浙江省杭州地区2022年高一上学期数学期中考试试卷及答案

高一上学期数学期中考试试卷 高一上学期数学期中考试试卷一、单选题一、单选题1已知集合 ，则 （）ABCD2命题“”的否定是（）ABCD3已知 ，则 的大小关系是（）ABCD4设 ，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件5网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长 SIZE 尺码对照表中国鞋码实际标注(同国际码)mm220225230235240245250255260265中国鞋码习惯叫法(同欧码)34353637383940414243一个篮球运动员的脚长为 282 mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是（）A45B46C47D486在平面直角坐标系中同时作出函数 和 的图象，可能是（）ABCD7下列函数中，在 上单调递增且满足“”的是（）ABCD8若定义在 上的函数 满足 ，函数 在 上单调递减且 ，则满足 的实数 的取值范围是（）ABCD二、多选题二、多选题9已知 ，下列命题中正确的是（）A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 10下列各组函数中，相同的函数有（）A函数 与函数 B函数 与函数 C函数 与函数 D函数 与函数 11已知函数 ，下列判断正确的是（）A 是偶函数B当 时，在 上单调递增C当 时，的值域是 D关于 的方程 的不同实根个数可以是 个12设正整数 ，其中对于任意 ，函数 满足 则（）ABCD三、填空题三、填空题13若幂函数 是偶函数，则 14已知正实数 满足 ，则 的最小值是 15以下是面点师制作兰州拉面的一个数学模型：如图所示，在数轴上截取与闭区间 对应的线段，该线段长度为 4 个单位将该线段对折后（坐标 4 对应的点与原点重合），线段数目翻倍，再将每根线段都均匀地拉成长度为 4 个单位的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标 1 和 3 对应的点被拉到坐标 2，原来的坐标 2 对应的点被拉到坐标 4，等等）接下来的每次操作都在上一次操作的基础上进行同样的流程在第 次操作完成后 ，原闭区间 上恰好被拉到坐标 4 的点有若干个，这若干个点在第一次操作之前所对应的坐标形成一个集合，记为 ，例如 则集合 可以用列举法表示为 16已知函数 ，若对任意 ，均有 ，则实数 的取值范围是 四、解答题四、解答题17已知函数 的定义域为集合 ，集合（1）若 ，求 ；（2）在 这两个条件中选择一个作为已知条件，补充到下面的问题中，并求解 问题：若 ，求实数 的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18已知函数 ，其中 是不为零的常数 （1）若 ，求使得 的实数 的取值范围；（2）若 在区间 上的最大值为 ，求实数 的值 19已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，（1）求函数 在 上的解析式；（2）利用函数单调性的定义证明：函数 在 上单调递减 20已知函数 ，其中 （1）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值；（2）若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围 21用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多洗掉的农药也越多，但总还有农药残留在蔬菜上设用 单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗之前残留的农药量之比为函数 （1）试规定 的值，并解释其实际意义；（2）根据题意，写出函数 的两个性质；（3）若 现有 单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成 份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？说明理由 22设集合 ，（1）若 ，求集合 和 （用列举法表示）；（2）求证：；（3）若 ，且 ，求实数 的取值范围 答案解析部分答案解析部分1【答案】B【解析】【解答】因为 ，所以 ，故答案为：B【分析】根据题意由交集的定义，即可得出答案。2【答案】C【解析】【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定是 ，故答案为：C【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，结合已知条件求出结果即可3【答案】D【解析】【解答】函数 在 上单调递增，因为 ，所以 ，即 ，函数 是实数集上的增函数，因为 ，所以 ，即 ，即 ，故答案为：D【分析】根据题意由幂函数和指数函数的单调性，整理化简即可得出答案。4【答案】A【解析】【解答】由 可得 ，解得 或 ，因为 或 ，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】由不等式的简单性质整理化简原式，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。5【答案】C【解析】【解答】设脚长为 ，鞋号为 码，由数据可知，脚长和鞋号符合一次函数关系：，将 代入可得 ，当 时，故他最适合穿的鞋号是 47 码.故答案为：C【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，由已知条件即可得出函数的解析式，再把点的坐标代入计算出结果即可。6【答案】C【解析】【解答】函数 在定义域上单调递增，故排除 A；直线 过点 ，函数 过点，当 时，指数函数 在定义域上单调递增，当 时，指数函数 在定义域上单调递减，对于 B，在 的上方，应该单调递增，矛盾，排除 B；对于 C，在 的下方，且指数函数 在定义域上单调递减，C 符合题意；对于 D，位于 的下方，而指数函数 在定义域上单调递增，D 不正确；故答案为：C.【分析】根据题意由指数函数和一次函数的图象和性质，对选项逐一判断即可得出答案。7【答案】B【解析】【解答】对 A，在 上单调递增，即 ，A 不符合题意；对 B，在 上单调递增，即 ，即 ，则 ，则 ，即 ，B 符合题意；对 C，在 上单调递增，即 ，即 ，即 ，即 ，C 不符合题意；对 D，在 上单调递减，D 不符合题意.故答案为：B.【分析】由已知条件结合函数单调性的定义以及基本不等式，整理化简由此对选项逐一判断即可得出答案。8【答案】D【解析】【解答】因为 ，即 ，对称中心为 ，又 在 上单调递减且 ，故 大致图象为：由图可知，若 ，则满足 或 ，即 或 ，解得 .故答案为：D【分析】根据题意由已知条件即可得出函数的图象，然后由数形结合法即可得出不等式，结合不等式的解法求解出不等式的解集即可。9【答案】B,D【解析】【解答】A：显然成立，但是 不成立，故本选项命题是假命题；B：因为 ，所以 ，而 ，所以有 ，因此本选项命题是真命题；C：因为 ，所以 ，因此有 ，而 ，所以 ，因此本选项命题是假命题；D：因为 ，所以 ，所以有 ，即 ，因此本选项命题是真命题，故答案为：BD【分析】根据题意由不等式的基本性质，对选项逐一判断即可得出答案。10【答案】A,C,D【解析】【解答】对于 A，与 是同一函数，A 符合题意；对于 B，与 对应关系不同，B 不正确；对于 C，函数 与函数 的对应关系相同，定义域相同，是同一函数，C 符合题意；对于 D，函数 与函数 ，对于定义域内的每一个值根据对应法则都对应同一个函数值，是同一函数，D 符合题意.故答案为：ACD【分析】根据判断两个函数是否是同一个函数的条件：定义域和对应法则相同，对选项逐一分析即可得出答案。11【答案】A,B,C【解析】【解答】，即 ，故函数为偶函数，A 符合题意；当 时，当 时，在 上单调递增；当 时，当且仅当 时取到等号，结合对勾函数性质可知，当 时，单调递增；当 ，时，可直接判断 为增函数，故当 时，单调递增；综上所述，当 时，在 上单调递增，B 符合题意；当 时，当且仅当 时取到等号，故 的值域是 ，C 符合题意；因为函数为偶函数，故 的解总是偶数个，故不可能有 3 个实数根，D 不符合题意.故答案为：ABC【分析】根据题意由偶函数的定义整理化简即可判断出选项 A 正确；由特殊点法代入结合对勾函数的单调性即可判断出选项 B 正确；结合已知条件由基本不等式整理化简即可判断出选项 C 正确；由偶函数的简单性质即可判断出选项 D 错误，从而得出答案。12【答案】A,B,D【解析】【解答】由 ，可知，A 符合题意；，所以 ，（此时 只能取 0 或 1），所以 ，所以 ，B 符合题意；，所以 ，故 ，C 不符合题意；，令 ，故 ，D 符合题意.故答案为：ABD【分析】根据题意由特殊点法代入数值计算出，对 n 赋值，结合题意代入数值计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。13【答案】-2【解析】【解答】是幂函数，解得 或 1，当 时，为偶函数，满足题意；当 时，为奇函数，不满足题意，综上，.故答案为：-2.【分析】首先由幂函数的定义代入数值计算出 n 的所有取值，再对 n 分情况讨论结合偶函数的定义即可得出满足题意的 n 的取值，从而得出答案。14【答案】12【解析】【解答】由 ，故 ，即 ，令 ，则有 ，同时平方化简得 ，即 ，又 ，故解得 ，此时 ，当且仅当 时取到等号，故 的最小值是 12.故答案为：12【分析】首先整理化简原式，然后由由基本不等式即可得出，令整理化简，结合一元二次不等式的解法求解出 t 的取值范围，以及取得最值时对应的 a 与 b 的关系，由此即可得出答案。15【答案】【解析】【解答】第一次操作后，每一部分的中点在操作之后对应的坐标都是 2，与 4 对应点的坐标为 2，只有一个，因此 ；第二次操作后，与 4 对应的点应取 0 和 2 的中点 1，2 和 4 的中点 3，共 2 个，因此 ；第三次操作后，与 4 对应的点应取 0 和 1 的中点 ，1 和 2 的中点 ，2 和 3 的中点 ，3 和 4 的中点 ，故答案为：【分析】根据题意由列举法求出满足题意的中点的数值，由此即可得出答案。16【答案】【解析】【解答】如图，为 的基本图象，由图可知，在 上单调递增，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，要使 在 上恒成立，接下来分类讨论，当 时，恒成立，；当 时，分离参数 得 ，令 ，则 单减，故 ；当 时，分离参数 得 ，则 ，故 ；综上所述，故答案为：【分析】首先由函数的单调性整理化简即可得出不等式即 在 上恒成立，结合题意分情况讨论由对勾函数的单调性即可求解出函数的最小值，由此即可得出 t 的取值范围。17【答案】（1）因为 的定义域需满足 ，解得 ，即 ，若 ，则 ，或 .所以（2）选等价于 当 时，等价于 ，即 当 时，等价于 ，等价于 综上所述，选的时候，若 ，等价于 ，即 若 ，等价于 即 无解综上所述，【解析】【分析】(1)根据题意由函数定义域的求法，即可得出不等式结合一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，由此得出集合 A，再由 m 的取值即可得出集合 B，结合补集和交集的定义即可得出答案。(2)选等价于，对集合 B 分情况讨论，结合集合之间的关系对边界点进行限制，由此得出关于 m的不等式组，求解出 m 的取值范围即可。选，对集合 B 分情况讨论，结合集合之间的关系对边界点进行限制，由此得出关于 m 的不等式组，求解出 m 的取值范围即可。18【答案】（1）；（2）结合复合函数同增异减性质可知，当 时，在 上单调递增，此时，当 时，在 上单调递减，此时，综上所述，或-14【解析】【分析】(1)根据题意把数值代入计算出 a 的取值，由此得出函数的解析式，然后由指数函数的单调性即可得出关于 x 的不等式，求解出 x 的取值范围。(2)由复合函数的单调性结合指数函数和一次函数的单调性，整理化简计算出函数的最值，由此计算出 a 的取值。19【答案】（1）因为 是定义在 上的奇函数，所以有 ，当 时，所以 ；（2），当 时，即 因为 ，所以 ，因此 ，故 ，于是 在 上单调递减【解析】【分析】(1)根据题意由奇函数的性质代入验证整理化简，即可得出函数的解析式。(2)由函数单调性的定义整理化简即可得证出结论。20【答案】（1）由题意知不等式 的解集为 ，故 是方程 的根，故 ，解得（2）等价于存在 ，使得 此时，令 ，（由双勾函数的性质）可得 在区间 上的最大值是 5，故 .【解析】【分析】(1)根据题意由一元二次不等式的解法，结合韦达定理计算出 a 的取值。(2)由已知条件整理化简不等式由此得出不等式，利用分离参数法得