考点规范练6 函数的单调性与最值
基础巩固
1.下列函数,既是偶函数又在区间(0,+∞)内单调递增的是( )
A.y=1x B.y=e-x
C.y=-x2+1 D.y=lg|x|
2.若函数y=ax与y=-bx在区间(0,+∞)内都是减函数,则y=ax2+bx在区间(0,+∞)内( )
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
3.已知函数f(x)=x2-2x-3,则该函数的单调递增区间为( )
A.(-∞,1]
B.[3,+∞)
C.(-∞,-1]
D.[1,+∞)
4.(2021重庆高三二模)已知函数f(x)=(4-a)x-a,x<1,logax,x≥1在R上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,2]
C.[2,4) D.(1,4)
5.(2021广西桂林中学高三月考)若函数f(x)=kx在区间[2,4]上的最小值为5,则k的值为( )
A.10 B.10或20
C.20 D.无法确定
6.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈-π2,π2时,f(x)=ex+sin x,则( )
A.f(1)
c>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
8.对于函数f(x),在使f(x)≥M恒成立的所有常数M中,我们把M中的最大值称为函数f(x)的“下确界”,则函数f(x)=xex的“下确界”为( )
A.1e B.-e
C.-1 D.-1e
9.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a= .
10.函数f(x)=13x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为 .
11.(2021上海大同中学三模)已知函数y=1x2-ax-a在区间-2,-12上单调递增,则实数a的取值范围是 .
能力提升
12.已知函数f(x)=12-x2+2mx-m2-1的单调递增区间与值域相同,则实数m的值为( )
A.-2 B.2
C.-1 D.1
13.(2021黑龙江大庆中学高三月考)已知函数f(x)=e-x,x≤0,-x3,x>0,若f(a-1)≥f(-a),则实数a的取值范围是( )
A.-∞,12 B.12,+∞
C.0,12 D.12,1
14.(2021湖北华中师大一附中高三月考)能使“函数f(x)=x|x-1|在区间I上不是单调函数,且在区间I上的函数值的取值集合为[0,2]”是真命题的一个区间I为 .
15.已知f(x)=xx-a(x≠a).
(1)若a=-2,试证明f(x)在区间(-∞,-2)内单调递增;
(2)若a>0,且f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
高考预测
16.(2021广西南宁二中高三月考)已知函数f(x)=x+4x,g(x)=2x+a,若∀x1∈12,1,∃x2∈[1,2],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是( )
A.12,+∞
B.-∞,12∪[3,+∞)
C.-∞,12∪12,+∞
D.92,+∞
答案:
1.D 解析A中,y=1x为奇函数,不符合题意;
B中,设y=f(x)=e-x,则f(-x)=ex≠±f(x),故f(x)既不是偶函数也不是奇函数,不符合题意;
C中,设f(x)=1-x2,则f(-x)=1-(-x)2=1-x2=f(x),即f(x)为偶函数,且当x>0时,函数单调递减,不符合题意;
D中,y=lg|x|为偶函数,且当x>0时,y=lgx单调递增,符合题意.
2.B 解析因为函数y=ax与y=-bx在区间(0,+∞)内都是减函数,所以a<0,b<0.
所以y=ax2+bx的图象的对称轴方程为x=-b2a,
且-b2a<0.
故y=ax2+bx在区间(0,+∞)内单调递减.
3.B 解析设t=x2-2x-3,由t≥0,
即x2-2x-3≥0,
解得x≤-1或x≥3.
故函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).
因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,
所以函数t=x2-2x-3在区间(-∞,-1]上单调递减,在区间[3,+∞)内单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).
4.C 解析因为函数f(x)=(4-a)x-a,x<1,logax,x≥1在R上单调递增,
所以4-a>0,a>1,loga1≥4-a-a,解得2≤a<4.
5.C 解析当k=0时,不符合题意;
当k>0时,f(x)=kx在区间[2,4]上是减函数,
∴f(x)min=f(4)=k4=5,
∴k=20,符合题意;
当k<0时,f(x)=kx在区间[2,4]上是增函数,f(x)min=f(2)=k2=5,
∴k=10,不满足k<0,∴k=10舍去.
∴k的值为20.
6.D 解析由f(x)=f(π-x),得f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3).
由f(x)=ex+sinx,得函数f(x)在区间-π2,π2内单调递增.
又-π2<π-3<1<π-2<π2,
∴f(π-2)>f(1)>f(π-3).
∴f(2)>f(1)>f(3).
7.C 解析f(x)=|x|ln|x|为偶函数,
当x>0时,f(x)=xlnx,f'(x)=lnx-1(lnx)2,
易得,当x>e时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当0f(ln3)>f(e),即a>b>c.
8.D 解析f'(x)=(x+1)ex,
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,
当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在区间(-∞,-1)内单调递减,在区间(-1,+∞)内单调递增,所以f(x)min=f(-1)=-1e,
则根据题意可知,函数f(x)=xex的下确界为-1e.
9.-6 解析f(x)=|2x+a|=2x+a,x≥-a2,-2x-a,x<-a2,所以f(x)的单调递增区间是-a2,+∞,
由题意,得-a2=3,所以a=-6.
10.3 解析因为y=13x在R上单调递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[-1,1]上单调递减.
所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.
11.-1,12 解析∵y=1x2-ax-a在区间-2,-12上单调递增,
∴f(x)=x2-ax-a在区间-2,-12上单调递减,则-12≤a2,即a≥-1,
同时需满足f(-2)f-12>0,即14(a+4)(2a-1)<0,解得-40,当x≤0时,f(x)=e-x单调递减,且f(x)≥1,
当x>0时,f(x)=-x3单调递减,且f(x)<0,所以函数f(x)=e-x,x≤0,-x3,x>0在定义域上单调递减,因为f(a-1)≥f(-a),所以a-1≤-a,解得a≤12,
即不等式的解集为-∞,12.
14.答案不唯一,只要形如[a,2]或(a,2],其中0≤a<1的均正确 解析当x≥1时,f(x)=x(x-1)=x2-x;
当x<1时,f(x)=x(1-x)=-x2+x;
∴f(x)在区间-∞,12,[1,+∞)上单调递增,在区间12,1上单调递减.
令f(x)=0,解得x=1或x=0;令f(x)=2,解得x=2.
∴只需形如[a,2]或(a,2],其中0≤a<1,f(x)在区间I上不单调且函数值的取值集合为[0,2].
15.(1)证明当a=-2时,f(x)=xx+2(x≠-2).
设对任意的x1,x2∈(-∞,-2),且x10,x1-x2<0,∴f(x1)0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,
只需(x1-a)(x2-a)>0在区间(1,+∞)内恒成立,∴a≤1.
综上所述,a的取值范围是(0,1].
16.D 解析∵f(x)=x+4x在区间12,1上单调递减,
∴f(x)max=f12=172;
∵g(x)=2x+a在区间[1,2]上单调递增,
∴g(x)max=g(2)=4+a.
∵∀x1∈12,1,∃x2∈[1,2],使得f(x1)≤g(x2),
∴f(x)max≤g(x)max.
∴4+a≥172,解得a≥92,即a∈92,+∞.
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