电路理论基础第二版）：第四章 正弦稳态分析

第四章第四章 正弦稳态分析正弦稳态分析在在线性电路中线性电路中若若激励激励以同一频率以同一频率正弦规律变化正弦规律变化，且电路已工作在，且电路已工作在稳定状态时，则相应的稳定状态时，则相应的响应也以同一频率正弦规律响应也以同一频率正弦规律变化，只是幅值变化，只是幅值和相位不同。这种电路称为正弦交流电路，对其规律的分析为稳态和相位不同。这种电路称为正弦交流电路，对其规律的分析为稳态分析。分析。正弦稳态分析正弦稳态分析在实际系统中在实际系统中应用极为广泛。应用极为广泛。第一节第一节 正弦量及其描述正弦量及其描述一正弦量的时域表示一正弦量的时域表示正弦电流正弦电流正弦电压正弦电压1周期周期T 频率频率f 和角频率和角频率 2tu(t)Umu0(=T)2相相(位位)角、初相角、初相(角角)与相位与相位差差称称为为初初相相角角或或初初相相，为为纵纵轴轴左左边边正正向向最最大大值值的的点点与与原原点点间间的的最最短短距距离离，规规定定|。=0的的正正弦弦量量可可视视为为参参考考正正弦量弦量。相相位位差差：两两同同频频率率正正弦弦量量的的相相位位角角之之差差。等等于于它它们们的的初相之差初相之差(与与t无关的常数无关的常数)。ui 0(ui)：称：称u相位超前于相位超前于i或称或称i相位滞后于相位滞后于u；ui0(u i)：称：称u相位滞后于相位滞后于i 或称或称i相位超前于相位超前于u；ui=0(u=i)：称称u与与i 同相同相；ui=：称称u与与i反相反相；ui=(2)称称u与与i正交。正交。例：指出下列几种情况下的相位差是否正确？例：指出下列几种情况下的相位差是否正确？2、1、3振幅振幅(幅值、最大值幅值、最大值)与与有效值有效值(effectivevalue)有有效效值值：若若一一周周期期性性电电流流i在在一一个个T内内流流过过某某电电阻阻R所所作作的的功功等等于于大大小小为为I的的直直流流电电流流在在这这段段时时间间内内流流过过同同样样R所所作作的功，则的功，则I就定义为就定义为i的有效值。的有效值。有效值有效值即即方均方均根值根值瞬瞬时时值值为为小小写写字字母母如如i，u；最最大大值值为为:Im,Um；有有效效值值为为:I，U。3、表示表示u1超前超前u2(-165。），即），即u1落后落后u2165。正弦量的有效值正弦量的有效值交交流流表表指指示示值值、铭铭牌牌额额定定值值通通常常指指有有效效值值(如如220V)；而而耐耐压值、冲击值往往指最大值压值、冲击值往往指最大值。Um=311V二正弦量的相量表示二正弦量的相量表示1、正弦交流电路分析时必然涉及正弦量的运算、正弦交流电路分析时必然涉及正弦量的运算解：直接用三角函数进行：解：直接用三角函数进行：上上述述运运算算较较复复杂杂。若若遇遇乘乘、除除法法则则更更复复杂杂。观观察察到到u的的与与u1、u2相相同同，只只是是振振幅幅与与初初相相这这两两个个要要素素不不同同。将将复复数与正弦量建立数与正弦量建立某种联系，可使之运算得到简化。某种联系，可使之运算得到简化。2、正弦量与复数的关系、正弦量与复数的关系复数（复习）复数（复习）（1）复数的表示法）复数的表示法.代数式（直角坐标式）代数式（直角坐标式）.极坐标式（电路分析中常用）极坐标式（电路分析中常用）（2）代数式与极坐标式间的相互转换）代数式与极坐标式间的相互转换由欧拉公式将复指数函数展开：由欧拉公式将复指数函数展开：（3）复数的四则运算）复数的四则运算相等：两复数的实部和虚部分别相等。相等：两复数的实部和虚部分别相等。加减：加减：加减运算也可以用平行四边形法则或多边形法则在复平加减运算也可以用平行四边形法则或多边形法则在复平面上用作图法进行。面上用作图法进行。乘、除：乘、除：用相量来表示正弦量用相量来表示正弦量正弦量为一复数的实部正弦量为一复数的实部称为正弦量称为正弦量i的的有效值相量有效值相量(phasor)。大大写写字字母母I 上上加加小小圆圆点点是是为为了了使使之之与与有有效效值值I 相相区区别别，相相量量不不同同于于一一般般的的复复数数，是是针针对对正正弦弦电电流流i或或正正弦弦电电压压u而而言的复常数言的复常数,反映其幅值和相位。反映其幅值和相位。+i+j(t=0)i(t=t1)t1it1t为旋转矢量，为旋转矢量，ejt为按角速度为按角速度逆时针旋转的旋转因子逆时针旋转的旋转因子为此旋转矢量在实轴上的投影为此旋转矢量在实轴上的投影（即该时刻电流（即该时刻电流i的瞬时值）的瞬时值）相相量量与与正正弦弦量量一一一一对对应应。给给定定了了正正弦弦量量，就就可可写写出出其其相量；反之，相量；反之，给定相量及给定相量及，就可写出其正弦量。就可写出其正弦量。解：解：4正弦量运算与相量运算的对应正弦量运算与相量运算的对应同频率正弦量相加同频率正弦量相加(减减)对应为相量的加对应为相量的加(减减)。例例1:已知已知用用相量形式求相量形式求u1+u2解：解：可见可见相量计算比三角函数法计算简便相量计算比三角函数法计算简便。DRGDRG显显示示“DEG”2 2ndFndFCPLXCPLX5 5a a3030b b2 2ndFndFxyxy+1010a a6060b b2 2ndFndFxyxy=显显示示“9.33”b b 显显示示“11.16”2 2ndF ndF rr 显示显示“14.55”b b 显示显示“50.1”例例2：(5+j4)(6+j3)=18+j392 2ndFndFCPLXCPLX5 5a a4 4b b 6 6a a3 3b b=显显示示“18”b b 显显示示“39”相量图：相量在复平面上的图称为相量图。相量图：相量在复平面上的图称为相量图。将几个表示同频率的正弦量的相量画在一个相量图上，可将几个表示同频率的正弦量的相量画在一个相量图上，可直观、清楚地看出它们的相位关系，还能用几何、三角方直观、清楚地看出它们的相位关系，还能用几何、三角方法求出待求量，这给计算带来方便。法求出待求量，这给计算带来方便。例例3：3 3 +/-+/-a a 4 4 +/-+/-b b 2 2ndFndF rr 显显示示“5”b b 显显示示“-126.8698”例例4：10-60=5-j8.661010a a6060+/-+/-b b2 2ndFndFxyxy显示显示“5”b b显示显示“-8.66”正弦量的微分与积分计算正弦量的微分与积分计算正弦量正弦量求导与相量求导与相量j对应对应，振幅振幅为原来的为原来的 倍倍，初相，初相增加增加90。正弦量正弦量积分与相量积分与相量 j对应对应，振幅为原来的，振幅为原来的1/倍倍，初相，初相减小减小90。同理同理正弦稳态下正弦稳态下R、L、C 等元件的等元件的VCR涉及建立正弦量微涉及建立正弦量微分方程，由以上可知分方程，由以上可知微分方程微分方程可对应为可对应为相量的代数方程相量的代数方程。因而正弦稳态分析可用比较简便的因而正弦稳态分析可用比较简便的相量法相量法进行。由电路直进行。由电路直接建立相量方程，首先要接建立相量方程，首先要确定电路元件的相量模型及确定电路元件的相量模型及VCR的相量形式。的相量形式。第二节第二节 电阻、电感和电容的相量形式的电阻、电感和电容的相量形式的VCR一、一、R元件：元件：Ri 当当UL一一定定时时，L越越大大，IL 就就越越小小，XL=L称称为为感感抗抗,量量纲纲L=VA=,越越大大，XL越越大大，高高频频信信号号就就越越难以通过难以通过L；=0，XL=0,直流下直流下L可等效为短路可等效为短路.二、二、L元件：元件：ijL三、三、C元件：元件：UC一一定定时时1C越越大大，IC 就就越越小小，XC=-1C称为容抗。称为容抗。量纲量纲1C=VA=,越大，即越大，即XC 越小时，高频信号就越小时，高频信号就越容易通过越容易通过C；=0，即，即XC 时，直流情况下时，直流情况下C可等效为开路可等效为开路.1(jC)+u 第三节第三节电路定律的相量形式电路定律的相量形式复阻抗与复导纳复阻抗与复导纳一、一、KCL、KVL的相量形式的相量形式二、复阻抗、欧姆定律的相量形式二、复阻抗、欧姆定律的相量形式线线性性无无源源一一端端口口网网络络端端口口电电压压相相量量与与电电流流相相量量之之比比称称为为其其等等效效复复阻阻抗抗Z(compleximpedance)欧姆定律的欧姆定律的相量形式相量形式。N0Z对对R、L、C元件，有：元件，有：Z是普通的复数，不是相量，是普通的复数，不是相量，Z上方不打圆点上方不打圆点Z的两种坐标形式：的两种坐标形式：极坐标形式：极坐标形式：Z=|Z|Z代数形式：代数形式：Z=R+jX|Z|RXzZ、|Z|、R、X的的量纲皆为量纲皆为，且满足且满足“阻抗三角形阻抗三角形”RjX+N个复阻抗串联：个复阻抗串联：复数形式的复数形式的分压公式。分压公式。阻抗阻抗“性质性质”：RjXX=0(Z=u i=0)：，同相，同相，N0呈电阻性呈电阻性(谐振状态谐振状态)X0(Z=u-i 0(Z=u-i0)：超前于超前于，N0呈呈(电电)感性感性例例1：图图示示电电路路已已知知：，试试求求正正弦弦稳稳态下的态下的i、uR、uL与与uC，并作相量图。并作相量图。i1512mH5F+uR-+uL-+u-+uC-解解：此此题题如如直直接接在在时时域域求求解解,解解二二阶阶微微分分方方程程较较烦烦。我我们们用用相相量量法法分分析析.建立电路的相量模型如图建立电路的相量模型如图,其中其中:15j60j40+-+-+-+-26.9讨论：讨论：串联电路以电流相量为参考串联电路以电流相量为参考作相量图比较方便；作相量图比较方便；并联电路并联电路以电压相量为参考以电压相量为参考作相量图比较方便。作相量图比较方便。i)对对RLC串联正弦稳态电路有：串联正弦稳态电路有：的电压相量与电容上的电压相量反相，彼此抵消之故；的电压相量与电容上的电压相量反相，彼此抵消之故；iii)Z代数形式所对应的代数形式所对应的“串联模型串联模型”的阻抗的阻抗与其电压与其电压相似：相似：|Z|XzRUUXURzii)UL=240V，UC=160V，都大于电源电压都大于电源电压U=100V(DC电路不会如此电路不会如此)，这是由于电感上，这是由于电感上26.9三、复导纳三、复导纳Y(complexadmittance)线线性性无无源源一一端端口口网网络络端端口口电电流流相相量量与与电压相量之比称为等效复导纳。电压相量之比称为等效复导纳。线性无线性无源网络源网络（NO）YGjB|Y|BGIIGIBY代数形式所对应的代数形式所对应的“并联模型并联模型”的导纳的导纳与其电流与其电流相似：相似：其中其中Y、|Y|、G、B的的SI量纲皆为西门子量纲皆为西门子(S).Y与与Z的关系的关系（1）显然有：）显然有：得：得：（2）且由：）且由：注意：当注意：当Z0时，上式中的时，上式中的G1/R，|B|1/|X|且且B与与X异号异号。反映了反映了Y并联模型参并联模型参数与数与Z串联模型参数串联模型参数之间的关系之间的关系对应得：对应得：Y的的“性质性质”：B=0(Y=i-u=0)，、同相，同相，N0呈电阻性呈电阻性(谐振状态谐振状态)；B0(Y=i-u 0)，滞后于滞后于，N0呈呈(电电)容性；容性；B0(Y=i-u 0）为例，电为例，电路的路的u,i,p的波形如图的波形如图:其物理意义为：其物理意义为：p的恒定分量的恒定分量(算术平均值算术平均值)P=UI cos 反映了反映了N消耗的平均功率；消耗的平均功率；p0时，外电路能量一部分被时，外电路能量一部分被N内内R所消耗，另一部分所消耗，另一部分L、C储能；储能；p00,感性电路感性电路,Q0，对单个电感来说对单个电感来说,“吸收吸收”无功功率无功功率;当当0,容性电路容性电路,Q0时为感性时为感性二、串联谐振的现象特征二、串联谐振的现象特征1：Z0=R，纯电阻性纯电阻性，且，且|Z0|为为|Z|的最小值的最小值。2：为回路的为回路的特性阻抗特性阻抗，量纲为，