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1、选修 22 导数及其应用1.1.2 曲线上一点处切线、瞬时速度、瞬时加速度（总第 48导学案）一、学习目标1、了解利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想求曲线上一点处的切线的方法；2、了解在非常短时间内的平均速度、平均加速度十分接近一个时刻的瞬时速度、瞬时加速度；了解求瞬时速度和瞬时加速度的的方法。二、重点与难点重点：求曲线上一点处的切线的方法，求瞬时速度和瞬时加速度的的方法。难点：了解利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想.三、教学过程（一）曲线上一点处的切线：1、割线与切线的概念：如图，设 Q为曲线 C 上不同于 P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线。随着点 Q沿曲线 C
2、向点 P 运动，割线 PQ在点 P附近越来越逼近曲线C。当点 Q无限逼近点 P 时，直线 PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这时直线l就称为曲线在点P处的切线。2、切线的斜率：如图，设曲线C 上一点 P(x,f(x)，过点 P的一条割线交曲线 C于另一点)(,(xxfxxQ，则割线 PQ的斜率xxxxfxxfxykPQ)()()(xxfxxf)()(,当点 Q沿曲线 C 向点 P运动，并无限靠近点P时，割线 PQ逼近点 P 的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率。即当0 x时，xxfxxf)()(点P(x，f(x)处的切线的斜率。这里x可正也可负，当x取负值时，点Q位于点 P的左侧
3、。3、如何求曲线C：)(xfy在 P(x，f(x)点处切线的斜率呢？（基本思想：割线逼近切线）第一步：求平均变化率xxfxxfxy)()(；第二步：求0 x时，xy所趋近的值A。所以在点 P 处的切线的斜率k=A。例 1：已知2)(xxf，求曲线y=f(x)在 x=2 处的切线斜率及切线方程。变 1：使用割线逼近切线的方法，分别求曲线3xy在 x=0，x=2，x=3 处的切线的斜率。变 2：已知22)(2xxf，求曲线y=f(x)在 x=1 处的切线斜率及切线方程。（二）瞬时速度与瞬时加速度：1、平均速度：在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度。平均速度反映了物体在某一时间段内运
4、动的快慢水准。具体求法：一般地，物体在做直线运动时，它的运动规律能够用函数s=s(t)描述，这个式子叫做物体的运动方程（也叫做位移公式）。如果一个运动物体在时刻0t时位于）0(ts，在时刻ttt(0称为时间增量）时位于)(0tts，相对应地，从0t到tt0这段时间内，物体的位移（即位移增量）是)()(00tsttss，那么位移增量s与时间增量t的比，就是这段时间内物体的平均速度v，即ttsttstsv)()(00。如何精确刻画物体在某一时刻的快慢水准？2、瞬时速度：一般地，我们计算运动物体位移s(t)的平均变化率（即平均速度）ttsttstsv)()(00，如果当0t，ttstts)()(00
5、A（常数），那么这个常数A称为物体在0tt时的瞬时速度。或叫0t时刻的速度。要特别记住：瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率。3、如何求物体的瞬时速度？第一步：求平均变化率ttsttsts)()(00；第二步：求0t时，ts所趋近的值，即为物体在0tt时的瞬时速度。例 2、如果一个物体的位移S(m)是时间t(s)的函数659.42ttS，求该物体在t 时刻的速度 v 和加速度a。4、瞬时加速度：一 般 地，我 们 计 算 运 动 物 体 速 度 的 平 均 变 化 率ttvttv)()(00，如 果 当0t，ttvttv)()(00A（常数），那么这个常数A称为物体在0tt时的瞬时加速度。要特别
6、记住：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率。5、如何求物体的瞬时加速度？第一步：求平均变化率ttvttvtv)()(00；第二步：求0t时，tv所趋近的值，即为物体在0tt时的瞬时加速度。例 3、已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，假设ts 时的速度为(t)=t2+3，求 t=t0s 时轿车的瞬时加速度a.例 4、跳水运动员从腾空到入水的过程中，不同的时刻有不同的速度，ts后运动员相对于水面的高度h(m)为105.69.4)(2ttth。求（1）2ts时运动员的瞬时速度；（2）运动员在t=9865s 时的速度，并解释此时的运动状况。课外作业1、如图，l为经过曲线上点P和 Q 的割线，若 P(1
7、，2)、Q(5，7)，则lk，当 Q 沿曲线向点P 靠近时，l的斜率是变大还是变小？。2、在下列3 个图中，直线l为曲线在点P处的切线，则l的斜率分别是、。3、某物体做匀速运动，其运动方程为S=vt+b，则该物体在运动中的平均速度、任意时刻的瞬时速度分别是、。4、自由落体运动的位移S(m)与时间 t(s)的关系为221gtS(g 为常数)，则当0tts 时的瞬时速度为（m/s），当 t=0、1、2s 时的瞬时速度分别是、(m/s)。5、曲线2xy在)16943(，P处的切线斜率是，该处的切线方程是。6、已知质点的运动方程为ttS241，当质点速度为2 时，t=。7、当0h时，hh223)3（，
8、hh33 .8、已知曲线xxy22在某点的切线斜率为2，则此点的坐标是。9、曲线3xy在点 P处切线的斜率为k，当 k=3 时，点 p 的坐标是。10、已知曲线方程xy1，则曲线在P(2，1)处的切线方程是。11、一质点运动方程为102tS(位移单位：m，时间单位：s)，求该质点在t=3s 时的瞬时速度。12、一物体运动的方程为233ttS，当 t=a 和 t=a+1 时的速度分别为1v、2v，试比较1v、2v的大小。13、某物体作匀加速直线运动，已知2021attvS，求物体在0tt时的瞬时速度和瞬时加速度。14、航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度445305)(23tttth，其中h的单位为 m，t 的单位为s。（1）h(0)、h(1)分别表示什么？（2）求第 1s 内的平均速度；（3）求第 1s 末的瞬时速度；（4）经过多长时间，飞机的速度达到75m/s？
