2022年高考数学专项练习弦长问题及长度和、差、商、积问题含答案

2022年高考数学专项练习弦长问题及长度和、差、商、积问题含答案2022年高考数学专项练习弦长问题及长度和、差、商、积问题含答案【考点预测】【考点预测】1.弦长公式的两种形式若A，B是直线y=kx+m与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去 y后得到一元二次方程 px2+qx+r=0，则 PQ=1+k2 x1-x2=1+k2|p|若A，B是直线x=my+n与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去x后得到一元二次方程 py2+qy+r=0，则 AB=1+m2yA-yB=1+m2|p|【题型归纳目录】题型一：弦长问题题型二：长度和问题题型三：长度差问题题型四：长度商问题题型五：长度积问题题型六：长度的范围与最值问题题型七：长度的定值问题【典例例题】题型一：弦长问题例1.【题型归纳目录】题型一：弦长问题题型二：长度和问题题型三：长度差问题题型四：长度商问题题型五：长度积问题题型六：长度的范围与最值问题题型七：长度的定值问题【典例例题】题型一：弦长问题例1.(2022北京八中高三阶段练习)(2022北京八中高三阶段练习)已知P为椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)上任意一点，F1,F2为左右焦点，M为PF1中点.如图所示：若 OM+12PF1=2，离心率e=32.(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知直线l经过-1,12且斜率为12与椭圆交于A,B两点，求弦长AB的值.例2.例2.(2022全国高三专题练习)(2022全国高三专题练习)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，则 AB等于()A.247B.127C.12 27D.8 37例3.例3.(2022全国高三专题练习)(2022全国高三专题练习)过椭圆x22+y2=1 的左焦点作倾斜角 60 的直线，直线与椭圆交于 A，B 两点，则 AB=_例4.例4.(2022北京高三开学考试)(2022北京高三开学考试)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(其中ab0)的离心率为22，左右焦点分别为F1-1,0，F21,0.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1作斜率为k的直线与椭圆C交于不同的A，B两点，过原点作AB的垂线，垂足为D.若点D恰好是F1与A的中点，求线段AB的长度.题型二：长度和问题题型二：长度和问题例例5.5.(20222022 湖南湖南 宁乡市教育研究中心模拟预测宁乡市教育研究中心模拟预测)已知抛物线 G:y2=4x 的焦点与椭圆 E:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点F重合，椭圆E的长轴长为4.(1)求椭圆E的方程；(2)过点F且斜率为k的直线l交椭圆E于A,B两点，交抛物线G于M,N两点，请问是否存在实常数t，使2AB+tMN为定值？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.例例6.6.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知抛物线 E：y2=2px p0的焦点为 F，点 M 4,m在抛物线 E 上，且OMF的面积为12p2(O为坐标原点).(1)求抛物线E的方程；(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于AB两点，过AB分别作垂直于l的直线ACBD，分别交抛物线于CD两点，求 AC+BD的最小值.例例7.7.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)经过点3,-32，且椭圆的离心率 e=12，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A,B及C、D(1)求椭圆的方程；(2)求证：1|AB|+1|CD|为定值；(3)求|AB|+916|CD|的最小值例例8.8.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习(理理)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A,B两点，直线l2与C交于D,E两点，则 AB+DE的是小值为()A.16B.14C.12D.10例例9.9.(20222022 青海青海 模拟预测模拟预测(理理)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 ab0，圆 O：x2+y2+x-3y-2=0，若圆 O过椭圆C的左顶点及右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)过点 1,0作两条相互垂直的直线l1，l2，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求 AB+DE的取值范围题型三：长度差问题题型三：长度差问题例例10.10.如图，已知抛物线y2=4x的焦点为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF|=53参考答案()求椭圆C的方程；()过点F的直线l交抛物线于A，C两点，交椭圆于B，D两点(A，B，C，D依次排序)，且|AB|-|CD|=103，求直线l的方程例例11.11.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点为F(3，0)，且-3，12在椭圆E上(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知垂直于 x 轴的直线 l1交 E 于 A、B 两点，垂直于 y 轴的直线 l2交 E 于 C、D 两点，l1与 l2的交点为P，且2|AB|=|CD|，问：是否存在两定点M，N，使得|PM-|PN|为定值？若存在，求出M，N的坐标，若不存在，请说明理由例例12.12.已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1(a b 0)的一个焦点 F 与抛物线 N:y2=4x 的焦点重合，且 M 经过点1,32(1)求椭圆M的方程；(2)已知斜率大于0且过点F的直线l与椭圆M及抛物线N自上而下分别交于A，B，C，D，如图所示，若|AC|=8，求|AB|-|CD|题型四：长度商问题题型四：长度商问题例例13.13.(20222022 北京北京 人大附中模拟预测人大附中模拟预测)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点分别为 F1-2,0,F22,0过点 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点，过点 F1作 AB 的垂线交椭圆 C 于 M,N 两点，MNF2的周长为4 6(1)求椭圆C的方程；(2)求MNAB的取值范围例例14.14.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1 ab0，F1，F2分别为左右焦点，点 P10,2，P2-2,63在椭圆E上.(1)求椭圆E的离心率；(2)过左焦点F1且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若AB的中点为M，O为原点，直线OM交直线x=-3于点N，求ABNF1取最大值时直线l的方程.例例15.15.(20222022 陕西陕西 安康市教学研究室三模安康市教学研究室三模(文文)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab1长轴的顶点与双曲线 D:x24-y2b2=1实轴的顶点相同，且C的右焦点F到D的渐近线的距离为217(1)求C与D的方程；(2)若直线l的倾斜角是直线y=5-2x的倾斜角的2倍，且l经过点F，l与C交于A、B两点，与D交于M、N两点，求ABMN例例16.16.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知圆A：(x+2)2+y2=9，圆B：(x-2)2+y2=1，圆C与圆A、圆B外切，(1)求圆心C的轨迹方程E;(2)若过点B且斜率k的直线与E交与M、N两点，线段MN的垂直平分线交x轴与点P，证明MNPB的值是定值.例例17.17.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的离心率为 2，F 为双曲线 C 的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为34，(1)求双曲线C的方程；(2)设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求PQBF的值例例18.18.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的右焦点为 F3,0，过点 F 与 x轴垂直的直线l1与双曲线C交于M，N两点，且 MN=4.(1)求C的方程；(2)过点A 0,-1的直线l2与双曲线C的左右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若 GH=DE，求实数的取值范围.例例19.19.(20222022 湖南湖南 高三阶段练习高三阶段练习)已知椭圆C:x22+y2=1,F1为右焦点，直线l:y=t(x-1)与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段AS与线段BS的中垂线交于点Q(1)当t=2时，求 QF1；(2)当t0时，求QF1|AB|是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由例例20.20.(20222022 浙江浙江 杭师大附中模拟预测杭师大附中模拟预测)已知椭圆与抛物线y2=2px(p0)有一个相同的焦点F2(1,0)，椭圆的长轴长为2p(1)记椭圆与抛物线的公共弦为MN，求|MN|；(2)P为抛物线上一点，F1为椭圆的左焦点，直线PF1交椭圆于A，B两点，直线PF2与抛物线交于P，Q两点，求|AB|PQ|的最大值例例21.21.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为12，F1，F2为其左、右焦点，左、右顶点分别为 A，B，过F1且斜率为k的直线l交椭圆 E于M，N两点(异于A，B两点)，且MNF2的周长为8(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆上一点，O为坐标原点，OPMN，求MNOP的取值范围题型五：长度积问题题型五：长度积问题例例22.22.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知动圆M经过定点F1(-1,0)，且与圆F2:(x-1)2+y2=8相内切(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设点T在x=2上，过点T的两条直线分别交轨迹C于A，B和P，Q两点，且 TA TB=TPTQ，求直线AB的斜率和直线PQ的斜率之和例例23.23.(20222022 河北河北 高三期中高三期中)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的上顶点B，左、右焦点分别为F1-c,0、F2c,0，F1BF2是周长为4+4 2 的等腰直角三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P-1,-1，且互相垂直的直线l1、l2分别交椭圆C于M、N两点及S、T两点.若直线l1过左焦点F1，求四边形MSNT的面积；求PM PNPS PT的最大值.例例24.24.已知椭圆x24+y23=1的右焦点为F，过F的直线l交椭圆于A、B两点，且52|AF|BF|114，求直线l的斜率k的取值范围例例25.25.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)，椭圆 C 上任意一点 M 到椭圆两个焦点 F1、F2的距离之和为 4，且F1MF2的最大值为60(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|F2B|的取值范围例例26.26.(20222022 全国全国 南京外国语学校模拟预测南京外国语学校模拟预测)已知抛物线C：x2=4y，F为其焦点，过F的直线l与C交于不同的两点A、B(1)若直线l斜率为3，求 AB；(2)如图，C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P，连接PF，证明：PF2=AF BF例例27.27.如图，已知抛物线 x2=y，点 A-12，14，B32，94，抛物线上的点 P(x，y)-12x b 0)的左，右焦点分别为 F1,F2，其离心率为22，且点(2,2)在C上.(1)求C的方程；(2)O为坐标原点，P为C上任意一点.若M为OF2的中点，过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得|OP|2=|MA|MB|？若存在，求值；若不存在，说明理由.例例29.29.(20222022 新疆昌吉新疆昌吉 二模二模(文文)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如下图1)步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，