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1、五年级奥数解题指导（第54 讲） ：牛吃草问题_奥赛天天练第五十四讲牛吃草问题 。【问题说明】 ：英国大科学家牛顿在他所著的 普通算术一书中曾提出一个有趣的数学问题 （格尔为牧场面积单位） ：有三片牧场，场上的草长得一样密， 并且长的速度一样快， 它们的面积分别是三又三分之一格尔、10 格尔和 24 格尔。第一片牧场的草饲养 12 头牛可以吃 4 个星期，第二片牧场的草饲养 21 头牛可以吃 9 个星期，问在第三片牧场上放多少头牛可以吃18 个星期？这个问题被人们称为牛顿问题， 也就是我们平常说的牛吃草问题。 牛吃草问题其实就是消长问题，问题的主要特征是：同一个数量一方面增加，另一方面减少，朝
2、两个方向同时变化。如牛吃草问题中，草生长使草量匀速增加，牛吃草却使草量逐渐减少。【数量关系分析】 ：在牛吃草问题中， 我们一般把一头牛一天的吃草量看作一个单位的草量， 作为牧草的计量单位。在这个问题中，主要研究牧场原有草量、每日新增草量（即牧草生长速度） 、牛的饲养数量、饲养时间，这四个数量之间的关系。一头牛一天吃一个单位的草量。如果养牛头数等于或小于每日新增草量， 则无需动用牧场原有草量， 这个牧场就会像个聚宝盆一样，供这些牛永远吃下去，草永远吃不完；如果养牛头数大于每日新增草量， 我们可以理解为， 每日新增的草先喂养了同等数量的牛，而多出的牛则需要吃牧场原有的草， 牧场中原有的草可以供这些
3、多出的牛吃多少天， 这个牧场草就可以供这些牛吃多少天。 （原有的草吃完了，新增草未生长，就理解为牧场的草吃完了。 ）此类问题中的基本数量关系有：牛的头数×对应的吃的天数总草量；牛的头数每日新增草量数多出牛的头数；每日新增草量（较长时间总草量同一牧场较短时间总草量）÷相差天数；原有草量对应总草量每日新增草量×天数；吃的天数原有草量÷多出牛的头数；牛的头数原有草量÷天数每日新增草量数。【解题方法介绍】 ：上面牛顿提出的牛吃草问题，比较复杂（三片面积不同的牧场） ，需要进行几次转化解题。本讲只学习较简单的牛吃草问题（同一片牧场） ，及
4、数量关系、解题方法与之相似的消长问题。解题时，一般要先根据题中的条件（每日消耗数量等） ，先求出每日新增数量和原有数量，再根据上面的数量关系，求出对应的时间或个体数量。奥赛天天练第54 讲，模仿训练，练习 1【题目】 ：一片牧场长满牧场，每天草都在匀速生长，这块牧场上的草可供27 头牛吃 6 天，也可供 23 头牛吃 9 天，那么这块牧场上的草可供21 头牛吃多少天？【解析】 ：牧场原草量不变，9 天总草量与 6 天总草量之差，就是多出3 天长出的新草。先求出每人新增草量：（23×927×6）÷（96）15（份） ；再用 9 天（或 6 天）总草量，减去
5、9 天新增草量，求出牧场原有草量：23×915×972（份） ；最后用原有草量除以多出牛的头数，求出21 头牛吃的天数：72÷（2115）12（天） 。奥赛天天练第54 讲，模仿训练，练习 2【题目】 ：一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速地进入船内，如果10 人舀水，3 小时舀完；如果 5 人舀水，8 小时舀完。现在要求2 小时舀完，要安排多少人舀水？【解析】 ：把每人每小时舀水量看作一份。船内 8 小时总水量与 3 小时总水量之差， 就是多出 5 小时进船的水。 先求出船内每小时进水量：（5×810×3）÷
6、（83）2（份） ；再用 3 小时后船内总水量，减去3 小时的进水量，求出发现漏水时船内已有进水量：10×32×324（份） ；最后用 2 小时后船内总水量除以时间2 小时，求出安排舀水的人数：（242×2）÷214（人） 。奥赛天天练第54 讲，巩固训练，习题 1【题目】 ：假设地球上每年新生成的资源的量是一定的。 据测算地球上的全部资源可供110 亿人口生活 90 年而耗尽，或者可供 90 亿人生活 210 年而耗尽。世界总人口必须控制在多少以内，才能保证地球上的资源足以使人类不断繁衍下去？【解析】 ：把一亿人一年消耗的资源看作一份，先求出
7、地球上每年新生成资源的数量：（210×9090×110）÷（21090）75（份） ；当世界总人口数控制在地球资源生成速度范围以内，即世界总人口必须控制在75 亿以内，才能保证地球上的资源足以使人类不断繁衍下去。奥赛天天练第54 讲，巩固训练，习题 2【题目】 ：一片牧草，每天生长速度相同，现在这片牧草可供16 头牛吃 20 天，或者供 80 只羊吃12 天，如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么这批牧草可供10 头牛与 60 只羊一起吃多少天？【解析】 ：先把羊替换成牛（也可以把牛替换成羊，但数据较大） ，转化成简单的牛吃草问题：80 只羊相
8、当于 20 头牛：80÷420（头） ；10 头牛和 60 只羊相当于 25 头牛：1060÷425（头） 。先求出每日新增草量：（16×2020×12）÷（2012）10（份） ；再求出原有草量：16×2010×20120（份） ；最后求出 10 头牛与 60 只羊一起吃的天数：120÷（2510）8（天） 。奥赛天天练第54 讲，拓展提高，习题 1【题目】 ：画展馆 9 时开门，但是早有人前来排队等候入场， 从第一个观众到起， 每分钟来的观众人数一样多。如果开 3 个入场口，9 时 9
9、分就不再有人排队；如果开5 个入场口，9 时 5 分就没有人排队，问第一个观众到达的时间是几时几分？【解析】 ：把每分钟每个入场口的人流量看作一份。3 个入场口 9 分钟入场总人数与 5 个入场口 5 分钟入场总人数的差， 就是多出 4 分钟新增加的人数。先求出展馆门口每分钟新增人数：（9×35×5）÷（95）0.5（份） ；再求出开门时，已有人数：9×39×0.522.5（份） ；最后求出展馆门口累计22.5 份人数的时间：22.5÷0.545（分钟） 。9 时45 分钟8 时 15 分所以第一个观众到达的时间是8
10、时 15 分。奥赛天天练第54 讲，拓展提高，习题 2【题目】 ：某水库有 10 个泄洪闸，若水库的水位已经超过安全线，且上游河水还在按不变的速度增加。为了防洪，需要调节泄洪速度。假设每个闸门泄洪速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸 30 小时，水位降至安全线；若打开两个泄洪闸， 10 个小时水位降至安全线。现在抗洪指挥部要求在 5.5 小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开多少个闸门？【解析】 ：把一个闸门一个小时的泄洪量看作一份。30 小时的总泄洪量与 10 小时总泄洪量之差，就是相差 20 小时内增加的水量。先求出河水每小时增加的速度：（30×110×2）÷（3010）0.5（份） ；再用10小时总泄洪量， 减去10小时新增水量， 求出泄洪前已经超出水位安全线的水量：10×210×0.515（份） ；最后用 5.5 小时需要泄洪总水量除以时间5.5 小数，求出需要打开闸门的个数：（155.5×0.5）÷5.5≈3.2（个）所以，要在 5.5 小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开4 个闸门。感谢阅读，欢迎大家下载使用！
