD； 当x＞0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确， 【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD； 当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确， 故选：B． 【点评】题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力． 4. 已知定义在上的函数满足，且的导函数则不等式的解集为（    ） A.      B.    C.     D. 参考答案： C 5. 若，则等于（  ） A．2 B． C．32 D． 参考答案： D 略 6. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 A．          B．   C．     D． 参考答案： C 略 7. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（    ）   （A）12种   （B）18种           （C）36种          （D）54种 参考答案： B 略 8. 若Sn是等差数列{an}的前n项和,且S8?S3=20,则S11的值为 A.44    B.22    C.    D.88 参考答案： A 略 2.若，是虚数单位，且，则的值为……………………………………………………………（    ） A.          B.          C.             D. 参考答案： D 10. 已知向量a，b，c满足，，则的最小值为（    ） A．       B．      C．           D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若， 则其公比的取值范围是    . 参考答案： 略 12. 给出下列命题; ①设表示不超过的最大整数，则 ； ②定义在R上的函数，函数与的图象关于y轴对称；    ③函数的对称中心为；    ④定义：若任意，总有，就称集合为的“闭集”， 已知 且为的“闭集”，则这样的集合共有7个。   其中正确的命题序号是_____________． 参考答案： ①④ 13. 已知关于x的方程=1在x∈[，+∞]上有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为　　． 参考答案： （1，] 【考点】54：根的存在性及根的个数判断． 【分析】化简方程得x2﹣xlnx+2=k（x+2），判断左侧函数的单调性，作出函数图象，根据图象交点个数判断k的范围． 【解答】解：由得x2﹣xlnx+2=k（x+2）， 令f（x）=x2﹣xlnx+2（x），则f′（x）=2x﹣lnx﹣1， f″（x）=2﹣，∵x，∴f″（x）≥0， ∴f′（x）在[，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（）=﹣ln＞0， ∴f（x）在[，+∞）上是增函数， 作出f（x）在[，+∞）上的函数图象如图所示： 当直线y=k（x+2）经过点（，）时，k=， 当直线y=k（x+2）与y=f（x）相切时，设切点为（x0，y0）， 则，解得x0=1，y0=3，k=1． ∵方程=1在x∈[，+∞）上有两个不相等的实数根， ∴直线y=k（x+2）与y=f（x）的图象有两个交点， ∴1＜k≤． 故答案为（1，]． 【点评】本题考查了根的个数与函数图象的关系，函数单调性的判断，属于中档题． 14. 函数的定义域为________. 参考答案： 略 15. 已知函数f（x）为偶函数且f（x）=f（4﹣x），又f（x）=，函数g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是    ． 参考答案： （2，） 【考点】函数零点的判定定理． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】易知函数f（x），g（x）都是偶函数，所以只需判断F（x）在（0，+∞）上有两个不同的零点即可，也就是函数y=f（x）与y=g（x）的图象在y轴右侧有两个不同交点即可．画出它们的函数图象，问题容易解决． 【解答】解：由题意可知f（x）是周期为4的偶函数，对称轴为直线x=2，且函数g（x）也是偶函数，因此只需做出x＞0时f（x），g（x）的图象，然后此时产生两个不同交点即可． 作出函数f（x）、g（x）的图象如下： 可知，若F（x）恰有4个零点，只需，即． 解得． 故答案为． 【点评】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图象进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题 16. 已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足 (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为_______． 参考答案： 3 略 17. 平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，n维向量可用(x1，x2，x3，x4，…，xn)表示．设＝(a1，a2，a3，a4，…，an)，＝(b1，b2，b3，b4，…，bn)，规定向量与夹角θ的余弦为cosθ＝.已知n维向量，，当＝(1,1,1,1，…，1)，＝(－1，－1,1,1,1，…，1)时，cosθ等于______________ 参考答案： 由题意易知：，，所以cosθ＝。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分12分) 已知椭圆C：经过点 ，离心率 ，直线的方程为 . (1)求椭圆C的方程； (2)AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线与l相交于点M，记PA,PB,PM的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.                       参考答案： （1）由点在椭圆上得，  ①  ② 由 ①②得，故椭圆的方程为……………………..4分 （2）假设存在常数，使得. 由题意可设   ③ 代入椭圆方程并整理得 设，则有   ④ ……………6分 在方程③中，令得，，从而 .又因为共线，则有， 即有 所以 = ⑤ 将④代入⑤得，又， 所以 故存在常数符合题意……………………………………………………………12分 19. (本题满分14分) ）如图，在四棱锥中, 为上一点，平面.,，，,为上一点，且． (Ⅰ) 求证:； （Ⅱ）若二面角为， 求的值.   参考答案： (Ⅰ) 证明：连接AC交BE于点M， 连接.由 6分 解法二：以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系.                       ，    8分     设平面的法向量，由       得 面法向量为. 10分 由于  ，  解得. 12分    14分 20. （本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量的直线交椭圆于、两点，求证：为定值． 参考答案： （2）设（），由已知，直线的方程是，   由 （*）           设，，则、是方程（*）的两个根， 所以有，，                  所以， （定值）．               所以，为定值．                      考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.韦达定理；4.两点间距离公式. 21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1． （1）设点E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB； （2）线段PD上是否存在一点N，使得直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为？若存在，试确定点N的位置，若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定． 【分析】（1）取AD中点M，利用三角形的中位线证明EM∥平面PAB，利用同位角相等证明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，证得EC∥平面PAB； （2）建立坐标系，求出平面PAC的法向量，利用直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为，可得结论． 【解答】（1）证明：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA． ∵EM?平面PAB，PA?平面PAB， ∴EM∥平面PAB． 在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°． 而∠BAC=60°，∴MC∥AB． ∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，∴MC∥平面PAB． ∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB． ∵EC?平面EMC，∴EC∥平面PAB． （2）解：过A作AF⊥AD，交BC于F，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），B（，﹣，0），C（，1，0），D（0，4，0），P（0，0，2）， 设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，取=（，﹣3，0）， 设=λ（0≤λ≤1），则=（0，4λ，﹣2λ），=（﹣λ﹣1，2﹣2λ）， ∴|cos＜，＞|==，∴， ∴N为PD的中点，使得直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为． 22. 在直角坐标系xoy中，椭圆C1：的离心率，F是抛物线C2：y2=4x的焦点，C1与C2交于M，N两点（M在第一象限），且|MF|=2． （1）求点M的坐标及椭圆C1的方程； （2）若过点N且斜率为k的直线l交C1于另一点P，交C2于另一点Q，且MP⊥MQ，求k的值． 参考答案： 考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）由抛物线方程可求得p值，设M（x0，y0），由抛物线定义及|MF|=2可得x0+，解得x0=1，进而得y0=2，由离心率e=及a2=b2+c2可得a，b关系，从而椭圆方程可变为含b的方程，把M坐标代入即可求得b值，进而得到a值； （2）点N（1，﹣2），则直线l的方程为y+2=k（x﹣1），分别与椭圆方程、抛物线方程联立消掉y、x得x、y的二次方程，由韦达定理可用k表示点P、Q的坐标，从而可得向量的坐标，由MP⊥MQ有，得关于k的方程，解出即可； 解答：   解：（1）抛物线C2：y2=4x，2p=4，p=2， 设M（x0，y0），则|MF|=x0+，解得x0=1，所以y0=2，即M（1，2）， 椭圆C1：的离心率， 得 ，，a=2b， 椭圆C1：过点M（1，2），所以， 求得，， 所以椭圆C1的方程是． （2）点N（1，﹣2），直线l的方程为y+2=k（x﹣1）， 与C