2022高考数学应用题汇编

1 8.（此题总分值16分）如下图：一吊灯的下圆环直径为4 m,圆心为0,通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即。8）为2%在圆环上设置三个等分点为，4，4。点C为。8上 一 点（不包含端点0、B）,同时点C与点A1，A3,3均用细绳相连接，且细绳C4 1,C A2,CA3的长度相等。设细绳的总长为y（1）设/C 4 0=9（r ad）,将y表示成。的函数关系式；（2）请你设计9,当角。正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时8 c应为多长。18.(I )解：在 R r ACOA,中，2C A=-,CO =2ta n0,.2 分1 COS 0y =3C A+C B =3-7r+2-2ta n。1 c o s 92(3-s in9)4 2c o s 0冗(o 0 ；时，y 0；s in。；时，y 0,71v y=s ine在 0,丁 上是增函数4二当角。满足s inO=；时，y最小，最小为4a+2；此时BC=2-，16分1 9.由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量P ）单位：吨）与上市时间。（单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线A 8 C D E表示，销售价格。（单位：元/千 克）与上市时间f （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHK表 示（”为顶点）.（1）请分别写出P Q）,。关 于f的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？(2)图中由四条线段用荏直缱围成的平面区域为“，动点P(x,y)在M内(包括边界)，求 z=x-5 y的最大值；(3)由(2),将动点P(x,y)所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算(如l2 x-3 y M 3Y2类比为仁一4 3),试列出P(x,y)所满足的条件，并求出相应的最大值.-f +5r-119.解(I )=,-Z +110?3,3t 6,6 t 9,9 r 1 2Q(f)=_ l(f 4 +6 (0 12).16P Q)。=d)-3。-4)2+6 3?0 在f e (3,6 恒成立，所以函数在(3,6 上递增lo当，=6 时，依)。(，)总 产 5.；.6月份销售额最大为3 45。元.(I I)5 x+y l l 1 /)，z=x 5y.令 x _ 5y=A(x+y)+B(x _ j O,A+B=lA-B =-5A=28=3那么(H I)类比到乘法有z=x _ 5y=_ 2(x+y)+3(x _ y).由-22 4 2(x +y)1 0,3 3(x y)21,-1 94 z 1 1,那么(z)=1 1 .7 max5 x y l lx X Xi x 7，求 Z =的最大值.由一 女 孙 一 四1-7 y5 y5 yA +8 =l A=-2A-3=-5=8 =3/.(孙)-2 J _ l (Xy)3 3 431 21 251 /,3 43 3 43/_1 2_1 z-2-5-,那么1 W=251 8.此题总分值1 5分 如图甲，一个正方体魔方由2 7 个 单 位（长 度 为 1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层E F G H -E FG H 转动a,如图乙，设a的对边长为x.1 1 1 1（1）试用a表小x；（2）求魔方增加的外表积的最大值.1 8.命题立意：此题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力.解：由 题意得、+点+就=3,解得x=3*也,一,a e1 +s i n a +c o s aC,6 分)（2）魔方增加的外表积为S =8 磊,由(1)得 s =.22期 四 生 也 _,a e(1 +s i n a +c o s a)2(J,(1 0 分)令 =s i n a +c o s a =s i n3 6c 2-1)那么S=3 6(1+0 22f +1+7272（当且仅当，=无 即a二 作时等号成立）,答：当a寸 时，魔方增加的夕卜表积最大为1。8-72五.（1 5分）17.此题总分值1 5分 请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）.它的上部是底面圆半径为5 m的圆锥，下部是底面圆半径为5 m的圆柱，且该仓库的总高度为5 m.经过预算,制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为40 0 元/m?、1 0 0 元/n u,问当圆锥的高度为多少时,该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？1 7.命题立意：此题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力.解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为。，且。（当）（2分）4那么该仓库的侧面总造价y=12兀x5x5（l-tan0）xlOO+Jx 2兀x5x凌磊x400=5 0=10兀（,2x-1）（）得 工=速,（13分）Jx2+25 3经检验得，当x=时，侧面总造价），最小，此时圆锥的高度为 m.（15分）3.在一个六角形体育馆的一角 M AN内，用 长 为 的围栏设置一个运动器材储存区域（如下图）NA=120,8是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点.（1）假设BC=a=20,求储存区域面积的最大值;（2）假设AB=AC=10,在折线MBCN内选一点。，使8。+OC=20,求四边形储存区域QBAC的最大面积.解：（1）设AB=x,AC=y,x 0,y 0.由 20,=x?+%-2孙cosl20 2盯-2xycosl20,得 孙 W2022022-2cosl20 4sin2 6010073202S=xysinl20 2 2 4sin 2 60202 cos 60 202-2sin 60 cos 60=-=-4sin 600 4 tan 60J 3即四边形DBAC面 积 的 最 大 值 为 粤I当且仅当x=y时取到.（2）由。8+。=2 0,知点。在以8,C为焦点的椭圆上，：S=_ L x lO x lO x史=2 5小，.要使四边形D B A C面积最大，只需A O 8 C的面积最大，此M f i c 2 2 时点。到B C的距离最大，即。必为椭圆短轴顶点.由B C =1 0 j?,得短半轴长b =5,S、8c。面积的最大值为万x 5 =25 3.因此，四边形A C D B面积的最大值为5M.3.某直角走廊的示意图如下图，其两边走廊的宽度均为2 m.b（1）过点P的一条直线与走廊的外侧两边交于48两点，且与走廊的一边的夹角|为e（o e 1）,将线段A S的长度/表示为。的函数；二（2）一根长度为5 m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）.解：（1）根据图得/（0）=8 P+A P =&+/？,0（0,g）.s i n t）c o s t）2（2）铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下：2 2r（0）=（y）+（n）zs i n u c o s vO-s i n 0 -2-c o s 0 O-c o s 0 +2-s i n 0 2（s i n 3 0 -c o s?0）=-+-=-s i n 2 0 c o s 2 0 s i n 2 0 c o s 2 0令/,=。得，0=%71当 0。二时，/（。）0,/（。）为减函数；4兀 71当T0，/（。）为增函数：4 2所以当时，/（0）有最小值4&,因为4、万5,所以铁棒能水平通过该直角走廊.1 9.（本小题总分值1 6分）如图一块长方形区域A 2 C,AD=2（k m）,AB=（k m）.在边AO的中点。处，有一个可转动的探照灯，其照射角N E O F始终为,，设/AOE=a探照灯O照射在长方形A 8 C D内部区域的面积为S.4(1)当OWaV7 1时，写出S关于a的函数表达式；2(2)当时，求S的最大值.4(3)假设探照灯每9分钟旋转“一个来回”(0 E自0A转到OC,再回到0 4称“一个来回，忽略0E在04及。C反向旋转时所用时间)，且转动的角速度大小-定，投45边上有一点G,且ZAPG=M,求点G在“一个来回”6中，被照到的时间.1 9.解：1过。作O/7 L 8 C,，为垂足.当OWaW上时，4E在边A8上，F在线段8 上(如图，T T此时，A E=t a n a ,F H t a n(-a),2 分4 C C C c Q 正 方 形 0 A 4 H OAE&OHF=1-t a n a -t a n(-a).4 分当q VaV上时，4 2E在线段8”上，尸在线段C”上(如图)，此时，EH=,FH=，-，6分t a n a t a n 4-a)E F=J +-1-.t a n a ./3兀t a n(-a)/:S=S-1-2 t a n a t a n(3 _a)4 7综上所述,II 兀l-ta n a tan(a),(0 W a W2 2 48 分(2)当 OWaW71 时，S=1 1 tana 1 tan(兀一a),4 2 2 41 0D P 5=2 (1+tana+-).0 分21 +tana OWaW ，.OW tana.即 1+tana W2.4/.1 +tana+-三2五.1 +tana；.SW2一出.“itana=6 1时，S 取得最大值为2J 7.12分（3）在 一个来回中，OE共转了 2 x 2 1 =43兀T其中点G 被照到时，共转了 2巴=.14分6 3兀那 么“一个来回”中，点 G 被照到的时间为9 x 2 =2（分钟）.16分37t1 7.（本小题总分值14分）第十八届省运会将于2021年 9 月在徐州市举办.为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉.如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心。,、。之间的距离为10米.1 2（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四 个 顶 点 A,B,C,O 均在圆弧上，。于点M.设1 2ZAOM=0,求矩形的宽AB为多少时，可使喷泉4BC D 的面积最大；（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2 米的欣赏长廊以作休闲之用，那么矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中NA=N 5,NO=4 米.假 设 4 4。囚求喷泉的面积的取值范围.C（第 17题图甲）（第 17题图乙）17.(1)在直角 AAO2M 中，AW=10sine,0 2 M=1 0 co s0,那么 A。=20cos0+10,所以矩形 A5CD 的面积 S=20sin0(20cos0+10)=200(2sin0cos0+sinO),.4 分7T令/(9)=2sin0cosO+sin0,O0 ,那么/(0)=2cos2。+cos0=4cos20+cosO-2 ,令尸(0)=0,得 cos9=奥 二 L设cosO0=U，且0 2 +(2 0 0-l.5y)y=1.7 5 y 2-4 0 0 y +4 0 0 0 0 ()?)8 0 0 ,2 0 0旧 ,2 0 0当y =7-时，PQ有 最 小 鱼-，此时x =，7,.1 1分1 3分答：(1)当A P =A Q =1 0 0米时，三角形地块A P。的面积最大为2 50()点 平 方米;当米 皿=邙米时可使竹篱笆用料最省.1 4分1 8 .(本小题总分值1 4分)因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反响的药剂.每投放以I V。4,且a e R)个单位的药剂，它在水中 释 放 的 浓 度y (克/升)随 着 时 间x(天)变 化 的 函 数 关 系 式 近 似 为y =a-f(x)，其中4-1(0 x 4)/(x)=8-：5-l x (4 x 1 0)假设屡次投放，那么某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用.(1)假设一次投放4个单位的药剂，那么有效治污时间可达几天？(2)假设第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放。个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值(精确到0.1,参考数据:取1.4).1 8.解：(1)因为。=4,所以y =8-x .1 分2 0-