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1、第五讲立体几何【例 1】如图，在一个棱长为5 分米的正方体上放一个棱长为4 分米的小正方体，求这个立体图形的表面积【解析】我们把上面的小正方体想象成是能够向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就能够分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面上下方向：55250(平方分米)；侧面：554100(平方分米)，4 4464(平方分米)这个立体图形的表面积为：50 10064214(平方分米)【例 2】(2008 年“希望杯”五年级第2 试
2、)如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_平方厘米【解析】(法 1)四个正方体的表面积之和为：2222(1235)6396234(平方厘米)，重叠部分的面积为：22222222213(221)(321)(321)39141440(平方厘米)，所以，所得到的多面体的表面积为：23440194(平方厘米)(法 2)三视图法从前后面观察到的面积为22253238 平方厘米,从左右两个面观察到的面积为225334 平方厘米，从上下能观察到的面积为2525 平方厘米表面积为3834252194(平方厘米)【例 3】把 19 个棱长为1 厘米的正方
3、体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积【解析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示所以，这个立体图形的表面积为：2 个上面2个左面2个前面上表面的面积为：9 平方厘米，左表面的面积为：8 平方厘米，前表面的面积为：10 平方厘米所以，这个立体图形的总表面积为：(9810)254(平方厘米)上下面左右面前后面【巩固】用棱长是1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7 块正方形组成该图形的表面积等于(977)246个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米【例
4、 4】有 30 个边长为1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色求被涂成红色的表面积【解析】44(1234)456(平方米)【例 5】棱长是 m 厘米（m 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1 厘米的小正方体至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时 m 的最小值是多少?【解析】切割成棱长是1 厘米的小正方体共有3m 个，因为其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个数之比为13:12，而131225，所以小正方体的总数是25的倍数，即3m 是 25 的倍数，那么m 是 5 的倍数当5m时，要使得至少有一面的
5、小正方体有65 个，能够将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5554265个，表面没有红色的小正方体有1256560个，个数比恰好是13:12，符合题意.所以，m 的最小值是5【例 6】有 64 个边长为1 厘米的同样大小的小正方体，其中34 个为白色的，30 个为黑色的现将它们拼成一个444的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多能够是多少平方厘米？【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有3(42)8(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有
6、2(42)624(个)，其中30822个用黑色这样，在表面的44 696个1 1的正方形中，有22 个是黑色，962274(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多能够是74 平方厘米【例 7】三个完全一样的长方体，棱长总和是288 厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面涂色后把三个长方体都切成棱长为1 厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【解析】每 个长方体的棱长和是288396厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是96424厘米 因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数
7、，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9 厘米、8 厘米、7 厘米要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少所以，涂一面的长方体应涂一个87面，有8756个；涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个87面，有872112个；若两面相邻，应涂一个87面和一个97面，此时有7892105 个，所以涂两面的最少有105 个；涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个87面、一个97面，有78894147个；若三面两两相邻，有718171918191146 个，所以涂三面的最少有146个那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有561
8、05 146307个【例 8】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100 块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【解析】设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是 1 的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1 的情况当长方体的长、宽、高中有一个是1 时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100 块，设100ab，那么分成的小正方体个数为221242104abababab，为了使小正方
9、体的个数尽量少，应使ab 最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当10ab时它们的和最小，此时共有102102144 个小正方体当长方体的长、宽、高都大于1 时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8 个顶点所在的小正方体后12 条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是 100 块，所以长方体的长、宽、高之和是10042331因为三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令312227，此时共有2227108个小正方体因为108144，所以至少要把这个大长方体分割成108 个小正方体【例 9】把正方体的六个表面都划分成9 个相等的正方形用红、黄、蓝三种颜色去
10、染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【解析】一个面最多有5 个方格可染成红色（见左下图）因为染有5 个红色方格的面不能相邻，能够相对，所以至多有两个面能够染成5 个红色方格红红红红红红红红红红红其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4 个红色方格（见上中图）因为染有4 个红色方格的面也不能相邻，能够相对，所以至多有两个面能够染成4 个红色方格 最后剩下两个相对的面，每个面最多能够染2 个红色方格（见右上图）所以，红色方格最多有52422222（个）（另解）事实上上述的解法并不严密，“如果最初的假设并没有两个相对的有5 个红
11、色方格的面，是否其他的四个面上能够出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明22是红色方格数的最大值对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子能够染成红色但是现在需要染色的是一个正方体的表面，所以在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方：如图，每个角上三个方向的3 个方格必须染成不同的三种颜色，所以 8 个角上最多只能有8 个方格染成红色如图，阴影部分是首尾相接由9个方格组成的环，这9 个方格中只能有4个方格能染成同一种颜色(如果有5 个方格染同一种颜色，必然出现相邻，能够用抽屉原理反证之：先去掉一个
12、白格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格)，像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的18个方格中最多能有8个可染成红色剩下63 3839212个方格，分布在6条棱上，这12个格子中只能有6个能染成红色 综上所述，能被染成红色的方格最多能有88622个格子能染成红色，第一种解法中已经给出22个红方格的染色方法，所以22个格子染成红色是最多的情况【例 10】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大
13、的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【解析】本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.因为21:15:127:5:4，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为754，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12 厘米、9 厘米和 6 厘米，所以剩下的体积应是：33321 15 1212961107（立方厘米）.12129996663121263912【例 11】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状
14、，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？A【解析】分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17 块.【巩固】这个图形，是否能够由1 1 2的长方体搭构而成？【解析】每一个1 1 2的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有17 块，白色积木有15 块，所以该图形不能够由1 1 2的长方体搭构而成.【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2 的立方体与写着1 的立方体的三个面相邻，再将写着3 的立方体写着2 的立方体相邻(见左下图)依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?33223323322323111111【解析】第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)765434565第三层654323454第二层第一层343212345上面的 9 个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27同理，下面的9 个数之和是45，下面、左面、后面的所有数之和都是45所以六个面上所有数之和是(2745)3216
