陈文灯考研线性代数有答案

第一章行列式1.四阶行列式中带有负号且包含a”和 细 的 项 为.解.正的的中行标的排列为123 4,逆序为0;列标排列为213 4,逆序为1.该项符号为“一”，所以答案为团23 213 3 3 a1.2.排 歹(J 5 八可经 次 对 换 后 变 为 排 列 五 九解.排列了5 1“可经过1+2+-+(n-1)=n(n-l)/2次 对 换 后 变 成 排 列 列九3,在五阶行列式中(-D0n络,解.15423 的逆序为5,23 145的逆序为2,所以该项的符号为“一”.4.在函数/w=-*-X2中，X，的系数是.2xhZ-1 =+4/解.V的系数只要考察*1.所以/前的系数为2.5.设 a,6 为实数，则当a=,且 6时,a b 0-A a 0-1 0-1=0b-垢=(fl*+A8)=0所以a6=0.6.在阶行列式 D=K 中，当/2).解.当*2h啊M MA+3X j+3Mxa 4-3A X|+*A Xj 4-MM MA&+舄M22M2Tj+3*)+3M4 4 3AAMAX j+X3+M勺+3A +3xa+3AAMAX|4-M叼+wMx.+M+I 2 j j +3I 2 盯+3MI 2 j,+3AAMAJ|+Mjr3+M、+MAAMAX|+JVX+MMO+AAo当,=2xt+l jq+24.设a,b,。是互异的实数，证明:t b c=01*C、的充要条件是a+b+C=0.证明：考察范德蒙行列式:D=a b c yia 川/i3 c1=-cXA-X一 却 r)=-(a-c*+A+AI I 1r b cI JLS 小行列式即为产前的系数.于是i bJ=9 -AX-c -c)(a 4-A 4-c)5.证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明：*=-4 l/H 4 r H Y f=（-D|4|=T 4|（为奇数）.所 以|4=0.6.设/(x)=3-x 5-3?3xJ-lG?-t 3JP-1 7?-1证明：可以找出数B（0 8 1）,使/（初=（提示：使用罗尔定理）./(0)=3 5 3=0证明：卜I T T由罗尔定理,存在数6(0 8 ri(B)r%-xoT%-xoToo1o四%ToMMMMo1-22IQ-2-2oIoo-l。o.ooo1ooIQo。.其丛oMMMM乂/oT%o-x-loXKlMMMMTII40-0-10-o1oo-IQoQ.一ooo%-xo-x-一oKK%MMMMTilloo1ootoo.1Qoo.%-x-x%/-x%-xX%-%-%I1%-xl-x%l%-x%-x匕%-X-M%MMMMoooIootoo1ooI.oQQ.cosa8，a-w asn asn aii.cos a由矩阵分块求逆公式:T =所以0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0i v.由矩阵分块求逆公式:rx 0 1=产 oo B=o 6T1-2 0 0-2 5 0 00。%。-%闻3.已知三阶矩阵4 满足=123)其 中%=(12?)乙=(2.-2Jr Z-Z-t251.试求矩阵42由本题的条件知:2M l 02M 1 0012-2MO 1 03M-2 1 0-22MO 0106M-2 0231323oo1-3l_-32-32-3MMM2T-3o1oloo0130001-312一32一3MMMloo2-91-92-92-9291-92-9-1-92-92-9MMMOOIo1o.loo.T2-3l_-32-9O019-5-MMMo1oloo2-32-32o5-32_-37-3o2.-3=2-91-92-92-92_-91-91-92-92-9-47614T2122A=001可逆，并求其逆.0I04.A取什么值时,0解.I 0。M I 0 00 I 0 M 0 1A 00 0 I kf-1 l/k I所以 1 0 04T=0 迎。T返1.5.设4是阶方阵，且有自然数典使(+4)=0,则4可逆.(干+可 =8+弋4=0解.因为 I 1所以 u .所以4可逆.6.设8为可逆矩阵，4是与8同阶方阵，且满足1 +45+4 =0,证 明/和4+6都是可逆矩阵.解.因 为/+松+6=0,所以=因 为 方 可 逆,所 以 卜(一 炉|3#。所 以I，切所 以4 4+6都可逆.7.若4 3都是阶方阵，且+4?可逆，则+的也可逆，且(四+幽4=q-6(6+皿4解风片+5 4 =超 +BA-+幽 双E+AB)TA后 +A X -+幽4/=&+贴-+/瞅A +月=B +R A-B A =所以（居+砌T =E -6（后+幽T.8.设4 6都是阶方阵，已知|以 二0,4 可逆，且（4-9-=（5-）；求证4可逆.解.因 为（4一 力-=（B*,所以（4一）（-）=所以 A Br-B）-Br+S =B A（fir-j =Br由 w o知B l （肝 尸存在.所以，B，-取 胪 尸=A所以可逆.9.设4氏4 +B为 阶正交矩阵，试证：（4 +8）-=A-+f.解.因 为4 B,4 +6为正交矩阵，所 以。+为=（m-，=4_/=r所以 S+f i）T =（，+fi）r=Ar+6 r =，T +&T,翡3Ali o .设4 6都是阶方阵，试证明：r*0叶后-AVAq_产 B 解 因 为 房。1。B8 T=O 8-A B _|0 平-凡 产 B I所 以 1ff。卜密N 4=1。-15 4Mg JJ=（一 旷 叫因为（-/=（一y，所以1 1.设4为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵，为四阶单位矩阵0 0 0 0-0 0 0 00 0 k 00 0 0 Zi .试 计 算 面，并指出4中元素满足什么条件时，+45可逆;i i .当E+4?可逆时，试证明（+4 皮 一 4为对称矩阵.8+AB L0 0 K 1.瘴+皿=1-必 或所以当%*1时，+可逆.H8+A0)A=A8+JW)-*=(A-1+fi)|因为4 8为实对称矩阵，所以+8为实对称矩阵，所以（+1 而7 力为对称矩阵.1 2.计算下列各题:212i.Em-MB00ii.30-51二 注M：卜8所以H二扰n23(E研:23,为儡数“为奇数i i.假设V2 I0 中0 0U51,则A的三个互不相同的特征值为于是存在可逆矩阵月使得P A P =所以V20001/30001/5（四0附 000（归于是(1/2/o o 1o =0o的1 3.设2 0 0I 1 00,求 f解.使用数学归纳法.z o oI A 00 1 A100X100X0 02X 2a 01 2JL V01000J L33X.0*300(1+皿 32假设X*以1#1(l+A0Z*桓 J00则.J(t+A+ib-I)AM o p 0 O-好 o h X oL o o 1林+M,产 o0+A+皿。(*+9 2*ito l所以z 0 0X la 0J_Q+A+&-1)工7 UT 11 4.设力为”阶可逆矩阵，证 明i.（才7=（/4二i i.（）=（/,iii.心=山 ，灯=3丁.解 i AA-4=&.W =g.所以X，可 逆 且(*)T =Qr)rii.司A t(x y =q AM-1)r=|X|(A-l)r HAr KAryl=(jf yi i i.先证明：当4 8为 同 阶 可 逆 矩 阵 吐 有。射=&/证明：(M=|期|(幽7=|，|&|&-匕 =&，下面证明本题：因 为JW1=&两边取*运算，所以于是oc)T=aT)3(外/=K/T)F=尸r =K K)T1 5 4是”阶方阵，满足4=其中是正整数，为阶单位矩阵.今将4中“个元素a”用其代数余子式4,代替，得到的矩阵记为4.证 明 =解.因 为d=所 以1=1,所以4可逆.4 =S)r=Q 川/T =1 可(/)T所以 4=(可(/尸 =,=etai.it),a=(-L02D 则k=_ _ _ _ _时,ai,a%a3,ou线性相关.解.考察行列式2-I05 4 1 I-2 0 03 I 20 k I2-8 -I-1 0 00 3 15-10 k10232klO k=-8-3*+2 0-1 0 +16*4-3=+5=o.5=-而2.设,=Q，-L*S.=(W A-2),%=(a-534).，=(T 3.，Q)贝“=时,ai,a2,a3,a,线性相关.解.考察行列式0-53130卜5 5 33团+60+30+绝 一30-60=0所以对任何t,ai,a2,a3,a 线性相关.3.当=时，向量p =(1,k,5)能 由 向 量%=0 辜 丐=4 7 线性表示.解.考察行列式得%=-8.当4=-8时，三个向量的行列式为0,于 是“线性相关.显 然 ,线 性无关，所 以A可用,线 性表示.4,已知,=(LL22D,=IQ),Oy (2.03 13).，=(LW A D 则秩(.,a2,a%a,)=解.将a1，a2,as,a,表示成矩阵1 01 22 I2 523-I00000-22/5-203 01 00 I-0 00 00 02 I-I 00-20 2/50-2r (ai,aai)=32所以,a：,2230-8402-9 01 -5 -1/80 0-A5/K0 0-训00 0-1/A所以 r (a=3.6,已 知&=QA-lR.=矩 阵 八 a p,则秩(4)2)=00000-120000200-200000200002*000所以 r (4)=1.7.已知向量,=0*23嗡.-(i3,4.5),%-(3.4.5.4 -(4.5,6Q且秩(ai,a2,a；,a)=2,贝ij t =解.A=(ai,a2,as,aO0-20-32 3 41 2 30 0 00 0 i-72 3 422343 4 54 5 65 6 i023所以当t=7时，r(A)=2.1.设向量组a1，a2,0 3线性无关,则下列向量组线性相关的是(A)a,+az,az +as +a.(B)ai,ai +a2,ai+c t 2 +a：；(0a1 a2,a2 O U,a：j-ai(D)ai +a2,2 a2 +a：j,3 aa+ai解.由 -+以-4)=0得(*t-与 X +g -*i),+(*3-舄 应=0因为向量组a,a2,原线性无关，所 以 得 关 于 品 的 方 程 组一卷+Aj=0行+用=0I 0-1-1 1 0=1-1=0,起 能 的 系数行列式为 0-1 1 I,所 以 小 电 与 有非零解，所以aa,a2-as,a：；ai线性相关.(C)是答案.2.设矩阵4的秩为以4=n,4为m阶单位矩阵，下列结论正确的是(A)4的任意0个列向量必线性无关(B)4的任意一个次阶子式不等于零(0若矩阵3满 足 物=0,则6=0(D)通过行初等变换，必可以化为(区，0)的形式解.(A),(B)都错在“任意”；(D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将“变成(区，0)的形式;(C)是正确答案.理由如下：因 为 胴=0,所 以0=时 之2)+&-*=9)+*-*=肛所以为=0于是8=0.3,设向量组(I)：,=(一,/J；设向量组(I I)：A=(,a s线性表示，但表示不惟一;i i i.当*=0 时0 1 1 MlI 0 I MO f1 1 2 M oI 0 I MO0 1 1 Mt1 1 2 M o1 0 1 M O-0 1 I Ml0 I I M Ot 0 1 M 07 0 1 I M I0 0 0 M-l数矩阵的秩等于2,增广矩阵的秩为3,所以所以p不能由a”s,圆线性表示.2.设向量组a i,a2,线性相关，向量组a?,a3,a t线性无关，问i.c u能否由a%。3线性表出？证明你的结论;i i.o u能否由a i,a2,o u线性表出?证明你的结论解,i.8 不一定能由a”叁线性表出.反例：叫=0 叼=0，.=如尸.向量组a i,a-,。3线性相关，但a】不能由a 2,a：s线性表出；i i.s 不一定能由a,叁，线性表出.反例：,=&，妒，巧=3 1旷,以D.a,8,。3线性相关，。2,c t 3,c u线性无关，a 1不能由a i,成，。3线性表出.3.已知/个向量a 1，a2,%线性相关，但其中任意