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1、高二数学（理科） 2022-05 阶考 第 1 页 共 2 页 高高 2020 级高二下期级高二下期 5 月阶段性测试数学（理科）试题月阶段性测试数学（理科）试题 一、单选题（每小题仅有一个正确选项，选对得一、单选题（每小题仅有一个正确选项，选对得 5 分，共分，共 60 分）分） 1已知复数 z 满足3 i2zi，则z的虚部是（ ） Ai Bi C1 D1 2老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论. 甲：该圆经过点2,2. 乙：该圆的半径为5. 丙：该圆的圆心为1,0. 丁：该圆经过点7,0， 如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁
2、 3已知曲线2cos:sinxCy为参数，以坐标原点O为原点， x轴正方向为极轴，建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为（ ） A2241 sin B2241 2sin C2241 3sin D2241 4sin 4220cosxx dx（ ） A34 B324 C22 D222 5函数 211222xxf xx eeaxaxa，1x 是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ） A, e B, 2e C2, e D2, 2e 6实数, x y满足：2124xttyt为参数，则3xy的取范围为( ) A3,2 B7, 7 C2, 7 D3, 7 7 用数学归纳法证明： *1111232nf nnN
3、的过程中， 从nk到1nk时，1f k 比 f k共增加了（ ） A1 项 B21k项 C2k项 D12k项 8偶函数 fx为 f x的导函数， fx的图象如图所示，则函数 f x的图象可能为（ ） A B C D 9正方体1111ABCDABC D，棱长为2，M是CD的中点，则三棱锥11BAMD的体积为（ ） A2 B2 C2 2 D4 10函数 21cos2f xxax，定义域为0,2， f x有唯一极值点，则实数a的取值范围为（ ） A 21 ， B112 ， C1122， D112， 11已知函数 e ,0ln ,0 xxf xx x， （e 为自然对数的底数） ，则函数 211eF
4、xff xf x的零点个数为（ ） A8 B7 C6 D4 12函数 f x定义域为R，导函数为 fx， f x满足下列条件：任意xR ， 222f xfxx恒成立，1,x 时， 21fxx恒成立， 则关于t的不等式：222352ftf ttt的解集为（ ） A 0,2 B01 ， C 11 ， D12， 高二数学（理科） 2022-05 阶考 第 2 页 共 2 页 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13直线l为曲线223lnyxxx的切线，且l与直线2yx平行，则直线l的一般方程为_. 14在复平面内，复数z满足：11zi ，则z最小值是_. 15 已
5、知梯形ABCD和矩形CDEF. 在平面图形中，112ABADDECD，CDAE. 现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足面ABCD垂直于面CDEF. 设2ENNC，EPPB，若APDBN面，则实数的值为 ； 16已知6a ，若方程432313ln202xaxxxxx在1,2上有唯一实根，则实数a的取值范围为 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 （10 分）已知C的极坐标方程为4cos，以极点O为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系， （1）求C的直角坐
6、标方程， （2）过1,1M作直线l交圆C于,P Q两点，且2PMQM，求直线l的斜率. 18 （12 分）如图，AB 为圆柱底面的直径，ACD是圆柱底面的内接正三角形，AP 和 DQ 为圆柱的两条母线，若2=2ABAP （1）求证：平面PCQ平面BDQ； （2）求BP与面ABQ所成角正弦值； （3）求二面角BAQC的余弦值 19 （12 分）已知函数 334f xxax，定义域为2,，实数0,a, （1）若=1a，求函数的极值点与极值； （2）若函数 f x在区间2,1上的最大值为20，求实数a的值. 20 （12 分）数列 na，分别解答下列问题 （1）若：14a ，*1311nnnaann
7、N求2a，3a，4a的值，猜想 na的通项公式；并用数学归纳法证明你的猜想 （2）已知 22xefxx，若：12a ，*1nnaf anN，证明：*nN ，12nnaa恒成立 21 （12 分）函数 21xf xeaxx ，定义域为0,1 （1） f x在0,1上单调递增，求实数a的取值范围 （2） f x在0,1上恰有两个零点，求实数a的取值范围 22 （12 分）函数 21ln12f xxxxax， f x有两个不同的极值点1212,x xxx， （1）求实数a的取值范围; （2）当127xx的取值范围为15ln2,11 ln3时，总存在两组不同的数对12,x x使得方程 2212221e
8、xxx x成立，求实数的取值范围 DCABEFNP高二数学（理科） 2022-05 阶考 第 3 页 共 2 页 高高 2020 级高二下期级高二下期 5 月阶段性测试数学（理科）试题参考答案月阶段性测试数学（理科）试题参考答案 16：CDCAAD, 712CBBACA 13: 20 xy，14：2 1，15：3，16：72ln2,6 17: （1）C的极坐标方程为：=4cos， 直角坐标方程为2224xy （2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为1cos:1sinxtltyt 为参数， 与2224xy联立，得22 sincos20tt， 点P对应的参数为1t，点Q对应的参数为2t， 则12
9、122 sincos2ttt t ，因为122tt，所以122tt ， 联立可得23sin8sincos3cos0，解得：47tan3， 所以直线的斜率为474733或 18： (1)因为 AB 为圆柱底面的直径，所以ADBD；因为 DQ 为圆柱的母线，故ADDQ， 又BDDQD，故AD平面 BDQ 由 AP 和 DQ 为圆柱的两条母线知四边形 APQD 为矩形，因此PQAD，故PQ平面 BDQ 又因为PQ平面 PCQ，所以平面PCQ平面 BDQ （2）由题意知 DA，DB，DQ 两两垂直，以 D 为坐标原点，DA，DB，DQ 为 x，y，z 轴，建立如图空间直角坐标系，令2AB，因为ACD是
10、圆柱底面的内接正三角形， 故30BAD，故cos303ADAB，sin301BDAB 3,0,0A，0,1,0B，0,0,1Q，3,0,1P 3,1,0AB ，3,0,1AQ 3, 1,1BP 在平面 ABQ 中，设平面 ABQ 的法向量为, ,nx y z， 由00n ABn AQ ，即3030 xyxz，令1x 得1, 3, 3n ， |105cos,35BP nBP nBP n，所以直线BP与面ABQ所成角正弦值为10535 (3)过 C 作CHAD，垂足为 H，1322DHAD，3322CHAD， 故点 C 的坐标为3 3,022C，3 3,022AC ，3,0,1AQ 在平面 ACQ
11、 中，设平面 ACQ 的法向量为, ,mx y z， 由00m ACm AQ ，即3302230 xyxz，令3x 得3,1,3m 设二面角BAQC的平面角为，由图可知为锐角， 则|5 3cos|cos,|91m nm nm n，所以二面角BAQC的余弦值为5 27391 19： （1） 231fxx 2, 1x ， 0fx ， f x单调递增；1,1x ， 0fx ， f x单调递减 1,x， 0fx ， f x单调递增， 所以1是函数的极大值点，极大值为16f ；1是函数的极小值点，极大值为 12f （2） 23fxxa 若01a，2,xa ， 0fx ， f x单调递增 ,xaa ， 0
12、fx ， f x单调递减 ,1xa， 0fx ， f x单调递增 若 max2420f xfaa a，得4a （舍去） 若 max15 320f xfa ，得5a （舍去） 若14a，2,xa ， 0fx ， f x单调递增 ,1xa ， 0fx ， f x单调递减 高二数学（理科） 2022-05 阶考 第 4 页 共 2 页 若 max2420f xfaa a，得4a （舍去） 若4a ，2,1x ， 0fx ， f x单调递减 若 max26420f xfa，得4a （满足） 综上所述： 4a 20： （1）解：14a ，1311nnnaan，21219aa ，3251163aa ， 4
13、331252aa 猜想21nan 证明：当1n 时，2142a ，猜想显然成立； 假设当nk时，猜想成立，即21kak， 则当1nk时，222131442111kkkaakkkkk ， 即当1nk时，猜想也成立由可知，猜想成立，即21nan （2）当1n ，22122eaa，命题成立 当nk时，假设12kkaa成立 当1nk时，1kkaf a，21kkaf a 322xexfxx，当2,x， f x单调递增， 因为12kkaa，所以 2122kkeff af a 所以122kkaa，有数学归纳法，命题成立 21： （1） 21xfxeax， 2xfxea， fx在0,1单调递增 若21a ，即
14、12a 时， 0,1x， 01 20fxfa ， fx单调递增， 00fxf， f x单调递增（满足） 若2ae，即2ea 时， 0,1x， 120fxfea ， fx单调递减， 00fxf， f x单调递减（舍去） 若12ae，即122ea时， 01 20fa ， 120fea ，存在00,1x ，且0ln 2xa，使得00fx， 00,xx， 0fx ， fx单调递减， 00fxf， f x单调递减（舍去） 综上所述：12a （2）由（1）问知12a 或2ea 时，函数 f x在0,1单调，所以不符合题意 若12ae，即122ea时， 01 20fa ， 120fea ，存在00,1x ，
15、且0ln 2xa，使得00fx， 00,xx， 0fx ， fx单调递减， 00fxf 0,1xx， 0fx ， fx单调递增， 121fea 若 1210fea ，即122eea时 则0,1x， 0fx ， f x单调递减（舍去） 若 1210fea ，即1122ea时 则存在10,1xx，使得 10fx， 10,xx， 0fx ， f x单调递减， 00f xf， 1,1xx， 0fx ， f x单调递增，若函数恰有两个零点 则 120fea ，即122ae 综上所述：122ae 高二数学（理科） 2022-05 阶考 第 5 页 共 2 页 22： （1） lnfxxxa ，令 lng
16、xxx， 11gxx 0,1x， 0gx ， g x单调递增， 1,x， 0gx ， g x单调递减， 且 11g ， 0limxg x， 因为 11 eg xxxxee，所以 limxg x，所以, 1a （2）因为 111ln0fxxxa，222ln0fxxxa，所以1122lnlnxxxxa 令211xt tx，与1122lnlnxxxx，解得：1ln1txt，2ln1ttxt，则1271 ln71ttxxt 令 71 ln11tth ttt，则 2178ln61ttth tt ， 令 178ln61H ttttt ,则 21710ttHtt， 所以当1+t， 0H t , H t单调递增， 10H tH，所以 0h t ， h t单调递增， 而 215 ln2h， 311 ln3h所以2,3t 令 ln11tm ttt， 211 ln1ttm tt， 令 11 lnM ttt ， 211Mttt， 当1+t， 0Mt , M t单调递增， 10M tM， 0m t ， m t单调递增， 令 ln11ttn ttt， 21 ln1ttm tt ， 令 1 lnN ttt ， 11
