线性代数同济大学四版

线性代数同济大学第四版课后答案习题一习题一 15 6 T o1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:11-ccoT821T1 1 1(3)%b q;(72 b2 c2x y t+j-(4)y.x+v .vY+K x v(i)1-3oT821解T=2x(-4)x 3+0 x(-l)x(-l)+l x l x 8-Ox l x 3-2x(-1)x 8-l x(-4)x(-l)=24+8+16 4=4.(2)解a b cb c c ic a b-acb+b ac+cb a-b b b-aaa-ccc-3 ab c-c-l P-c3.(3)1 1 1c i b ca1 b1 c1=b c2+cc-ab2-ac2-b c-cb2 a-b)(J b-c)(c-ci).x y x+v解 y x+y xx+y x y二A(Yt y)i+i M.v+；T)+(.Y+j：)K y -(x+y)-x-3 x y(x+y)-3?y-y 3-x3=-2(?+i-3).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1)1 2 3 4;(2)4 1 3 2;(3)3 4 2 1;(4)2 4 1 3;(5)1 3 (2/-1)2 4 (2/);(6)1 3 (2 1)(2)(2 一 2)2.(1)解 逆 序 数 为 0(2)解 逆序数为4:41,43,42,32.(3)解 逆序数为 5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1.(4)解 逆 序 数 为 3:2 1,41.43.(5)解 逆 序 数 为 6：3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)7 2,7 4,7 6(3 个)(27 2-1)2,(2-1)4,(2w-l)6,(2n-l)(2n-2)(7 2-I 个)(6)解 逆 序 数 为 -1)：3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)(27 2-1)2,(2/z-l)4,(27 2-1)6,(2/2-1)(27 2-2)(7 2-1 个)4 2(1 个)6 2,6 4(2 个)(2/2)2,(2/2)4,(涮 6,(2 n)(2 n-2)(7 2-1 个)3.写 出 四 阶 行 列 式 中 含 有 因 子 的 1 23的项.解 含因子。1 1。23的项的一般形式为(一 1)%11。2 3。次出，其中所是2 和 4 构成的排列，这种排列共有两个.即24和 42.所以含因子 n 23的项分别是(-1 )%1 避 2#3/44=(-1)1。2 3 的2。相=一 1112/3潦 4 4.(一 1 )%11。2 切 3 回2=(-1 )%1 僧 2 资 34a 4尸。1 僧 2 3。34 42.4.计算下列各行列式:420720211125*112242361T2O00167o-1iC-1-TP-O“TOOx734X(-1+一2123411 1 0-O41210-2021T23041LOOo-0241A-119on901 1 74207解20211*91s)-12q+024-123411 1 0-0200423402024236IT202315-112242361T2O解o-00-00423011200-310(3)解-ab ac aebd-cd debf cf-e f-b-adf g11 -Acibcdef.二9c(4)ooldalCT+ab 1OTOOOOIO1c-111TP-oToo解1+nZ?a 0|c3+ccA+ab a ad-(-1)(-1)2+1-1 c 1 -1 c 1+cdo-i d|o-i o二(-1)(-1)3+21 f卜4A加76+(：加7在 1.5.证明：*ab b1(1)2ci a+b 2 =(5)11 1 1证明cr ab-cr lr-cr2ri b-a 2b-2a1 0 0二（_ 升 忆,与 二 以 二（）（人听匕ax+b、av-bz。二+bx(2)c/y+bz az+bx as+by=(c+b3)y z xc/z+bx c/s+bv c/v+bz证明cix+by ay-bz az+bxay+bz az+bx ax+byciz+bx ax+by ay+bz-ax ay-bz az+bxy az+bx cix+by二 ax+bv av+bzy ay-bz ciz+bx二 ciz+bx ax+byx ax+by ay+bzx ay+bz 二-a2 v ciz+bx x二 ax+by yy=az+bxz x ax+byx y ay+bz-Cl3+加-cP+=(3+Z)3)V 二 XZ X V*Q+I)2 a+2 y m+3)2按 0 +1)2 3+2)2 0 +3)2c1(c+1)2(c+2)2(c+3)2d2(4+1)2 0+2)2 0+3)2证明a2心c1d2(67+1)2(4+2)2(4+3)20+1)2 0+2)2 0 +3)2(c+1)2(c+2)2(c+3)2(4+1)2 +2)2(4+3)2(C4C3,C厂C 2,6 2-。1 得)-a2Nc1cl2267+12Z)+12c+l%+1%+3%+52Z)+3 2Z)+52c+3 2c+5%+3 2(7+5（。4一。3,C厂宾得）o一一2222222211111111+cd2222222Qcd1cc2c4lb/2z 41%h4x7=(ci-b)(ci-c)(ci-d)(b-c)(b-d)(c-d)Q+/)+c+力;证明Id2rz*1c2c4clbz)2z)4I卢loo1b-ab(b-d)b2(b2-a2)1 1c-a d-ac(c-a)d(d-a)c2(c2-a2)d2(d2-a2)1 1 1=(b-ci)(c-a)(d-a)bedb2(b+ci)C2(C+7)d2(d+ci)1 1 1=(b-ci)(c-a)(d-)0 c-b d-b0 c(c-b)(c+b+ci)d(d b)S+b+a)=(j)(r)G-0)(j)(d-%+,)d 3+(-Z)(Moooooao400 0 0a 0（万 一 1）一1）S-2)(M-2)(2)2=解将第一行乘（T）分别加到其余各行，得QOO-XO4no-OX-a-ro-O2=再将各列都加到第一列上,得x+(?i-r)a a a 0 x-a 0 A =0 0 x-ci 0 0 0 00 10=x+(7Ll)q(”-。)Ix-aan(。一1)(ci-iiy1M g_yi&_仍(3)2+i=.a a-l a-ii1 1 10+D加 二-1广 解 根 据 第6题结果，有1 1a =d瞰 的），其中阳=|解 析 吃 卜1234二二O3210”2.2101-*r1012-0123二11111*1 1,1,-1 1-111 1-1FZ1 TI2 n3 w 4 0OO-2-2一-ow0VOVOV-*)222O-弓一弓 *q+q=det。)二l+q 1 1(6)2=1 I*%1 ，其 中“他一,产。.1 1 1+例解A=l+q 1 11 1+%11 1 1+%1 0 0-1 1 00-1 10 0 00 0 0 0 0/i 0 0 公 0 0,1 1 碎1-0 111不0 0 01 0-0 1 1 0000伍I时40 0.-1 1 砧n0 0 0 0 1+可 I自1二(%q)Q+篇).8.用克莱姆法则解下列方程组:X+M+M+M=5 产9 一玉+的_一，4-3%+.0+2二 3 +1 卜 4 =0解 因 为D=-142,1 12=一142,p,=213Z215-2-2O-12-31=2 9=3=-4A=A。=以所5%+65=1%+5.0+6.*=0(2)-2(l-/t)(-3-A)=(l-2)3+2(l-2)a+2-3.令8 0,得=0,=2 或 2=3.于 是.当 庭0,然2或 在3时，该齐次线性方程组有非零解.习题二1.已知线性变换：=2J1+2V2+V3*2=3.耳+.%+5 m，壬=3弘+2%+3%求从变量“1,”2,“3到变量”J%V 3的线性变换.解 由 已 知；故咻-763/Vh9-7-42.已知两个线性变换、=2.”十 丁3X7=-2)+3 V2+2y3,I+V2+5V33 二 一 二2+3二3求从二1.二2,二3至U X I.X2,.丫3的线性变换.解知已由z r7rzk一一o31 1二 2As373r-1 A2 07k x2 5-o3 l x1 1otf-6 1二 12-410 13 916%=-6二1+二2+3二3所以有卜2 二 12二1一4二2+9二3.M=-16二-二2+16二3fl 13.设44=1 1U-11-1.B=1J1 2 3)1240 5 17,求3.45-”及月为.解(1 13AS24=31 1U T1 Y11 12 3、24 5 D(1 口2 11-1u-i u0 5=3 0-512 9(1 0).2、(3)i (-1 2);2、解1 (-1 2)13)3-o11-o-1t4/II力43C l 1 2 6/1 3(5)(%-v2 Man Cl2 1 a2 3电2 3 33人可解如2643、(%0 0)牝%3%1。1 3 2 3。3 3人飞、二(_f 8 1 4)(2 5人2 5厂 1 1 4 2 9/但 小2 曲叫评M汴 M；出 那所以(/+3)2=/+1 4 5+3 2.(3)解（4+3）*）必2_虎因为.4+3=6 9,AB=Q 169oO/._:一一/21o（4+3）0-3）二O故（4+3）0 3）工/一32.6.举反列说明下列命题是错误的:若/应 则，=0;解取月二711OoO贝 L42=0.但.4w0.(2)若 f t/,则月二0 或/二;解 取且二缶，贝，但,4工0且 工E(3)若4匕4 K且 加0.贝ijE V.取解oo11o ABn BA=A R11.求下列矩阵的逆矩阵：(1)(;解.4二 G 141=1,故月7存在.因为*二网 4。/5-2)故-尸=3*=匕7),c cos J s in cos卜解q潞4外 囿 T。，故 不 存 在因为 cos smt一 sin，cos。4*二14 411月1 2 2 2(cosO sm)1-sin6 cos。1所以fl 2-1(3)3 4-2fl 2-1解A=3 4-2 平曰文），故不存在.因为1 5-4 1J2 0、所以4 i(46-12 3 14-2)1一 32月2 2 月3 2 13q 60(4)(。僧 2一恁工0).oV4，q解A=生0o,由对角矩阵的性质知6)1 2.解下列矩阵方程：(1)(;4=(厂:);*耳 简 街 书 砥)6办o?r_ Jj2 -4丫3 1 Y1 01-夙1 1大。-认川心 掇 并 削0 1 0)(4)1 0 0 X(0 0 1J1 0 00 0 10 1 ojfl-4 3)=2 0 11 -9 0解X=O1OoO11oO外TO-2121i/,113.利用逆矩阵解下列线性方程组:一、+2丫2+3.*=1(1)2 5或 月 4(月一砂=君，4由定理2 推论知月可逆，且月-|二2 -由子-士2 信。得-4 民 即(4+2 )-3 -4 昂或(A+2E)(?E-A=E4由定理2 推论知0+2 局可逆，且(4+2 固尸=4 3 5-.41 6.设月为3阶矩阵，|月 上；，求|(2 4 尸-5.#.解 因 为 月”=上月*,所以Ml|(射尸一 5 d l=|1 4 一 5 M|月 力=|1 4 一 g 月 力M1 M*X r二 卜 2 4-r(-2)氧-1|=-8 国 l=-8 x *1 6.1 7.设矩阵月可逆.证明其伴随阵，*也可逆，且(4*尸=-i)*.证明 由得,L】，所以当月可逆时，有从则才也可逆.因为月三国4一1,所以又月=4 0-=|4|(月-,所以lA I(4H4 T 9=|4 T i Hm T)Q4-.1 8.设阶矩阵,4 的伴随矩阵为4*.证明：(1)若HI=O,贝 叽 4*1=0;证明 用反证法证明.假设四忙0,则有月*(月*)T=国由此得月 三4月%4*)-工晔 为一工。,所以,必女,这与恒华0矛盾，故当同=0时.有H+0(2)畔 图 一 L证 明 由 于#1二由4率,则4 4性 朋取行列式得到