河工大电路基础第十章

拉普拉斯变换拉普拉斯变换s域代数方程t 域微分方程域微分方程t 域域响应t 域电路域电路微分运算微分运算高阶响应形式和高阶响应形式和待定系数的确定待定系数的确定难KCLKVLVCRKCLKVLVCR高阶微分高阶微分方程建立方程建立难拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换s域电路域电路拉普拉斯变换拉普拉斯变换s域响应代数运算代数运算KCLKVLVCRKCLKVLVCR代数方程代数方程动态分析方法动态分析方法动态分析方法动态分析方法第十章第十章 线性电路动态过程的复频域分析线性电路动态过程的复频域分析电路理论基础重点内容重点内容重点内容重点内容 （1 1）拉普拉斯变换的定义、性质及反变换）拉普拉斯变换的定义、性质及反变换（2 2）电路的运算模型）电路的运算模型(电感、电容、耦合电感电感、电容、耦合电感)（3 3）利用运算法分析计算线性电路的动态过程）利用运算法分析计算线性电路的动态过程（4 4）网络函数的定义、性质、零极点分布及与冲）网络函数的定义、性质、零极点分布及与冲 激响应的关系。激响应的关系。优点优点优点优点 （1 1）简化函数，简化计算。）简化函数，简化计算。（2 2）不需计算初始值。）不需计算初始值。（3 3）网络函数的性质，特点决定系统特性。）网络函数的性质，特点决定系统特性。（4 4）频域分析是复频域分析的特例。）频域分析是复频域分析的特例。电路理论基础10.1 10.1 拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯(laplacelaplace)变变变变换换换换复数变量复数变量s=+j1.拉氏变换的定义：拉氏变换的定义：0,)间函数间函数f(t),满足：满足：狄里克雷狄里克雷(Dirichlet)条件条件 存在适当常数存在适当常数M和和C，使它满足使它满足则有则有积分下限积分下限0-，强调包含，强调包含0时刻的冲激时刻的冲激解释：解释：F(s)=f(t)记为记为拉氏变换符拉氏变换符电路理论基础F(s)为为 f(t)的的象函数象函数，f(t)称为称为F(s)的的原函数原函数原函数原函数:f(t)、h(t)、u(t)、i(t)象函数象函数：F(s)、H(s)、U(s)、I(s)2.原函数和象函数原函数和象函数例例10-1 求求:(1)f(t)=e e(t)，(2)f(t)=d d(t)(3)f(t)=e-at e e(t)的象函数的象函数。由定义求象函数由定义求象函数解：解：(1)f(t)=e (t)的象函数的象函数电路理论基础 (2)f(t)=d d(t)的象函数的象函数(3)f(t)=e-at e e(t)的象函数的象函数一般常用的电路信号，均可以求得象函数，一般常用的电路信号，均可以求得象函数，但有些函数，例如但有些函数，例如 ，是不可积的。，是不可积的。3.拉氏拉氏变换及变换及反变换的性质反变换的性质 唯一性唯一性:F(s)与与f(t)0,)一一对应一一对应电路常用的象函数和原函数对照表电路常用的象函数和原函数对照表电路理论基础 原函数原函数f(t)象函数象函数F(s)原函数原函数f(t)象函数象函数F(s)电路常用的象函数和原函数对照表电路常用的象函数和原函数对照表电路理论基础 线性性质线性性质 A1f1(t)A2f2(t)=A1F1(s)A2F2(s)例例10-2 求求 f(t)=cosw w t的象函数的象函数解：解：f(t)=cosw w t =微分性质微分性质若若f(t)的象函数为的象函数为F(s)，则则 f(0-)为原函数为原函数t=0-的值的值推广到推广到n阶导数有阶导数有电路理论基础例如例如：f(t)=cosw w t =s cosw w t -cosw w t|t=0-积分性质积分性质若若f(t)的象函数为的象函数为F(s)，则则 例例10-3 求斜波函数求斜波函数f(t)=t的象函数的象函数F(s)解解 斜波函数斜波函数cosw w t的象函数的象函数象函数象函数1/s 时域延迟性质时域延迟性质 电路理论基础例例10-4 求下面波形的象函数求下面波形的象函数tf(t)A00t0tA-AAe e(t)-Ae e(t-t0)t0f(t)=A 0 t t0 解：解：根据延迟和线性性质根据延迟和线性性质 f(t)=A e e(t)-A e e(t-t0)=电路理论基础t0tf(t)A0TT+t0f1(t)f(t)=f1(t)+f1(t-T)+f1(t-2T)+f1(t-3T)+.f(t)=F1(s)1+e-sT+e-2sT+e-3sT+.e-isT 推广：推广：推广：推广：脉脉脉脉冲序列的象函数冲序列的象函数冲序列的象函数冲序列的象函数根据等比数列求和公式根据等比数列求和公式电路理论基础4.拉氏反变换拉氏反变换F(s)=-1f(t)记为记为拉氏反变换符拉氏反变换符（1）利用反变换公式）利用反变换公式（2）查表）查表（3）部分分式展开法）部分分式展开法电路理论基础5.象函数的部分分式展开象函数的部分分式展开电路响应的象函数，通常可表示为两个实系数电路响应的象函数，通常可表示为两个实系数s变量变量 的多项式之比，即的多项式之比，即s 的一个有理分式的一个有理分式式中式中m和和n为正整数，且为正整数，且nm一般先分解一般先分解F(s)为若干简单项之和，再根据拉氏变换为若干简单项之和，再根据拉氏变换的线性性质求出原函数。该方法为的线性性质求出原函数。该方法为分解定理分解定理或或部分分部分分式展开法式展开法。电路理论基础若若nm，F(s)为真分式为真分式象函数象函数分解定理分解定理部分分式展开部分分式展开若若n=m为真分式为真分式对真分式对真分式F(s)，按照其分母多项式，按照其分母多项式D(s)因式分解。因式分解。D(s)=0的根可能是的根可能是 1 单根单根 2 重根重根电路理论基础 1 D(s)=0 有有n个单根个单根P1、P2、Pn式中式中ki 为待定系数为待定系数，i=1,2，n将上式两边都乘以将上式两边都乘以(s-pi)，得，得 代入法求待定系数代入法求待定系数ki 罗必塔法则求待定系数罗必塔法则求待定系数ki电路理论基础中系数求得后中系数求得后 f(t)=-1-1查表得原函数查表得原函数例例10-5 10-5 求原函数求原函数解解电路理论基础-1代入法计算代入法计算ki：电路理论基础特例：特例：D(s)=0有共轭复根有共轭复根 p1=a+jw、p2=a-jw因因F(s)是实系数多项式之比，故是实系数多项式之比，故 K1、K2为共轭复数为共轭复数。令令 相应的原函数为相应的原函数为电路理论基础例例10-6 求原函数求原函数解解P1=-1,P2=-1+j2,P3=-1-j2电路理论基础k3=k2*电路理论基础2 D(s)=0有多重根有多重根 p1 将上式两边乘以将上式两边乘以 ，则有，则有 .=令令 ，有，有 电路理论基础将式两边对将式两边对 求一次导数，并令求一次导数，并令 可得可得由类似的方法可推导出由类似的方法可推导出原函数为原函数为+电路理论基础 例例10-7 求求 的原函数的原函数 以以 乘以乘以 得得 三重根三重根二重二重根根解解展开式可写为展开式可写为电路理论基础类似的，以类似的，以 乘以乘以 得得 电路理论基础所以所以 相应的原函数为相应的原函数为 电路理论基础1.1.基尔霍夫定律的复频域形式基尔霍夫定律的复频域形式 时时域域KCL i=0，KVL u=0。对对二二式式拉拉氏氏变变换换，根根据据其线性性质可得其线性性质可得10.2 s10.2 s域电路定律与电路模型域电路定律与电路模型域电路定律与电路模型域电路定律与电路模型2.2.元件的复频域形式及其电路模型元件的复频域形式及其电路模型 电阻复频域形式的模型电阻复频域形式的模型（1 1）电阻元件的复频域形式及其模型）电阻元件的复频域形式及其模型 R 电阻时域形式的模型电阻时域形式的模型 uR=Ri R UR(s)=RI(s)电路理论基础(2)(2)电感电感元件的复频域形式及其模型元件的复频域形式及其模型 时域时域VCR 时域模型时域模型 L S S域域VCR1 S S域域VCR2 UL(s)复频域并联模型复频域并联模型运算感纳运算感纳IL(s)附加电流源附加电流源sL复频域串联模型复频域串联模型附加电压源附加电压源运算感抗运算感抗电路理论基础时域模型时域模型复频域串联模型复频域串联模型(3)(3)电容元件的复频域形式及其模型电容元件的复频域形式及其模型 运算容抗运算容抗附加电压电源附加电压电源运算容纳运算容纳 sC附加电流电源附加电流电源Uc(s)Ic(s)复频域并联模型复频域并联模型sC电路理论基础取拉氏变换并利用其微分性质可得取拉氏变换并利用其微分性质可得（4 4）两个耦合电感的运算模型）两个耦合电感的运算模型M*L1L2i1i2u1u2sL1,2，sM _自感、互感运算阻抗自感、互感运算阻抗L1i1(0-)、L2i2(0-)、Mi1(0-)、Mi2(0-)_附加电压源附加电压源电路理论基础耦合电感的复频域形式电路模型耦合电感的复频域形式电路模型 I1I2*电路理论基础3.3.电路的运算模型电路的运算模型uRuCuLusi电路的时域模型电路的时域模型UR(s)UC(s)UL(s)Us(s)I(s)电路的复频域模型电路的复频域模型uR+uL+uC=usuC(0-)0，i(0-)0电路理论基础10.310.3 利用拉普拉斯变换分析利用拉普拉斯变换分析利用拉普拉斯变换分析利用拉普拉斯变换分析 线性电路的动态过程线性电路的动态过程线性电路的动态过程线性电路的动态过程利用拉氏变换分析线性动态电路的具体步骤：利用拉氏变换分析线性动态电路的具体步骤：(1)(1)由换路前由换路前t=0-电路求出各电容电压电路求出各电容电压uc(0-)电感电流电感电流iL(0-)的值。的值。(2)(2)画出相应的运算电模型图（注意附加电画出相应的运算电模型图（注意附加电 源的大小及极性源的大小及极性)。(3)(3)利用线性电路的分析方法由运算电路求利用线性电路的分析方法由运算电路求 出待求量的象函数出待求量的象函数。(4)(4)利用拉氏反变换求出待求量的原函数，即利用拉氏反变换求出待求量的原函数，即 可得到电路的时域动态响应可得到电路的时域动态响应。例例10-810-8 RCRC并联电路与单位冲激函数接通。并联电路与单位冲激函数接通。求单位冲激响应。求单位冲激响应。解解 建立运算电路建立运算电路运算导纳运算导纳 Y(s)=1/R+sC电路的时域模型电路的时域模型u(t)CRd d(t)U(s)1/sCR1 1电路的复频域模型电路的复频域模型电路理论基础电路的复频域模型电路的复频域模型U(s)1/sCR1 1IC(s)IR(s)电路理论基础解解(1)t0电感电流分别为电感电流分别为 +u1-L1RUsR1R2L2i1+u2-i2S(t=0)AA例例10-4 已知已知US=24V,R=2W W,R1=3W W,R2=6W W,L1=0.5H,L2=2H,t=0时打开开关，求全时域的时打开开关，求全时域的i1、i2、u1,并画并画出波形。出波形。电路理论基础 (2)t0时，开关打开，电路运算模型为时，开关打开，电路运算模型为 (3)列方程求列方程求S域响应域响应I1(s)I2(s)3W W6W W2s0.5s24 (4)利用反变换求利用反变换求t域响应域响应电路理论基础例例10-9 电路原处于稳态，电源为指数电压电路原处于稳态，电源为指数电压us1(t)=e-4t V，Us2=5V，R1=R1=5，C=1F，求开关闭合后的电流求开关闭合后的电流uc(t)。t=0uCus1R1R2Cus2 ，解解 由时域模型求得由时域模型求得tm,nm，分子分母中没有相同因子，且，分子分母中没有相同因子，且R(s)中中不含多重极点。不含多重极点。电路理论基础结论：结论：对于零状态响应分成两部分，前一部分响应是对于零状态响应分成两部分，前一部分响应是和和H(s)的极点有关和输入无关的自由分量，后的极点有关和输入无关的自由分量，后一部分是由一部分是由E(s)的极点所产生的强制分量。的极点所产