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1、名校真题测试卷(几何篇二)时间:15分 钟 满 分5分1(08年101中学考题)求下图中阴影部分的面积:姓名测试成绩.2(09年清华附中考题)从一个长为8厘米,宽 为7厘米,高 为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体,剩下的几何体的表面积是 平方厘米.3(08年三帆中学考试题)有一个棱长为1米的立方体,沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后,成 为60个小长方体(见左下图).这60个小长方体的表面积总和是 平方米.4(09年西城八中考题)右上图中每个小圆的半径是1厘米,阴影部分的周长是_ _ _ _ _ _ _ 厘米.(=3.14)5(09年首师附中考题)一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起
2、成为一个边长为10厘米的大正方体,大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体,这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个?【附答案】1【解】如左下图所示,将左下角的阴影部分分为两部分,然后按照右下图所示,将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出,原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形,其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。所以阴影面积:Jt X4X44-4-4X4-2=4.562【解】最大正方体的边长为6,这样剩下表面积就是少了两个面积为6 X 6的,所以现在的面积为(8X7+8X6+7X6)X2-6X6X2=220.3【解】原正方体表面积:IX 1X6=6(平方米),一共切
3、了 2+3+4=9(次),每切一次增加2个面:2平方米。所以表面积:6+2X9=24(平方米).4【解】可见大圆的半径是小圆的3倍,所以半径为3,那么阴影部分的周长就等于7的小圆的周长加上1个大圆的周长,即7X%X2+%X6=20万。5【解】:共 有10X10X10=1000个小正方体,其中没有涂色的为(I0-2)X(102)X(102)=512个,所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为1000-512=488个。小升初专项训练 几何篇(二)1 与圆和扇形有关的题型【例 1】()如下图,等腰直角三角形A B C 的腰为1 0 厘米;以A为圆心,E F 为圆弧,组成扇形A E F;阴影部分甲与乙的
4、面积相等。求扇形所在的圆面积。【例 2】()草场上有一个长2 0 米、宽 1 0 米的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长3 0 米的绳子拴着一 只 羊(见左下图)。问:这只羊能够活动的范围有多大?【例 3】在右图中,两个四分之一圆弧的半径分别是2和 4,求两个阴影部分的面积差。【例 4】()如图,A B C D 是正方形,且 F A=A D=D E=L 求阴影部分的面积。(取 n=3)【例 5】()如下图,A B 与 C D 是两条垂直的直径,圆 0的半径为1 5 厘米,G 是以C为圆心,AC为半径的圆弧,求阴影部分面积。与立体几何有关的题型小学阶段,我们除了学习平面图形外,还认识了一些简单的立体
5、图形,如长方体、正 方 体(立方体)、直圆柱体,直圆锥体、球体等,并且知道了它们的体积、表面积的计算公式,归纳如下。见下图。体球4-3在数学竞赛中,有许多几何趣题,解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计,把形象思维和抽象思维结合起来。2 求不规则立体图形的表面积与体积【例6】()用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形,问该图形的表面积是多少平方厘米?【例7】()在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞.洞口是边长为1厘米的正方形,洞 深1厘 米(如下图).求挖洞后木块的表面积和体积.昼T4厘米jk【例8】()如图是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面
6、的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞;接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞;第三个小洞的挖法与前两个相同,边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?3 水位问题【例 9】()一个酒精瓶,它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),如下图.厘米.当瓶子正放时,瓶内的酒精的液面高为6厘米.瓶子倒放时,空余部分的高为2厘 米.问:瓶内酒精的体积是多少立方厘米?合多少升?已知它的容积为2 6.4 J t 立方【例 1 0 ()一个高为3 0 厘米,底面为边长是1 0 厘米的正方形的长方体水桶,其中装有!容积的2水,现在向桶中投入边长为2厘米X 2 厘米X 3 厘米的长方
7、体石块,问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐?4 计数问题【例 1 2】有甲、乙、丙 3 种大小的正方体,棱长比是1:2:3。如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体,且每种都至少用一个,则最少需要这三种正方体共多少?5 三维视图的问题【例 1 3 现有一个棱长为1 c m 的正方体,一个长宽为1 c m高 为2 c m 的长方体,三个长宽为1 c m 高 为 3 c m的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时,从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形(如例)的样子画出来,并求出其表面积。例:上6 其他常考题型【例 1 4 ()有两种不同形状的
8、纸板,一种是正方形的,另一种是长方形的,正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1 :2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中,竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少?【例 1 5】左下图是一个正方体,四边形A P Q C 表示用平面截正方体的截面。边形A P Q C 的四条边。请在右下方的展开图中画出四作业题1、()如下图,求阴影部分的面积,其中O A B C 是正方形.2,()如下图所示,求阴影面积,图中是一个正六边形,面积为1 0 4 0 平方厘米,空白部分是6个半径为1 0 厘米的小扇形。3、()如右图,将直径A B 为 3的半圆绕A逆时针旋转6
9、0 ,此时A B 到达A C 的位置,求阴影部分的面积(取冗=3).4,()如下图,两个半径相等的圆相交,两圆的圆心相距正好等于半径,A B 弦约等于1 7 厘米,半径 为 1 0 厘米,求阴影部分的面积。A5、()2100个边长为1 米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是10米,长、宽都是大于10(米)的整数,问长方体长宽之和是几米?6、()有一个正方体,边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2 的长方体(如下图),求它的表面积减少的百分比是多少?7、()如下图,在棱长为3 的正方体中由上到下,由左到右,由前到后,有三个底面积是1 的正方形高为3 的长方体的洞,求所得形体的表面
10、积是多少?8、()现有一张长40厘米、宽 20厘米的长方形铁皮,请你用它做一只深是5 厘米的长方体无盖铁 皮 盒(焊接处及铁皮厚度不计,容积越大越好),你做出铁皮盒容积是多少立方厘米?解:如图,可有如下三种情况比较后可知:|I 上1与圆和扇形有关的题型【例1】()如下图,等腰直角三角形ABC的腰为10厘米;以A为圆心,EF为圆弧,组成扇形AEF;阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。【解】:等腰三角形的角为45度,则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍。而扇形面积为等腰三角形面积:S=l/2X10X10=50o 则:圆的面积为 400。【例2】()草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊
11、圈,在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一 只 羊(见左下图)。问:这只羊能够活动的范围有多大?【解】:(此题十分经典)如右上图所示,羊活动的范围可以分为A,B,C三部分,其中A 是半径为3 0 米的7个圆,B,吩别是半径为2 0 米和1 0 米的(个圆。所以羊活动的范围是3 1x-x 3 02 x-+7 r x 2 02x-+7 r x l Q2x 44 43 1 1=z x(3 02 x-+2 02 x-+1 02 x-)=3.1 4 X(6 7 5+1 0 0+2 5)=2 5 1 2 (米2)。【例3】在右图中,两个四分之一圆弧的半径分别是2和4,求两个阴影部分的面积差。【解】:我们只要看
12、清楚阴影部分如何构成则不难求解。左边的阴影是大扇形减去小扇形,再扣除一个长方形中的不规则白色部分,而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分,那么它们的差应为大扇形减去小扇形,再减去长方形。则为:Ji/4X 4X 4-n 74X 2X 2-4X 2=3X 3.14-8=1.420【例 4】()如图,A B C D 是正方形,且 F A=A D=D E=L 求阴影部分的面积。(取冗=3)【解】:先看总的面积为1/4 的圆,加上一个正方形,加上一个等腰直角三角形,然后扣除一个等腰直角三角形,一 个 1/4 圆,一 个 4 5 度的扇形。那么最终效果等于一个正方形扣除一个4 5 度的扇形。为 1 X
13、 1-1 7 8 X 3 X 1=5/8【例 5】()如下图,A B 与 C D 是两条垂直的直径,圆。的半径为1 5 厘米,G 是以C为圆心,AC为半径的圆弧,求阴影部分面积。【解】:2 2 5 平方厘米阴影部分面积=号 又-1弁、90_ 3 0 x l5 j_ 225兀 _二2-2255r2+225=225(平方厘米)与立体几何有关的题型小学阶段,我们除了学习平面图形外,还认识了一些简单的立体图形,如长方体、正 方 体(立方体)、直圆柱体,直圆锥体、球体等,并且知道了它们的体积、表面积的计算公式,归纳如下。见下图。体球4n-3v=在数学竞赛中,有许多几何趣题,解答这些趣题的关键在于精巧的构
14、思和恰当的设计,把形象思维和抽象思维结合起来。2 求不规则立体图形的表面积与体积【例 6 ()用棱长是1 厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形,问该图形的表面积是多少平方厘米?【解】:方法一,思 路 :整体看待面积问题。解:不管叠多高,上下两面的表面积总是3X 3;再看上下左右四个面,都是2X3+1,所以,总计 9X2+7X4=18+28=46。方法二J 思 路 :所有正方体表面积减去粘合的表面积解:从图中我们可以发现,总共有14个正方体,这样我们知道总共的表面积是:6X 14=64,但总共粘合了 18个面,这样就减少了 18X 1=18,所以剩下的表面积是64-18=46。方法三:直接数数。
15、思 路 :通过图形,我们可以直接数出总共有46个面,每个面面积为1,这样总共的表面积就是46。【例 7】()在边长为4 厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞.洞口是边长为1 厘米的正方形,洞 深 1 厘 米(如下图).【解】:提示:大正方体的边长为4 厘米,挖去的小正方体边长为1 厘米,说明大正方体木块没被挖通,因此,每挖去一个小正方体木块,大正方体的表面积增加“小洞内”的 4 个侧面积。6 个小洞内新增加面积的总和:1X 1X 4X 6=24(平方厘米),原正方体表面积:/X 6=96(平方厘米),挖洞后木块表面积:96+24=120(平方厘米),体积:43-13X 6=
16、58(立方厘米).答:挖洞后的表面积是120平方厘米,体积是58立方厘米.【例 8】()如图是一个边长为2 厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1 厘米的正方体小洞;接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞;第三个小洞的挖法与前两个相同,边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?【解】:方法一:思 路:立体图形的好处就是可以直观视觉,虽然图形被挖去,但6个面看过去是都还是面积不变的,特别是从上往下看是,3个正方形的下底面正好和剩下的面积等于原来的面积,这样就只增加了3个小正方体的各自侧面。解:原正方体的表面积是2X2X6=24平方厘米,增加的面积1X4+(X!)X4+(X)X 4,所以总2 2 4 4共面积为 24+1X 4+(X)X 4+(X)X 4=29 2 2 4 4 4 方法二:思 路:原正方体的表面积是2X2X6=24平方厘米,在顶部挖掉一个边长为1厘米的正方体小洞后,原大正方体的顶部表面被掉了一个1 X 1的小正方形,但是内部增加了 5个1 X 1的面,所以总共增加了 4个1 X 1的面,即正方形小洞的4个侧面-同样,再往下