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1、名校真题测试卷（几何篇二）时间：15分 钟 满 分5分1（08年101中学考题）求下图中阴影部分的面积：姓名测试成绩.2（09年清华附中考题）从一个长为8厘米，宽 为7厘米，高 为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是 平方厘米.3（08年三帆中学考试题）有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成 为60个小长方体（见左下图）.这60个小长方体的表面积总和是 平方米.4（09年西城八中考题）右上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是_ _ _ _ _ _ _ 厘米.（=3.14）5（09年首师附中考题）一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起
2、成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？【附答案】1【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。所以阴影面积：Jt X4X44-4-4X4-2=4.562【解】最大正方体的边长为6,这样剩下表面积就是少了两个面积为6 X 6的，所以现在的面积为(8X7+8X6+7X6)X2-6X6X2=220.3【解】原正方体表面积：IX 1X6=6(平方米)，一共切
3、了 2+3+4=9(次)，每切一次增加2个面:2平方米。所以表面积：6+2X9=24(平方米).4【解】可见大圆的半径是小圆的3倍，所以半径为3,那么阴影部分的周长就等于7的小圆的周长加上1个大圆的周长，即7X%X2+%X6=20万。5【解】：共 有10X10X10=1000个小正方体，其中没有涂色的为(I0-2)X(102)X(102)=512个,所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为1000-512=488个。小升初专项训练 几何篇（二）1 与圆和扇形有关的题型【例 1】（）如下图，等腰直角三角形A B C 的腰为1 0 厘米；以A为圆心，E F 为圆弧，组成扇形A E F；阴影部分甲与乙的
4、面积相等。求扇形所在的圆面积。【例 2】（）草场上有一个长2 0 米、宽 1 0 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长3 0 米的绳子拴着一 只 羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？【例 3】在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和 4,求两个阴影部分的面积差。【例 4】（）如图，A B C D 是正方形，且 F A=A D=D E=L 求阴影部分的面积。（取 n=3）【例 5】（）如下图，A B 与 C D 是两条垂直的直径，圆 0的半径为1 5 厘米,G 是以C为圆心，AC为半径的圆弧，求阴影部分面积。与立体几何有关的题型小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体
5、图形，如长方体、正 方 体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。见下图。体球4-3在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。2 求不规则立体图形的表面积与体积【例6】（）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？【例7】（）在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞.洞口是边长为1厘米的正方形，洞 深1厘 米（如下图）.求挖洞后木块的表面积和体积.昼T4厘米jk【例8】（）如图是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面
6、的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？3 水位问题【例 9】（）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图.厘米.当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米.瓶子倒放时，空余部分的高为2厘 米.问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？已知它的容积为2 6.4 J t 立方【例 1 0 （）一个高为3 0 厘米，底面为边长是1 0 厘米的正方形的长方体水桶，其中装有！容积的2水，现在向桶中投入边长为2厘米X 2 厘米X 3 厘米的长方
7、体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？4 计数问题【例 1 2】有甲、乙、丙 3 种大小的正方体，棱长比是1：2：3。如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？5 三维视图的问题【例 1 3 现有一个棱长为1 c m 的正方体，一个长宽为1 c m高 为2 c m 的长方体，三个长宽为1 c m 高 为 3 c m的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。例：上6 其他常考题型【例 1 4 ()有两种不同形状的
8、纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1 :2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？【例 1 5】左下图是一个正方体，四边形A P Q C 表示用平面截正方体的截面。边形A P Q C 的四条边。请在右下方的展开图中画出四作业题1、()如下图，求阴影部分的面积，其中O A B C 是正方形.2,()如下图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1 0 4 0 平方厘米，空白部分是6个半径为1 0 厘米的小扇形。3、()如右图，将直径A B 为 3的半圆绕A逆时针旋转6
9、0 ,此时A B 到达A C 的位置，求阴影部分的面积(取冗=3).4,()如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，A B 弦约等于1 7 厘米，半径 为 1 0 厘米，求阴影部分的面积。A5、（）2100个边长为1 米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是10米，长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？6、（）有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2 的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？7、（）如下图，在棱长为3 的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1 的正方形高为3 的长方体的洞，求所得形体的表面
10、积是多少?8、（）现有一张长40厘米、宽 20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5 厘米的长方体无盖铁 皮 盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出铁皮盒容积是多少立方厘米？解：如图，可有如下三种情况比较后可知：|I 上1与圆和扇形有关的题型【例1】（）如下图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。【解】：等腰三角形的角为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍。而扇形面积为等腰三角形面积:S=l/2X10X10=50o 则:圆的面积为 400。【例2】（）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊
11、圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一 只 羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？【解】：（此题十分经典）如右上图所示，羊活动的范围可以分为A,B,C三部分,其中A 是半径为3 0 米的7个圆，B,吩别是半径为2 0 米和1 0 米的（个圆。所以羊活动的范围是3 1x-x 3 02 x-+7 r x 2 02x-+7 r x l Q2x 44 43 1 1=z x(3 02 x-+2 02 x-+1 02 x-)=3.1 4 X(6 7 5+1 0 0+2 5)=2 5 1 2 (米2)。【例3】在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4,求两个阴影部分的面积差。【解】：我们只要看
12、清楚阴影部分如何构成则不难求解。左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形。则为：Ji/4X 4X 4-n 74X 2X 2-4X 2=3X 3.14-8=1.420【例 4】（）如图，A B C D 是正方形，且 F A=A D=D E=L 求阴影部分的面积。（取冗=3）【解】：先看总的面积为1/4 的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，然后扣除一个等腰直角三角形，一 个 1/4 圆，一 个 4 5 度的扇形。那么最终效果等于一个正方形扣除一个4 5 度的扇形。为 1 X
13、 1-1 7 8 X 3 X 1=5/8【例 5】（）如下图，A B 与 C D 是两条垂直的直径，圆。的半径为1 5 厘米,G 是以C为圆心，AC为半径的圆弧，求阴影部分面积。【解】：2 2 5 平方厘米阴影部分面积=号 又-1弁、90_ 3 0 x l5 j_ 225兀 _二2-2255r2+225=225（平方厘米）与立体几何有关的题型小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正 方 体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。见下图。体球4n-3v=在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构
14、思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。2 求不规则立体图形的表面积与体积【例 6 （）用棱长是1 厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？【解】：方法一，思 路 :整体看待面积问题。解：不管叠多高，上下两面的表面积总是3X 3；再看上下左右四个面，都是2X3+1,所以，总计 9X2+7X4=18+28=46。方法二J 思 路 :所有正方体表面积减去粘合的表面积解：从图中我们可以发现，总共有14个正方体，这样我们知道总共的表面积是：6X 14=64,但总共粘合了 18个面，这样就减少了 18X 1=18,所以剩下的表面积是64-18=46。方法三:直接数数。
15、思 路 :通过图形，我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1,这样总共的表面积就是46。【例 7】（）在边长为4 厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞.洞口是边长为1 厘米的正方形，洞 深 1 厘 米（如下图）.【解】：提示：大正方体的边长为4 厘米，挖去的小正方体边长为1 厘米，说明大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞内”的 4 个侧面积。6 个小洞内新增加面积的总和：1X 1X 4X 6=24（平方厘米），原正方体表面积：/X 6=96（平方厘米），挖洞后木块表面积：96+24=120（平方厘米），体积：43-13X 6=
16、58（立方厘米）.答：挖洞后的表面积是120平方厘米，体积是58立方厘米.【例 8】（）如图是一个边长为2 厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1 厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【解】：方法一:思 路:立体图形的好处就是可以直观视觉，虽然图形被挖去，但6个面看过去是都还是面积不变的，特别是从上往下看是，3个正方形的下底面正好和剩下的面积等于原来的面积，这样就只增加了3个小正方体的各自侧面。解：原正方体的表面积是2X2X6=24平方厘米，增加的面积1X4+（X!）X4+（X）X 4,所以总2 2 4 4共面积为 24+1X 4+（X）X 4+（X）X 4=29 2 2 4 4 4 方法二：思 路:原正方体的表面积是2X2X6=24平方厘米，在顶部挖掉一个边长为1厘米的正方体小洞后，原大正方体的顶部表面被掉了一个1 X 1的小正方形，但是内部增加了 5个1 X 1的面，所以总共增加了 4个1 X 1的面，即正方形小洞的4个侧面-同样，再往下
