函数的奇偶性考向一 函数奇偶性的判断1、下列函数中，是奇函数的为( ).A. B. C. D.2、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝ 3、判断函数f(x)={x2−2x+5,(x>0)1,(x=0)−x2−2x−5,(x<0)的奇偶性．4、已知函数 y=f(x)(x≠0) 对于任意的 x，y∈R 且 x，y≠0 都满足 f(xy)=f(x)+f(y)．(1) 求 f(1)，f(−1) 的值；(2) 判断函数 y=f(x)(x≠0) 的奇偶性．5、函数 f(x)，x∈R，若对于任意实数 a，b，都有 f(a+b)=f(a)+f(b)，求证：f(x) 为奇函数．6、判断下列图像中哪个可以表示偶函数7、函数的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．8、已知，则“”是“是偶函数”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9、如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( )(A)y=x+f(x) (B)y=xf(x)(C)y=x2+f(x) (D)y=x2f(x)考向二 奇偶性的性质1、偶函数在区间上的图象如图，则函数的增区间为______________．2、已知函数.（1）判断的奇偶性，由此作出的大致图象；（2）求的值域和单调区间.考向三 根据函数的奇偶性求参数的值1、若函数是偶函数，则等于____.2、已知 f(x)=ax2+bx 是定义在 [a−1,2a] 上的偶函数，那么 a+b 的值是( )A．−13 B．13C．12 D．−123、若函数在上是奇函数，则的解析式为（ ）．A. B.C. D.4、已知函数f(x)＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．考向四 根据奇偶性求函数值或解析式1、如图,给出奇函数的局部图象，则的值为( )A． B．2 C．1 D．02、已知函数为奇函数，若，则 ．3、已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当x≥0 时， f(x)=x2−2x ，则 f(x) 在R 上的表达式为( )A．f(x)=x(x−2) B．f(x)=x(|x|−1) C．f(x)=|x|(x−2) D．f(x)=x(|x|−2) 4、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x>0 时，f(x)=x2+|x|−x，那么 x<0 时，f(x)= ________5、已知是偶函数，是奇函数，若，则的解析式为_______．函数的奇偶性考向一 函数奇偶性的判断1、下列函数中，是奇函数的为( ).A. B. C. D.A对函数，由于，因此，定义域为，，因此为奇函数．故选A．2、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝ (1)由得x2＝3，解得x＝±，即函数f(x)的定义域为{－，}，从而f(x)＝＋＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.3、判断函数f(x)={x2−2x+5,(x>0)1,(x=0)−x2−2x−5,(x<0)的奇偶性．非奇非偶函数1．先判断函数的定义域为R，所以是关于原点对称2．不妨设x>0，则f(x)=x2−2x+5，同时会有−x<0，则有f(−x)=−(−x)2+2x−5=−x2+2x−5=−f(x)3．因为f(0)≠0，所以函数是非奇非偶函数。
4、已知函数 y=f(x)(x≠0) 对于任意的 x，y∈R 且 x，y≠0 都满足 f(xy)=f(x)+f(y)．(1) 求 f(1)，f(−1) 的值；f(1)=0，f(−1)=0令 x=y=1 即可得 f(1)，令 x=y=−1 即可得 f(−1)=0．因为对于任意的 x，y∈R 且 x，y≠0 都满足 f(xy)=f(x)+f(y)．所以令 x=y=1，得到 f(1)=f(1)+f(1)．所以 f(1)=0．令 x=y=−1，得到 f(1)=f(−1)+f(−1)．所以 f(−1)=0．(2) 判断函数 y=f(x)(x≠0) 的奇偶性．偶函数令 y=−1，得 f(xy)=f(−x)=f(x)+f(−1)，由 (1) 可得偶函数．由题意可知，函数 y=f(x) 的定义域为 (−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称．令 y=−1，得 f(xy)=f(−x)=f(x)+f(−1)．因为 f(−1)=0．所以 f(−x)=f(x)．所以 y=f(x)(x≠0) 为偶函数．5、函数 f(x)，x∈R，若对于任意实数 a，b，都有 f(a+b)=f(a)+f(b)，求证：f(x) 为奇函数．略由于对任意的 x∈(−l,l) 也必有 −x∈(−l,l)，可见，f(−x) 的定义域也是 (−l,l)．若设 F(x)=f(x)+f(−x)，G(x)=f(x)−f(−x)，则 F(x) 与 G(x) 的定义域都是 (−l,l)，显然是关于原点对称的区间．而且 F(−x)=f(−x)+f[−(−x)]=f(x)+f(−x)=F(x)，故 F(x) 为偶函数． G(−x)=f(−x)−f[−(−x)]=f(−x)−f(x)=−[f(x)−f(−x)]=−G(x)，故 G(x) 为奇函数．6、判断下列图像中哪个可以表示偶函数BA虽然是轴对称图像，但对称轴不是y轴，所以不是偶函数图像，当然也不是奇函数图像;B关于y轴对称，是偶函数图像;C乍一看上去是中心对称图像，但是要注意，对称性是对图像上任意的一点都满足，x=0和x=3或x=−3时并不满足，所以不是奇函数;D选项最明显，不是奇函数图像也不是偶函数图像;E不关于y轴对称，也不关于原点对称，不是奇函数也不是偶函数;F：首先图像必须为函数图像（回忆函数定义），x=0处对应两个函数值，并不是函数图像,所以F不表示奇偶函数图像．7、函数的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．奇函数由已知得 的定义域为 即 ，则 其定义域关于原点对称， ，所以 是奇函数. 8、已知，则“”是“是偶函数”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件C因为是偶函数，所以所以.所以“”是“是偶函数”的充要条件.故选C.9、如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( )(A)y=x+f(x) (B)y=xf(x)(C)y=x2+f(x) (D)y=x2f(x)B因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).对于A,g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-g(x),所以y=x+f(x)是奇函数.对于B,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以y=xf(x)是偶函数.对于C,g(-x)=(-x)2+f(-x)=x2-f(x),所以y=x2+f(x)为非奇非偶函数,对于D,g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以y=x2f(x)是奇函数.故选B.考向二 奇偶性的性质1、偶函数在区间上的图象如图，则函数的增区间为______________．和偶函数的图象关于轴对称，可知函数的增区间为和2、已知函数.（1）判断的奇偶性，由此作出的大致图象；（2）求的值域和单调区间.（1）偶函数，图象见解析；（2）值域为，增区间为和，减区间为和.（1）对于函数，，解得，所以，函数的定义域为，又，所以，函数为偶函数.，函数的大致图象如下图所示：（2）由图象可知，函数的值域为，单调递增区间为和，单调递减区间为和.考向三 根据函数的奇偶性求参数的值1、若函数是偶函数，则等于____.1由于函数是偶函数，所以即，所以恒成立，所以.2、已知 f(x)=ax2+bx 是定义在 [a−1,2a] 上的偶函数，那么 a+b 的值是( )A．−13 B．13C．12 D．−12B根据偶函数的定义域关于原点对称，，且 f(x) 是定义在 [a−1,2a] 上的偶函数，得 a−1=−2a，解得 a=13，又 f(−x)=f(x)，∴b=0，∴a+b=13．，故选 B3、若函数在上是奇函数，则的解析式为（ ）．A. B.C. D.B函数在上是奇函数，即，，即，解得则故选4、已知函数f(x)＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．2.因为函数为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，所以－2a＋3a－1＝0，所以a＝1.又，所以b＝1.故a＋b＝2.考向四 根据奇偶性求函数值或解析式1、如图,给出奇函数的局部图象，则的值为( )A． B．2 C．1 D．0A由图知，又为奇函数,所以.故选A.2、已知函数为奇函数，若，则 ．1因为函数y＝f（x）为奇函数,所以f(-2)=-f(2),f(-3)=-f(3).所以f(-2)-f(-3)=-f(2)+f(3)=13、已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当x≥0 时， f(x)=x2−2x ，则 f(x) 在R 上的表达式为( )A．f(x)=x(x−2) B．f(x)=x(|x|−1) C．f(x)=|x|(x−2) D．f(x)=x(|x|−2) D当x<0,−x>0,f(x)=−f(−x)=−x2−2x又当x≥0 时， f(x)=x2−2x综上，f(x)=x(|x|−2) 4、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x>0 时，f(x)=x2+|x|−x，那么 x<0 时，f(x)= ________−x2当 x<0 时，则−x>0将 −x 代入 f(x) 解析式，得到 f(−x)=x2+|x|+x因为f(x) 是奇函数所以 f(x)=−f(−x)=−x2−|x|−x=−x25、已知是偶函数，是奇函数，若，则的解析式为_______．。