得到直角坐标形式的质点运动微分方程课件

动力学研究动力学研究作用于物体上的力与物体的作用于物体上的力与物体的运动变化之间的关系。运动变化之间的关系。动力学问题越来越重要动力学问题越来越重要第九章第九章 质点动力学质点动力学汽车动力特性测试汽车动力特性测试机机 械工程械工程第九章第九章 质点动力学质点动力学载人飞船的载人飞船的交会与对接交会与对接v2Av1B航空航天工程航空航天工程第九章第九章 质点动力学质点动力学拱坝的抗震与控制拱坝的抗震与控制水利工程水利工程第九章第九章 质点动力学质点动力学建筑物抗震实验建筑物抗震实验土土木木工工程程第九章第九章 质点动力学质点动力学 体育运动体育运动球棒击球球棒击球Fv2v1棒球在被球棒击打棒球在被球棒击打后，其速度的大小后，其速度的大小和方向发生了改变。和方向发生了改变。如果已知这种变化如果已知这种变化即可确定球与棒的即可确定球与棒的相互作用力相互作用力。第九章第九章 质点动力学质点动力学 健康医学健康医学心脏动力学心脏动力学第九章第九章 质点动力学质点动力学 第第 三三 篇篇 动力学动力学第九章第九章 质点动力学质点动力学第十章第十章 质心运动定理质心运动定理 动量定理动量定理第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理第十二章第十二章 动能定理动能定理第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 第九章第九章 质点动力学质点动力学第一节第一节 牛顿运动定律牛顿运动定律 惯性参考系惯性参考系第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程 第三节第三节 质点在非惯性质点在非惯性 参考系中的运动参考系中的运动第一节 牛顿运动定律 惯性参考系第一节第一节 牛顿运动定律牛顿运动定律 惯性参考系惯性参考系第一节第一节 牛顿运动定律牛顿运动定律 惯性参考系惯性参考系1 1、牛顿运动定律、牛顿运动定律 质点动力学的基础是三质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成果基础顿在总结前人研究成果基础上提出的，称为上提出的，称为牛顿三定律。牛顿三定律。第一定律惯性定律第一定律惯性定律 任何物体，如不受外力作用，将保持静任何物体，如不受外力作用，将保持静止或作匀速直线运动止或作匀速直线运动。第二定律第二定律 力与加速度关系定律力与加速度关系定律质点受到外力作用时，其加速度的大小与所受质点受到外力作用时，其加速度的大小与所受力的大小成正比，而与质点的质量成反比，加速度力的大小成正比，而与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向一致。的方向与力的方向一致。第三定律作用与反作用定律第三定律作用与反作用定律两物体间相互作用的力同时存在，大小相等，作两物体间相互作用的力同时存在，大小相等，作用线相同而指向相反。用线相同而指向相反。第一节第一节 牛顿运动定律牛顿运动定律 惯性参考系惯性参考系2.2.惯性参考系惯性参考系 适用牛顿定律的参考系称为适用牛顿定律的参考系称为惯性参考系惯性参考系。实践证明，在绝大多数工程问题中，地球可取为实践证明，在绝大多数工程问题中，地球可取为惯性参考系。惯性参考系。物体在惯性参考系中的运动称为物体在惯性参考系中的运动称为绝对运动绝对运动，还习，还习惯地将惯性参考系称为惯地将惯性参考系称为固定坐标系固定坐标系或或静坐标系静坐标系。第一节第一节 牛顿运动定律牛顿运动定律 惯性参考系惯性参考系在国际单位制中，力的单位是在国际单位制中，力的单位是牛顿牛顿。质量、长度、时间为质量、长度、时间为基本单位基本单位，力的单位为，力的单位为导导出单位出单位。即。即 N=1kg1m/s2 应当注意，质量与重量是两个不同的概念。应当注意，质量与重量是两个不同的概念。例如力的量纲是例如力的量纲是MLT-2，速度的量纲是速度的量纲是LT-1，加速度的量纲是加速度的量纲是LT-2。表示某一物理量是由哪几个基本量按什么规表示某一物理量是由哪几个基本量按什么规律组成的式子，称为该律组成的式子，称为该物理量的量纲物理量的量纲。在动力学或静力学问题中，在动力学或静力学问题中，以量纲校核的方法来以量纲校核的方法来检验力学方程的正确性，是一种简便、快捷的方法检验力学方程的正确性，是一种简便、快捷的方法。第一节第一节 牛顿运动定律牛顿运动定律 惯性参考系惯性参考系第二节 质点运动微分方程 设有一质点设有一质点M，质量为质量为m，沿空间曲线运动，作用沿空间曲线运动，作用于质点上的合力于质点上的合力F=Fi，如，如图图9-9-所示。令质点的加速所示。令质点的加速度为度为a，则，则 图图9-1 9-1 直角坐标系下质点的动力学直角坐标系下质点的动力学(9-1)(9-1)ma=F第一节第一节 牛顿运动定律牛顿运动定律 惯性参考系惯性参考系由运动学知由运动学知于是上式可表示为于是上式可表示为这就是这就是矢量形式的质点运动微分方程矢量形式的质点运动微分方程。(9-1)(9-1)(9-2)(9-2)第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程 取直角坐标系取直角坐标系Oxyz，将式（，将式（9-9-）投影到）投影到各坐标轴上，各坐标轴上，得到得到直角坐标形式的直角坐标形式的质点运动微质点运动微质点运动微质点运动微分方程分方程分方程分方程：第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程 若已知质点运动的轨迹（图若已知质点运动的轨迹（图9-29-2），可以质点所在处为原），可以质点所在处为原点，取自然轴系点，取自然轴系t,n,b,将式（将式（9-19-1）投影到自然轴系上，得）投影到自然轴系上，得 得到得到得到得到 自然轴系形式的质自然轴系形式的质点运动微分方程：点运动微分方程：由运动学知由运动学知第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程(9-4)(9-4)应用质点运动微分方程可求解质点动力学的两类应用质点运动微分方程可求解质点动力学的两类基本问题。基本问题。第一类问题：第一类问题：已知质点的运动规律，求作用于质已知质点的运动规律，求作用于质点上的力。这类问题可用微分法求得解答。点上的力。这类问题可用微分法求得解答。第二类问题：第二类问题：已知作用于质点的力，求质点的运已知作用于质点的力，求质点的运动规律。这类问题归结为求解运动微分方程，属于积动规律。这类问题归结为求解运动微分方程，属于积分问题。分问题。作用于质点的力作用于质点的力可以是常力或变力，当力是变力可以是常力或变力，当力是变力时，又可能是时间、质点的位置坐标、速度的函数，时，又可能是时间、质点的位置坐标、速度的函数，因此只有当函数关系较简单时，才能求得微分方程的因此只有当函数关系较简单时，才能求得微分方程的精确解。而且积分问题，还须给出运动的精确解。而且积分问题，还须给出运动的初始条件初始条件，以以确定积分常数。确定积分常数。第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程其中其中a,b,w都是常量，求质点所受的合力都是常量，求质点所受的合力F。解解:本题属动力学的本题属动力学的第一类问题第一类问题。将运动方程消去时间将运动方程消去时间t，得，得质量为质量为m的质点的质点M在平面在平面Oxyz内运动，内运动，已知其运动方程为已知其运动方程为可见质点运动的轨迹曲线是以可见质点运动的轨迹曲线是以a及及b为半轴的椭圆为半轴的椭圆第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程将式将式 代入方程（代入方程（9-39-3），可求得力），可求得力F的投影为：的投影为：于是，力于是，力F的大小的大小为为其中其中r是动点是动点M的矢径的矢径r的模的模第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程力力F的方向余弦的方向余弦为为 可见，可见，力力F 恰与矢径恰与矢径r 的方向余弦数值相等的方向余弦数值相等而符号相反。所以力而符号相反。所以力F与矢径与矢径r方向相反（即方向相反（即F指向坐标原点指向坐标原点O）。）。用方程表示为用方程表示为第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程 质量为质量为m的物体在空气中作自由落体运的物体在空气中作自由落体运动，假设空气阻力与物体的速度成正比（设动，假设空气阻力与物体的速度成正比（设比例系数为比例系数为k），方向与速度相反。），方向与速度相反。试求该物体的运动方程和速度方程。试求该物体的运动方程和速度方程。建立坐标系如图，建立坐标系如图，x轴铅直向下。物体轴铅直向下。物体受重力受重力 ，解解:本题属动力学的本题属动力学的第二类问题第二类问题。空气阻力空气阻力 由质点运动微分方程得由质点运动微分方程得 第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程令令，上式改写为，上式改写为积分得积分得 上式中的系数上式中的系数C为积分常数，为积分常数，e为自然对数的底数。为自然对数的底数。由初条件由初条件得得 ，代入，代入 式得速度方程式得速度方程第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程对上式再积分得对上式再积分得为质点下降的为质点下降的极限速度极限速度。式中式中D为积分常数，（假设）由初条件为积分常数，（假设）由初条件，得，得，代入，代入 式得运动方程式得运动方程时，时，,由由 式可见，当式可见，当第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程在倾角为在倾角为的粗糙斜面上放一重的粗糙斜面上放一重W W的物块的物块A A，物块上系一绳，绳与斜面平行，绕过滑轮后，物块上系一绳，绳与斜面平行，绕过滑轮后，在另一端悬挂一重在另一端悬挂一重P P的物块的物块B B。物块。物块A A与斜面间的与斜面间的摩擦因数为摩擦因数为f f。求物块求物块A沿斜面向上的沿斜面向上的加速度。假设绳子是不可伸加速度。假设绳子是不可伸长的；绳子的质量不计，滑长的；绳子的质量不计，滑轮的质量及轮轴处的摩擦也轮的质量及轮轴处的摩擦也不计。不计。第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程解：解：分别考察物块分别考察物块A、B，作示力图。物块作示力图。物块A、B分别建立动力学方程，得：分别建立动力学方程，得：第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程根据运动学条件和摩擦力条件，补充方程如下：根据运动学条件和摩擦力条件，补充方程如下：DDFF=ABaa=代入后解得代入后解得本题还可求出本题还可求出绳子的拉力绳子的拉力，得到得到 第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程或或或或一般说来，动力学中的约束力，不仅与物体所受一般说来，动力学中的约束力，不仅与物体所受的主动力有关，而且与物体的运动有关，这是与的主动力有关，而且与物体的运动有关，这是与静力学中的约束力不同之处。静力学中的约束力不同之处。第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程可见，绳子的可见，绳子的拉力包含两部分拉力包含两部分：一部分是由一部分是由P,W,F 等静力作用引起的，称为等静力作用引起的，称为 静反力静反力；另一部分是由物体运动引起的，称为另一部分是由物体运动引起的，称为动反力动反力。v v 重量为重量为W=30=30kN的物体悬于钢索的物体悬于钢索下端，以匀速下端，以匀速v0=2=2m/s下降，若卷筒下降，若卷筒突然刹车，求钢索的最大伸长。突然刹车，求钢索的最大伸长。设卷筒刹车时钢索每伸长设卷筒刹车时钢索每伸长1010mm需力需力2020kN。解解:刹车后物体只有上下运动，只刹车后物体只有上下运动，只需一个坐标就可确定物体的位置。需一个坐标就可确定物体的位置。取取平衡位置平衡位置为坐标原点，为坐标原点，x轴铅轴铅直向下，如图直向下，如图9-9-6 6所示。所示。第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程 考虑物体离开平衡位置考虑物体离开平衡位置x时的受力情况，它受重力时的受力情况，它受重力W及及钢索的拉力钢索的拉力F 作用作用。N/m=210N/m可得物体的运动微分方程为可得物体的运动微分方程为即即 其中其中 是钢索的静伸长。是钢索的静伸长。弹性常数弹性常数在平衡位置钢索的拉力为在平衡位置钢索的拉力为第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程令令则有则有考虑运动初条件，即考虑运动初条件，即，得得 解出解出 当当 t=0 时，时，其解为其解为第二节第二节 质点运动微分方程质点运动微分方程钢索的最大伸长：钢索