2022高考数学真题分类汇编11解析几何97

十一、解析几何 一、单选题 1.（2022·全国甲（文）T11）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解. 【详解】解：因为离心率，解得，， 分别为C左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B. 2.（2022·全国甲（理）T10）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】解：， 设，则， 则， 故， 又，则， 所以，即， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 3.（2022·全国乙（文）T6）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 4.（2022·全国乙（理）T5）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 5.（2022·全国乙（理）T11）11. 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，可判断在双曲线的右支，设，，即可求出，，，在中由求出，再由正弦定理求出，，最后根据双曲线的定义得到，即可得解； 【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 所以，因为，所以在双曲线的右支， 所以，，，设，， 由，即，则，，， 在中， ， 由正弦定理得， 所以， 又， 所以，即， 所以双曲线的离心率 故选：C 6.（2022·新高考Ⅰ卷T11）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（） A. C的准线为 B. 直线AB与C相切 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D. 【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误； ，所以直线的方程为， 联立，可得，解得，故B正确； 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为，， 联立，得， 所以，所以或，， 又，， 所以，故C正确； 因为，， 所以，而，故D正确. 故选：BCD 7.（2022·新高考Ⅱ卷T10）已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点，若，则（） A. 直线的斜率为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】 对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 8. （2022·北京卷T3）若直线是圆的一条对称轴，则（） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 二、填空题 1.（2022·全国甲（文）T15）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________． 【答案】2（满足皆可） 【解析】 【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值. 【详解】解：，所以C的渐近线方程为, 结合渐近线的特点，只需，即， 可满足条件“直线与C无公共点” 所以， 又因为，所以， 故答案为：2（满足皆可） 2.（2022·全国甲（文）T14）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程. 【详解】解：∵点M在直线上， ∴设点M为，又因为点和均在上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴， ，解得， ∴，， 的方程为. 故答案为： 3.（2022·全国甲（理）T14）. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可． 【详解】解：双曲线的渐近线为，即， 不妨取，圆，即，所以圆心为，半径， 依题意圆心到渐近线的距离， 解得或（舍去）． 故答案为：． 4.（2022·全国乙（文）T15）过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 【答案】或或或； 【解析】 【分析】设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】解：依题意设圆的方程为， 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 故答案为：或或或； 5.（2022·全国乙（理）T14）过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 【答案】或或或； 【解析】 【分析】设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】解：依题意设圆的方程为， 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 故答案为：或或或； 6.（2022·新高考Ⅰ卷T14）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 7.（2022·新高考Ⅰ卷T16）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 【答案】13 【解析】 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 8.（2022·新高考Ⅱ卷T15）已知点，若直线关于的对称直线与圆存在公共点，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 9.（2022·新高考Ⅱ卷T16）已知椭圆，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则直线l的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解； 【详解】解：令的中点为，因为，所以， 设，，则，， 所以，即 所以，即，设直线，，， 令得，令得，即，，所以， 即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即； 故答案为： 10.（2022·北京卷T12）已知双曲线的渐近线方程为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可； 【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为， 则，，又双曲线的渐近线方程为， 所以，即，解得； 故答案为： 11.（2022·浙江卷T16）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率． 【详解】过且斜率为的直线，渐近线， 联立，得，由，得 而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率. 故答案为：． 12.（2022·浙江卷T17）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出． 【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则,，设,于是， 因为，所以，故的取值范围是. 故答案为：． 三、解答题 1.（2022·全国甲（文）T21）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解； （2）设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解. 【小问1详解】 抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标