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1、如东中学 2021 届高三上学期第一次月考数学试题一、选择题本大题共8 小题，共40 分1.设集合 2，3，4，5，6，集合且，那么A.B.C.6，D.4，5，6，【答案】C【解析】【分析】此题主要考查元素与集合的关系，考查集合的新定义与运算，考查学生推理能力，属于根底题直接利用且，依次验证元素，即可得到答案【解答】解：因为集合且，所以M 中的元素在B 集合中，但是该元素不在A集合中，因为 4，5，6，依次检验元素，可得元素5，6，7 满足题意，所以 6，；应选C2.函数的图象大致是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】此题考查函数的性质及图象的应用，属于根底题由函数的定义域为即可求解【解
2、答】解：由，得，那么该函数的定义域为，结合选项，只有A 项符合应选A3.在平面直角坐标系xOy 中，点，将向量绕点O 按逆时针方向旋转后得到向量，那么点Q 的坐标是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】此题重点考查平面向量数量积与垂直，考查推理能力和计算能力，属于根底题由，得，又，联立即可求解【解答】解：设，由题意，得，那么，又，联立，解得，即，应选D4.函数，假设，那么实数a 的值是A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了分段函数及求值、指数运算，属于根底题 先求得，再根据求得结果【解答】解：，由，得到，应选C5.点在幂函数的图象上，设，那么a，b，c的大小关系为
3、A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查幂函数的性质，考查学生的思维能力，属中档题由幂函数的性质，点在幂函数的图象上，可解出m，得到原函数，利用其单调性，即可比拟大小【解答】解：点在幂函数的图象上，点在幂函数上，解得在R 上单调递增，又，又，那么a，b，c 的大小关系为应选C6.正三角形ABC 中，D 是线段 BC 上的点，那么A.12B.18C.24D.30【答案】D【解析】【分析】此题主要考查向量的加法、减法、数乘运算，平面向量数量积的计算，向量的几何运用，属于一般题以作为基底表示出所求向量，再利用向量的加法、减法、数乘运算即可得结果【解答】解：如图，正三角形 ABC 中，D
4、 是线段 BC 上的点，那么 应选 D7.定义在 R上的函数满足，当时，假设方程在上恰好有两个实数根，那么正实数a 的值为A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】此题考查函数零点与方程根的关系，考查了导数的几何意义，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题由等式可得函数是偶函数且是周期为2 的周期函数，并得到函数的一条对称轴方程，作出的图象，再求出与相切时的切点坐标得答案【解答】解：由，可知为偶函数，且一条对称轴为，再由，可得，即函数的周期为2根据时，作出函数的草图，如下图：方程在上恰好有两个实数根，函数与的图象在y 轴右侧有两个交点，设与相切时，切点坐标为，由，得，解得由图
5、象可知，当直线过点时，方程在上恰好有两个实数根，应选C8.设的内角所对的边分别为，且，那么的最大值为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】此题考查了正弦定理和三角恒等变换以及函数最值的求解，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题 根据题意利用正弦定理化简可得，从而化简构建函数，进而即可求得最大值【解答】解：，由正弦定理可得，展开并整理得，化简得，故，令，当时，取得最大值，代入可得，应选 A二、不定项选择题本大题共4 小题，共20 分9.不等式对任意的恒成立，那么满足条件的整数a 的可能值为A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】此题主要考查不等式恒成立问题，属中档题令，利用导数求出函
6、数的最小值，从而得到a 的取值范围，进而得到正确选项【解答】解：令，当时，当时，在上是减函数，在上是增函数，所以的最小值是，因为不等式对任意的恒成立，所以整数a 的可能值为，应选AB10.函数，那么以下说法中正确的选项是A.函数的图象关于点对称B.函数图象的一条对称轴是C.假设，那么函数的最小值为D.假设，那么【答案】BC【解析】【分析】此题主要考查了三角函数图象的性质，属于中档题结合三角函数图象的性质对每个选项逐一判断即可求解【解答】解：由函数，那么对称中心的纵坐标为1，故 A 错误；令，那么，当时，故 B 正确；当时，那么，即此时函数的最小值为，故C 正确；由 B 选项知，函数的对称轴为，
7、当时，函数在该区间内有两条对称轴和，可得在上不是单调函数，那么假设，那么不一定成立，故 D 错误应选BC11.数学的对称美在中国传统文化中多有表达，譬如如下图的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，以下说法正确的的是A.对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B.可以是某个圆的“优美函数C.正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数D.函数是“优美函数的充要条件为函数的图象是中心对称图形【答案】ABC【解析】【分析】此题考查函数图象的对称性，只要函数图象的对称中心在圆心，该函数就是“优美函数，由此判
8、定选项即可【解答】解：当函数图象为中心对称图形，且对称中心在圆心时，该图象能够将圆的周长和面积同时平分，函数即为“优美函数对A，对于任意一个圆，存在无数个函数，图象为中心对称图形，只要平移，使其对称中心平移到圆心，对应的函数都是“优美函数，A 正确；对 B，的图象关于点对称，所以它是以原点为圆心的某个圆的“优美函数，B 正确；对 C，正弦函数有无数个对称中心，所以它是以这些对称中心为圆心的圆的“优美函数，C 正确；对 D，函数的图象将圆的周长和面积同时平分时，该函数图象不一定是中心对称图形，D 错误，应选 ABC12.函数的定义域为，图像关于y 轴对称，导函数为，且当时，设，那么以下大小关系正
9、确的选项是A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】此题考查比拟大小，函数奇偶性，不等式性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题 由题意，当时，构造函数，那么，所以时，单调递减，再由是偶函数，可得是奇函数，所以当时，单调递减，根据选项可得结论【解答】解：由题意，当时，构造函数，那么，所以时，单调递减，又由题意可得是偶函数，所以是奇函数，那么当时，也单调递减对于A，即，故A 正确；对于 B，即，可得，故B 错误；对于C，即，即，故C 错误；对于D，即，故 D 正确应选AD三、填空题本大题共4 小题，共20 分13.在平面直角坐标系xOy 中，角的顶点为O，其始边与 x 轴的非负半轴重合，终边
10、过点，那么 _【答案】；【解析】【分析】此题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于根底题由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解【解答】解：平面直角坐标系xOy 中，角的顶点为O，其始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点，故答案为：14.命题 p：“，关于x 的方程有实数解假设命题p 为真命题，那么实数m 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】此题考查了根本不等式的性质、指数的运算性质、根本不等式的性质，简易逻辑的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题由题意可知，根据根本不等式的性
11、质，即可求得m 的取值范围【解答】解：因为p 为真命题，即方程有实数解，当且仅当时等号成立，故m 的取值范围是故答案为15.函数，那么 _；关于 x 的不等式的解集为_【答案】；【解析】【分析】此题考查函数的单调性与奇偶性的判断以及应用，属于中档题，由函数的解析式可求，设，分析函数的单调性与奇偶性，将原不等式转化为，即可得解【解答】解：因为函数，那么；设，易知函数在R上为增函数，且，所以函数为奇函数，因为等价于，即，那么，解得，所以关于x的不等式的解集为故答案为；16.函数，假设存在，使得，那么实数a 的值为 _【答案】【解析】【分析】此题考查导数中的存在性问题，考查推理能力和计算能力，属于较
12、难题将函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，那么问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，然后借助导数的几何意义即可求解【解答】解：函数，函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点M 在函数的图象上，N 在直线的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由得，解得，所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，那么，根据题意，要使，那么，此时N 恰好为垂足，由，解得故答案为：四、解答题本大题共6 小题，共70 分17.在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，_，求角 B；求的面积【答案】解：假设选，由余弦定理可得，因为，故 B
13、假设选，由正弦定理可得，因为，所以，即，因为，故 B由可得，所以，因为，故 B；由正弦定理可得，所以所以【解析】此题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 选由余弦定理可得，进而解得B；选由正弦定理得，所以；选由和角公式得，可得；再由正弦定理可得a，再用和角公式求得sinC，最后利用三角形的面积公式计算即可得出18.函数求的单调递增区间；求在上的最小值及取最小值时的x 的集合【答案】解：，令，解可得，故函数的单调递增区间为，当，即时，函数取得最小值故在上的最小值为，取最小值时x 的集合【解析】此题考查三角函数的恒等变换以及正
14、弦函数的图象与性质，比拟根底利用二倍角公式以及辅助角公式把化为一个角的正弦函数，再令，解得x 的范围即得的单调递增区间；由x 的范围得到的范围，再结合正弦函数的图象与性质，求得在上的最小值及取最小值时的x的集合19.某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入万元之间满足：，a，b为常数当万元时，万元；当万元时，万元求的解析式；求该景点改造升级后旅游利润的最大值精确到，参考数据：，【答案】解：旅游增加值y 万元与投入万元之间满足：，a，b 为常数当万元时，万元；当万元时，万元，解得，由题意知：，令，那么舍，或，当时，在上是
15、增函数，当时，在上是减函数，为的极大值点，又，该景点改造升级后旅游利润的最大值为万元【解析】本小题主要考查函数模型的选择与应用、应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等根底知识解决实际问题通常有四个步联：阅读理解，认真审题引进数学符号，建立数学模型利用数学的方法，得到数学结果转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型由条件：“当万元时，万元当万元时，万元列出关于a，b 的方程，解得 a，b 的值即得那么求的解析式先写出函数的解析式，再利用导数研究其单调性，进而得出其最大值，从而解决问题20.设，是函数的图象上任意两点，点满足假设，求证：为定值；
16、假设，且，求的取值范围，并比拟与的大小【答案】证明：由可知，即，故为定值，即得证；解：由，可得，那么，即，解得此时由，可得，故，即【解析】此题考查对数的运算以及对数不等式的求解问题，考查比拟大小的问题，属于中档题由条件可得，继而可推算出，即可得证结论；由条件可得，解对数不等式即可求得的取值范围根据得，进而有21.椭圆两焦点、在y 轴上，短轴长为，离心率为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P 作关于直线对称的两条直线PA、PB 分别交椭圆于A、B 两点求 P 点坐标；求证直线AB 的斜率为定值【答案】解：设椭圆的方程为，由题意可得，即，椭圆方程为，焦点坐标为，设，那么，点 P在曲线上，那么，从而，得，那么点P 的坐标为；由知轴，直线PA，PB 斜率互为相反数，设 PB的斜率为，那么PB 的直线方程为，由，得，设，那么，同理可得，那么，所以AB 的斜率为定值【解析】此题考查了椭圆的方程和性质，考查椭圆和直线的位置关系，属于较难题由可解出椭圆方程，然后设出，结合，即可解出点P 的坐标；由知轴，直线PA，PB 斜率互为相反数，设PB 的直线方程为，与椭圆方程联立，即可解出，同理可得，然后解
