历年考研数学一真题及答案1987-2014

历年考研数学一真题1 987-2 0 1 4(经典珍藏版)1 9 8 7年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当k 时，函数y =取得极小值.由曲线y =l n x与两直线产e+1-x及 产0所围成的平面图形的面积是.X=(3)与两直线卜=_、z=2,+t及 山=江2=且都平行且过原点的平面方程为1 i 1(4)设 乙 为 取 正 向 的 圆 周Y+y 2 =9,则 曲 线 积 分L(2 x)，-2 y)dx+(x2-4 x)J y =.(5)已 知 三 维 向 量 空 间 的 基 底 为=(1,1,0),%=(1,0,1),3=(0,1,1),贝(向量 B =(2,0,0)在此基底下的坐标是.二、(本题满分8分)求正的常数 与 使 等 式 同 一 不 二，=1成立a。Z?x-s i n xJ o+12三、(本题满分7分)(1)设 八&为连续可微函数，乂 =f(x,xy v=g(x+xy),求du dvS x dx(2)设 矩 阵A和B满 足 关 系 式A B =A +2 B,其中-3 o rA=1 1 0，求矩阵B.0 1 4四、(本题满分8分)求微分方程V +6y+(9+/)”1的通解，其中常数0 0.设常数人 0,则级数(山，*7 t=l n(A)发散(B)绝对收敛五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分1 2分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)设则在x=“处(A)/(X)的导数存在,且 fX a)#0(B)/(x)取得极大值(C)/(x)取得极小值(D)/的导数不存在(2)设/(X)为已知连续函数,/=r/f(tx)d x,其 中1 0,s 0,Jo则/的值(A)依赖于s和r(B)依赖于s、,和x(C)依赖于、X,不依赖于s(D)依 赖于S,不依赖于，(C)条件收敛(D)散 敛性与的取值有关(4)设A为阶方阵，且A的行列式|A|=。,而A，是A的伴随矩阵，则|A|等于(A)(C)-(B)la(D)a“六、(本题满分1 0分)求募级数 与 看，一的收敛域，并求其和函数.七、(本题满分i o分)求曲面积分Z=JJ x(8y 4-l)dydz+2(1 y2)dzdx 4yzdxdy,z其中工是由曲线/(%)=z=斤1 绕，轴旋转一周而成的曲面，其法向量与、轴正向的夹角恒大于工x =()2八、(本题满分1 0分)设函数/(X)在闭区间0 1 上可微,对于 0,1 上的每一个X,函数 X)的值都在开区间(0,1)内，且尸(x)x l,证明在(0,1)内有且仅有一个X,使得/(X)=X.九、(本题满分8分)问仇为何值时,现线性方程组(内+入2+工3+Z =0 x2+2X3+2X4=1-+(6 2 -3)刍一2X4 h、3%+2/+七+%=-1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中，事件.发生的概率为八现进行次独立试验,贝心至少发生一次的概率为；而事件八至多发生一次的概率为.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球，第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第 2 个箱子里,再从第2 个箱子中取出1 个 球,此 球 是 白 球 的 概 率 为.已知上述从第2 个箱子中取出的球是白球,则从 第 一 个 箱 子 中 取 出 的 球 是 白 球 的 概 率 为，（3）已知连续随机变量x 的概率密度函数为/（）=1,则x的数学期望为x 的方差为,十一、（本题满分6 分）设随机变量相互独立,其概率密度函数分别为A（x）=1 1信力，加 了）=尸,求z =2 x +y 的概率密度函数.I o 其它 I o yo1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)求塞级数里三三的收敛域.(2)设/(x)=e力 夕 =1 -x且 叭X)0,求 0(工)及其定义域.(3)设E为曲面/+y2+z2=l的外侧，计算曲面积分I=xdydz+ydzdx+z dxdy.二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若力=limF+1产，贝!)/Q)=is x(2)设/(x)连续且广/力“则J0./(7)=_(3)设周期为2的周期函数，它在区间(一5上呼义为/(x)=2 一 1 0 时,/U)在处的微分心是(A)与等价的无穷小(B)与故同阶的无穷小(C)比&低阶的无穷小(D)比Ax高阶的无穷小(2)设 J=fM 是方程 y2y，+4y=0 的一 个解且/(X。)0,fxQ)=0,则函数X)在点不处(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设 空 间 区 域Q,:x2+j2+z2 (),0,:x2+y2+z2 0,y 0,z 0,则(A)用Mu=4川小(B)J J J ydv=4 J J J ydv(C)川 z公=4 j j j z d vn/(D)J J J xyzdv=4|J J xyzdvA 鼻(4)设寨级数五(x i)在at处收敛，则此级数在n=x=2处(A)条件收敛(B)绝 对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)维向量组四,火,as.(3 5 0为常数,，为A质点与“之间的距离)，质点.沿直广线y =，2X-X2自3(2,0)运动到0(0,0),求在此运动过程中质点A对质点”的引力所作的功.七、(本题满分6分)0 0 1 1已知A P=B P,其中B=00八、(本题满分8分),P0 -1 J 20 0-1 0 ,A,A .1 1002已知矩阵人=00021与8 =()X00 0)，0相似.0 -1设函数 X)在区间 0切 上连续,且在(a,b)内有/(0)0,证明:在(Q,b)内存在唯一的J使曲线y =/(x)与两直线 y =/也),x=a所围平面图形面积 是曲线 y -/(x)与两直线y =f Q x =b所围平面图形面积务的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于称，则事件A在一次试验中出现的概率是.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于9的概率为.5(3)设随机变量x服从均值为1 0,均方差为0.02的正0 02 求a与*态分布，已知(2)求一个满足XAP =B的可逆阵P.(/(x)=j -y=e 2 d”,4(2.5)=0.9938,则x落在区间（9.95,10.05）内的概率为卜一、（本题满分6分）设随机变量x的 概 率 密 度 函 数 为 人 .求 随4（1 一厂）机变量丫=1-延的概率密度函数加y）.1 9 8 9 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5 小题,每小题3 分,满分1 5 分.把答案填在题中横线上)(1)已知八3)=2,则li m必 止 空=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.力 一 0 2h(2)设/(X)是 连 续 函 数，且/(x)=A-+2(7m 则J0/(X)=(3)设平面曲线L为下半圆周y =，则曲线积分(x2+y2)ds =.(4)向 量 场 di v it 在 点 P(1,1,O)处 的 散 度3 设 矩 阵A=100 04 0 ,10 31 0 00 1 0 ,则 矩 阵0 0 1(A-2 i r =二、选择题(本题共5 小题,每小题3 分,满分1 5 分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)当x0时，曲线y=x s i i Jx(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(0 既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面z=4 x2 y2 上点P处的切平面平行于平面2 x+2 y +z-1=0,则点的坐标是(A)(1,-1,2)(B)(-1,1,2)(C)(1 J 2)(D)(-1,-1,2)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)。|凹+。2%+%(B)qy+c2y2 -(。|+。2)%(C)C*+c2y2 -(1 -G -。2)%(D)qy +C 2 y2 +(1 -q 。2)为(4)设 函 数/(x)=x2,0 x 1,而S(x)=s i nn冗x,g x 0）上，问当R为何值时,球面上在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空题（本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上）率 P（B）=0.6 及条件概率P（B|A）=0.8,则和事件A 5的概率P（A B）（2）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为.（3）若随机变量4在（1,6）上服从均匀分布，则方程Y +算+1 =0有实根的概率是.H 、（本题满分6分）设随机变量x与y独立，且x服从均值为1、标准差（均方差）为上的正态分布,而丫服从标准正态分布.试求随机变量Z =2 X-K +3的概率密度函数.已知随机事件.的概率 P（A）=0.5,随机事件B的概1 9 9 0 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5 小题,每小题3 分,满分1 5分.把答案填在题中横线上)x=，+2(1)过点 M(l,2-1)且与鼻线 尸 3-4 垂直的平面方程是.1z=r 1(2)设“为非零常数,则l i m(上 尸 _.i s x-a设函数/(=1 尸 ，则o 卜|1/(X)=(4)积分J：叱:e 孑dy的值等于.(5)已 知 向 量 组%=(1,2,3,4),%=(2,3,4,5),%=(3,4,5,6),0 1 c o s X(A)不可导(B)可导，且广(0)*o(0取得极大值(D)取 得极小值(5)已知h&是非齐次线性方程组A X =/,的两个不同的解必、心是对应其次线性方程组AX=0的基础解析湍、为任意常数,则方程组AXS的通解(一般解)必是(A)k g、+鼠(叫 +a 1)+_I I Z I L z 2(B)匕%+A:2(a,-a2)+(C)匕%+VS+0 2)+1了(D)kO，i+A：2(P|-0 2)+0 202 求 皿 现.J。(2-X)2 设z=于(2x_ y,y s i n x),其中/(“/)具有连续的二阶偏导数，求会.dxdy(3)求微分方程y +4 y +4 y =e-2的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幕级数(2/2 +l)x 的收敛域,并求其和函数.=0五、(本题满分8分)求曲面积分/=J J yzdzdx+Idxdys其中S是球面X2+y 2 +Z?=4外侧在z 0的部分.六、(本题满分7分)设不恒为常数的函数/(x)在闭区间勿 上连续,在开三、(本题共3小题,每小题5分,满分1 5分)区间(a,b)内可导,且/(.)=/(h).证明在(a,6)内至少存在一k点,使得/)0.七、（本题满分6分）设四阶矩阵1-100213401-100213B=001-1,c=002100010002且矩阵A满足关系式A（E-C B/C=E其中E为四阶单位矩阵,L 表示C的逆矩阵C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型/=x；+4后 4-444XJX2+4 2 Xj 8 不 成标准型.九、（本题满分8分）质点P沿着以Z W为直径的半圆周,从点 4 1,2）运动到点 8（3,4）的过程中受变力F作用（见图）的大小等于点P与原点。之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于二求变力F对2质点 所作的功.十、填空题（本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上）（1）已知随机变量x的概率密度函数/（x）=vl,-o o x +o o则X的概率分布函数 尸（X）=_-（2）设随机事件A、8及