《江苏省常州市西夏墅中学高中数学3.4.1基本不等式的证明教学设计1苏教版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省常州市西夏墅中学高中数学3.4.1基本不等式的证明教学设计1苏教版必修5（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.4.1 基本不等式的证明（1）教学目标：一、知识与技能1探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；2会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；3学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；4理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释二、过程与方法1.通过实例探究抽象基本不等式；2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础两个定理的证明要注重
2、严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质三、情感、态度与价值观1通过本节的学习，体会数学于生活，提高学习数学的兴趣；2培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程教学难点：理解基本不等式等号成立条件及“当且仅当时取等号”的数学内涵教学方法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式；从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动学生的学习热情；定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案教学过程：一、问题情景1.提问：2ab与
3、ab哪个 大？2.基本不等式2abab的几何背景：如图是在北京召开的第24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）二、学生活动问题 1 我们把“风车”造型抽象成上图在正方形ABCD中有 4 个全等的直角三角形设直角三角形的长为ab，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：2222,abab.问题 2 那 4 个直角三角形的面积和呢？生答2ab问题 3 好，根据观察 4 个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得
4、到一个不等式，222abab.什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即xy时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222abab.三、建构数学1重要不等式：一般地，对于任意实数a，b，我们有222abab，当且仅当ab时，等号成立问题 4：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)证明：222222(),()0,()0,ababababababab当时，当时,所以222abab注意强调：当且仅当ab时,222abab注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；（2）公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛问题
5、5：将a降次为a,b降次为b,则由这个不等式可以得出什么结论？2基本不等式：对任意正数a，b，有,2abab当且仅当ab时等号成立（学生讨论回答证明方法）证法 1：2abab22211()()2()022ababab当且仅当ab即ab时，取“”证法 2：要证ab2ab，只要证2 abab，只要证02aabb，只要证20()ab因为最后一个不等式成立，所以ab2ab成立，当且仅当ab即ab时，取“=”号证法 3：对于正数,a b有2()0ab，20abab2,2abababab说明：把2ab和ab分别叫做正数,a b的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几
6、何平均数注意：（1）基本不等式成立的条件是：0,0ab；（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）；（3）abba2的几何解释：（如图1）以ba为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DDAB，则abCBCACD2，从而abCD，而半径abCDba2基本不等式2abab几何意义是：“半径不小于半弦”；（4）当且仅当ab时，取“”的含义：一方面是当ab时取等号，即ab2abab；另一方面是仅当ab时取等号，即2ababab；（5）如果Rba,，那么abba222（当且仅当ba时取“”）；（6）如果把2ba看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a，b的等
7、比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项四、数学运用1例题例 1设,a b为正数，证明下列不等式成立：（1）2baab；（2）12aa.证明（1）,a b为正数，,b aa b也为正数，由基本不等式得22bab aaba b原不等式成立（2）1,aa均为正数，由基本不等式得1122aaaa，原不等式成立例 2 已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222.证明cba,为两两不相等的实数，abba222，222bcbc，caac222，以上三式相加：cabcabcba222)(2222，所以，cabcabcba222例 3 已知,a b c d都是正
8、数，求证()()4abcdacbdabcd.证明由,a b c d都是正数，得：02abcdab cd，02acbdac bd，()()4abcdacbdabcd，即()()4abcdacbdabcd.2练习ABDDCab（图 1）（1）已知,x y都是正数，求证：223333()()()8xyxyxyx y；（2）已知,a b c都是正数，求证：()()()8ab bc caabc；（3）思考题：若0 x，求xx1的最大值.五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1算术平均数与几何平均数的概念；2基本不等式及其应用条件；3不等 式证明的三种常用方法小结正数的算术平均数不小于它们的几何平均数六、课外作业课后练 习第 2 题，第 6 题；习题3.4 第 1 题，第 2 题，第 3 题
