课标版高考文科数学总复习专题专题十五 不等式选讲（讲解练）教学讲练

考点清单方法技巧栏目索引专题十五不等式选讲高考文数高考文数考点清单方法技巧栏目索引考点一含绝对值不等式的解法考点考点清单清单考向基础考向基础1.|ax+b|c,|ax+b|c型不等式的解法(1)若c0,则|ax+b|c等价于-cax+bc,|ax+b|c等价于ax+bc或ax+b-c,然后根据a,b的值解出即可.(2)若c0),|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法(1)零点分区间法零点分区间法的一般步骤:令每个绝对值符号内的代数式为零,并求出相应的根;将这些根按从小到大的顺序排列,把实数集分为若干个区间;在所分区间内去掉绝对值符号得若干个不等式,解这些不等式,求出解集;考点清单方法技巧栏目索引取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用绝对值的几何意义求解由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x表示的数对应的点到a,b表示的数对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|0)或|x-a|-|x-b|c(c0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观.3.|f(x)|g(x),|f(x)|0)型不等式的解法(1)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x).(2)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)0,b0时,a+b2(当且仅当a=b时取“=”).考点二不等式的证明考点清单方法技巧栏目索引考向不等式的证明考向不等式的证明考向突破考向突破例2(2018百校联盟TOP20三月联考,23)已知函数f(x)=|2x-3|+|2x-1|的最小值为M.(1)若m,n-M,M,求证:2|m+n|4+mn|;(2)若a,b(0,+),a+2b=M,求+的最小值.考点清单方法技巧栏目索引解析(1)证明:f(x)=|2x-3|+|2x-1|2x-3-(2x-1)|=2,M=2.要证明2|m+n|4+mn|,只需证明4(m+n)2(4+mn)2,4(m+n)2-(4+mn)2=4(m2+2mn+n2)-(16+8mn+m2n2)=(m2-4)(4-n2),m,n-2,2,m2,n20,4,(m2-4)(4-n2)0,4(m+n)2-(4+mn)20,4(m+n)2(4+mn)2,可得2|m+n|4+mn|.(2)由(1)得,a+2b=2,a,b(0,+),+=(a+2b)=4,考点清单方法技巧栏目索引当且仅当a=1,b=时,等号成立.+的最小值为4.考点清单方法技巧栏目索引方法1含绝对值不等式的解法解法一:利用绝对值不等式的几何意义求解.解法二:利用“零点分段法”求解.解法三:通过构造函数,利用函数的图象求解.方法技巧方法技巧考点清单方法技巧栏目索引例1(2018东北三省三校第一次模拟,23)已知不等式|2x-5|+|2x+1|ax-1.(1)当a=1时,求不等式的解集;(2)若不等式的解集为R,求a的取值范围.(1)利用零点分段法解不等式;(2)利用数形结合法求出直线的斜率,从而求得a的取值范围.解题导引考点清单方法技巧栏目索引解析(1)令f(x)=|2x-5|+|2x+1|,则f(x)=|2x-5|+|2x+1|=因为a=1,所以当x-时,由-4x+4x-1,解得x1,所以x-;当-x-1,解得x7,所以-时,由4x-4x-1,解得x1,所以x.综上,所求不等式的解集为R.(2)由(1)作函数f(x)的图象,点A,令y=ax-1,则y=ax-1的图象过定点P(0,考点清单方法技巧栏目索引-1),如图所示,由不等式|2x-5|+|2x+1|ax-1的解集为R,可得-4a,即-4a.所以,实数a的取值范围为.考点清单方法技巧栏目索引方法2与绝对值不等式有关的最值问题的求解方法求含绝对值的函数的最值时,常用的方法:(1)利用绝对值的几何意义;(2)利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|ab|a|-|b|;(3)利用零点分区间法;(4)数形结合法;(5)利用基本不等式及柯西不等式.例2已知函数f(x)=|x-1|-2|x+1|的最大值为k.(1)求k的值;(2)若a,b,cR,+b2=k,求b(a+c)的最大值.考点清单方法技巧栏目索引解析(1)由题意知f(x)=其图象如图,由图可知f(x)的最大值k=2.(2)由(1)知+b2=2,即(a2+b2)+(b2+c2)=4,因为a2+b22ab(当且仅当a=b时考点清单方法技巧栏目索引取等号),b2+c22bc(当且仅当b=c时取等号),所以(a2+b2)+(b2+c2)=42(ab+bc),即ab+bc2,故b(a+c)的最大值为2.考点清单方法技巧栏目索引方法3不等式的证明与应用的解题方法证明不等式的常用方法:(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法和放缩法.例3(2019湖南五市十校教研教改共同体联考,23)已知函数f(x)=|x+1|.(1)求不等式f(x)f(a)-f(-b)成立.(1)由零点分段法解不等式.(2)f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|a+1-(-b+1)|=|a+b|即证|ab+1|2|a+b|2用作差法证明解题导引考点清单方法技巧栏目索引解析(1)f(x)|2x+1|-1,|x+1|-|2x+1|+10.当x-1时,不等式可化为-x-1+(2x+1)+10,解得x-1,x-1;当-1x-时,不等式可化为x+1+(2x+1)+10,解得x-时,不等式可化为x+1-(2x+1)+11,x1.综上所述,A=x|x1.(2)证明:f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|a+1-(-b+1)|=|a+b|,要证f(ab)f(a)-f(-b)成立,只需证|ab+1|a+b|,即证|ab+1|2|a+b|2,即证a2b2-a2-b2+10,即证(a2-1)(b2-1)0.考点清单方法技巧栏目索引由(1)知,A=x|x1,a、bA,a21,b21,(a2-1)(b2-1)0成立.故对于任意的a、bA,都有f(ab)f(a)-f(-b)成立.