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1、江苏省泰州市姜堰蒋剁中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 抛物线2px(p0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足AFB120过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最小值为A B C1 D参考答案:D2. 数列an中,“ a1a2a3”是“数列an是递增数列”的A.充分而不必要条件;B.必要而不充分条件;C.充分必要条件;D.既不充分与不必要条件;参考答案:B略3. 函数是上的偶函数,且在上是增函数,若,则实数的取值范围是 A. B. C.
2、D.参考答案:D4. 已知z=(m+3)+(m1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A(3,1)B(1,3)C(1,+)D(,3)参考答案:A【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数对应点所在象限,列出不等式组求解即可【解答】解:z=(m+3)+(m1)i在复平面内对应的点在第四象限,可得:,解得3m1故选:A5. 已知集合,若,则的值为( ) A B C D参考答案:A6. 设动直线x=m与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别于点M、N,则|MN|的最小值为()ABC1+ln2Dln21参考答案:A【考点】两点间距离公式的应用【分析】将两个函
3、数作差,得到函数y=f(x)g(x),再求此函数的最小值,即可得到结论【解答】解:设函数y=f(x)g(x)=x2lnx(x0),求导数得y=2x=(x0)令y0,x0,0x函数在(0,)上为单调减函数,令y0,x0,x函数在(,+)上为单调增函数,x=时,函数取得唯一的极小值,即最小值为: ln=故所求|MN|的最小值即为函数y的最小值:故选A7. 若椭圆与曲线无交点,则椭圆的离心率的取值范围是 ( )A B C D参考答案:D8. ( )A B C D参考答案:A9. 在等差数列中,若,则( ) A.8 B.6 C.10 D.7参考答案:B由数列是等差数列可得,即。故应选B。本题考查了等差
4、数列及其基本性质,属于基础题。10. 已知集合,则A B C D 参考答案:C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图所示,O为ABC的内心,则的值为参考答案:【考点】平面向量数量积的运算【专题】数形结合;数形结合法;平面向量及应用【分析】利用内心的性质求出OA的长和OAC,代入数量积公式计算【解答】解:设ABC的内切圆为O与AC,AB,BC的切点分别为D,E,F,连结OD,OE,OF,OA,ODAC,OAD=BAC=60,设AD=x,则AE=AD=x,OA=2AD=2x,CF=CD=1x,BF=BE=2x,BC=1x+2x=,解得x=,OA=2x=3,=OA?AC?co
5、sOAD=(3)?1?cos60=故答案为【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,利用内心的性质是关键12. (不等式选讲选做题)已知不等式有实数解,则实数的最大值为 参考答案:113. 执行如图所示的程序框图,若输入的值为2,则输出的值是 .参考答案:14. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出S的值是 参考答案:67715. 命题“”的否定是 。参考答案:16. 设集合.()实数的取值范围是 ;()当时,若,则的最大值是 参考答案:()()517. 某同学为了研究函数的性质,构造了如图所示的两个边长为的正方形和,点是边上的一个动点,设,则.那么,可推知方程解的个数是_个参考答案:2三、 解
6、答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数,()当时,恒成立,求的取值范围;()当时,研究函数的零点个数;()求证:(参考数据:)参考答案:()令=,则=;若,则,在递增;而=,即在恒成立,满足;所以;若,=在递增,=且且时,则使;在递减,在递增,所以当时,即当时,不满足题意,舍去;综合,知的取值范围为.()依题意得=,则=,则=在上恒成立,故=在递增,所以,且时,;若,即,则,故在递减,所以,在无零点;若,即,则使,进而在递减,在递增,且时,在上有一个零点,在无零点,故在有一个零点.综合,当时无零点;当时有一个公共点.()由()知,当时,对恒成立,
7、令,则即;由()知,当=时,对恒成立,令=,则=,所以;故有.本题考查导数在研究函数、不等式中的应用.()作差,构造函数=,求导分类讨论得的取值范围为.()多次求导,分类讨论得:当时无零点;当时有一个公共点.()由()可得,由()知;故有.19. 选修4-5:不等式选讲已知函数,.(1)求的解集;(2)若有两个不同的解,求a的取值范围.参考答案:(1),若,可得.(2)结合图象易得.20. 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于点F(1)证明PA平面EDB;(2)证明PB平面EFD;(3)求二面角CPBD的大小参考
8、答案:【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;与二面角有关的立体几何综合题【分析】法一:(1)连接AC,AC交BD于O,连接EO要证明PA平面EDB,只需证明直线PA平行平面EDB内的直线EO;(2)要证明PB平面EFD,只需证明PB垂直平面EFD内的两条相交直线DE、EF,即可;(3)必须说明EFD是二面角CPBD的平面角,然后求二面角CPBD的大小法二:如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设DC=a(1)连接AC,AC交BD于G,连接EG,求出,即可证明PA平面EDB;(2)证明EFPB,即可证明PB平面EFD;(3)求出,利用,求二面角CPBD的大小【解答】解:方法一:
9、(1)证明:连接AC,AC交BD于O,连接EO底面ABCD是正方形,点O是AC的中点在PAC中,EO是中位线,PAEO而EO?平面EDB且PA?平面EDB,所以,PA平面EDB(2)证明:PD底面ABCD且DC?底面ABCD,PDDCPD=DC,可知PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,DEPC同样由PD底面ABCD,得PDBC底面ABCD是正方形,有DCBC,BC平面PDC而DE?平面PDC,BCDE由和推得DE平面PBC而PB?平面PBC,DEPB又EFPB且DEEF=E,所以PB平面EFD(3)解:由(2)知,PBDF,故EFD是二面角CPBD的平面角由(2)知,DEEF,PD
10、DB设正方形ABCD的边长为a,则, 在RtPDB中,在RtEFD中,所以,二面角CPBD的大小为方法二:如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设DC=a(1)证明:连接AC,AC交BD于G,连接EG依题意得底面ABCD是正方形,G是此正方形的中心,故点G的坐标为且,这表明PAEG而EG?平面EDB且PA?平面EDB,PA平面EDB(2)证明;依题意得B(a,a,0),又,故PBDE由已知EFPB,且EFDE=E,所以PB平面EFD(3)解:设点F的坐标为(x0,y0,z0),则(x0,y0,z0a)=(a,a,a)从而x0=a,y0=a,z0=(1)a所以由条件EFPB知,即,解得点F的
11、坐标为,且,即PBFD,故EFD是二面角CPBD的平面角,且,所以,二面角CPBD的大小为21. 已知数列an的各项都为正数,且对任意nN*,都有(k为常数)(1)若k=0,且a1=1,8a2,a4,a6成等差数列,求数列an的前n项和Sn;(2)若,求证:a1,a2,a3成等差数列;(3)已知a1=a,a2=b(a,b为常数),是否存在常数,使得an+an+2=an+1对任意nN*都成立?若存在求出;若不存在,说明理由参考答案:【考点】8H:数列递推式;8E:数列的求和【分析】(1)利用等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式即可得出(2)当时,令n=1,即可证明(3)存在常数使得an+an
12、+2=an+1对任意nN*都成立证明如下:令,对任意nN*,都有,可得,可得:bn+1=bn,nN*,进而得出【解答】解:(1)当k=0时,an0,数列an为等比数列,设公比为q(q0),8a2,a4,a6成等差数列,8a2+a6=2a4,a20,q42q28=0,q2=4,q=2a1=1,数列an的前n项和(2)当时,令n=1,则,a10,a1+a32a2=0,a1,a2,a3成等差数列(3)存在常数使得an+an+2=an+1对任意nN*都成立证明如下:令,对任意nN*,都有,k为常数,得:,an0,an+1an+20,即:,亦即:bn+1=bn,nN*,数列bn为常数列,bn=b1,nN*,a1=a,a2=b,nN*,令n=1,则b2=aa3+k,nN*,即存在常数使得an+an+2=an+1对任意nN*都成立22. 如图,在ABC中,B=,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DEAC,E为垂足,(1)若BCD的面积为,求CD的长;(2)若ED=,求角A的大小参考答案:【考点】HX:解三角形【分析】(1)利用三角形的面积公式,求出BD,再用余弦定理求CD;(2)先求CD,在BCD中,由正弦定理可得,结合BDC=2A,