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1、2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D 中选择一项填写）：B 题我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名
2、号的话）：200620110912 所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 18 页 -2006 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 18 页 -1 艾滋病疗
3、效数学模型与分析摘要本文就艾滋病疗效的问题做了深入的研究，由于数据量庞大，我们首先对数据进行筛选，排除那些部分信息量过少或偏离总体规律的数据，并对剩余数据逐个曲线拟合，然后通过对拟合后每个个体数据的散点分布趋势，找出图中密集点分布的大致范围，在此范围内求取平均值的方法，以此来确定普遍规律中方程的未知数，利用这种将大量的个体数据归纳为一个总体规律的方法来建立数学模型并求解。在第一题中,由于 HIV与 CD4高度相关,因此我们通过研究CD4的变化率与 HIV的变化率的关系，由于两者成反比关系，于是我们将CD4的变化率与 HIV的变化率的关系模型假定为214ktHIVktCD，整理得到：tkCDkH
4、IV241；我们对个体数据进行了逐个曲线拟合，并将各个拟合后方程的系数看作坐标轴中的点(k1，k2）画出散点图，根据这些点在图中的疏密性确定(k1，k2）的大致范围,并利用平均值的方法求出（1k，2k），再根据短时间内HIV 与 CD4的变化规律，即“当CD4被 HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV 将迅速增加，导致AIDS 发作”列出两者间的关系方程241uCDuHIV,消去方程tkCDkHIV241中HIV，得到tCD 与4间的线性关系：t3.67+-31.029=CD4；通过斜率判断出药物对艾滋病的疗效是显著的。第二题的模型中，首先通过对人年龄的仔细分类，由于在大于50 岁或小于
5、 30 岁的年龄人群中，药物对他们的疗效并不显著，因此我们在这里重点讨论年龄在30至 50岁之间的人群，从而将年龄对于疗效的影响减地至最小。然后将此年龄段间的数据进行筛选，排除那些部分信息量过少或偏离总体规律的数据，并对剩余数据逐个进行多项式CD4=dtctbta23的曲线拟合，计算出各个数据的a,b,c,d的值，并对各个CD4=dtctbta23方程对t求导并利用类似于第一题的方法求出其方程ctbtatCD2342的系数，从而得出疗效变化率方程。最后对疗效变化率方程利用 Mathematica 进行画图，从而分析出四种疗效的变化规律，即第一和三种疗法没有持续疗效，而最佳疗效分别在第5.815
6、 周和第 18.712 周，第二种没有疗效，而第四种疗法从 20.5 周后有明显疗效。第三题中，运用运筹学中的线性规划的方法，将每一个疗法的费用作为方程的系数，把到达最佳疗效的周期作为未知数，建立每一种疗法的费用与其到达疗效周期的线性关系式：Y=kX。通过上(2)已求得的最佳疗效周期数据，进行逐个代入求有效治疗的费用。再通过坐标图型作出每一种疗法的所对应的函数图形，由不同的斜率来，来判断到达最佳周期时的费用，得出第四种疗法最好的结果。关键词：数据优化曲线拟合线性规划Mathematica 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 18 页 -2 一、问题重述艾滋病是当前人类
7、社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的 20 多年间，它已经吞噬了近 3000 万人的生命。艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”,英文简称 HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。艾滋病究竟是什么？即获得性免疫缺陷综合症（acquired immunodeficiency syndrome,AIDS）,是一种由人免疫缺陷病毒引起的，以全身免疫系统严重损害为牲的传染性疾病。感染者终生携带病毒，且缺乏治愈该病的有效方法。导致这场悲剧的恶魔便是人免疫缺陷病毒（human
8、 immunodeficiency virus,HIV），或称为艾滋病毒，在分类学上属扫转录病毒科慢性病毒属长类慢病毒群（Murphy,1996）。作为艾滋病的病原，HIV不仅成为众多生物学家和医学家研究的焦点，而且迅速引起整个人类社会的震惊和普遍关注。HIV病毒是一种杀细胞性病毒，此病毒主要在辅助性T淋巴细胞内大量增殖使细胞破坏。而辅助性T淋巴细胞是人体中极其重要的免疫细胞，它的破坏，逐渐导致免疫功能衰竭。这样，即使一个对正常人来说是微不足道的感染，如小伤口或普通感冒，也可以致艾滋病人于死地。什么是艾滋病病毒（HIV）(图)注2 艾滋病病毒的医学名称为人类免疫缺陷病毒（英文缩写 HIV），它
9、侵入人体后破环人体的免疫系统，使人体发生多种难以治愈的感染和肿瘤，最终导致死亡。在 T 淋巴细胞分类中，CD4代表 T 辅助细胞而 CD8代表 T 抑制细胞和 T 杀伤细胞。CD4+T淋巴细胞是 HIV 感染的主要靶细胞，而其本身又是免疫反应的中心细胞；CD8+T名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 18 页 -3 淋巴细胞是免疫反应的效应细胞。正常人的 CD4+T 淋巴细胞约占总的T 淋巴细胞的 65%，CD8+T淋巴细胞约占 35%。人体感染了 HIV 后，涉及的主要病理过程就是免疫系统的损害，主要表现为：CD4+T 淋巴细胞的丢失，绝对数量的减少，同时CD8+T淋
10、巴细胞数量增加，CD4和 CD8的比例失调。因此CD4+，CD4+T 淋巴细胞记数作为直接测定免疫功能的方法，是提供 HIV 感染病人免疫系统损害状况最明确的指标。认识 CD4值：T 细胞是白血球细胞，在免疫系统中扮演很重要的角色。人体内有二种主要的 T 细胞，其中一种是称为CD4细胞，在 T细胞的表面。这些CD4细胞又称为免疫系统的辅助手（helper），能指挥身体对抗微生物，例如病毒。另一种T细胞是称为 CD8细胞，它能摧毁已受感染的细胞。注1 如今爱滋病在世界上的传播速度越来越快，世界各国的医学界都不断研制新药来治疗 HIV，因此新药的疗效如何要刻不容缓的加以解决，以下我们就将对新的几种
11、对抗艾滋病的药物疗效通过数学模型进行分析和讨论。现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG 公布了两种不同治疗方法的两组数据，我们需要解决的问题如下：（1）利用附件 1 的数据，建立模型预测同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和 indinavir（茚地那韦）3 种药物的继续治疗的效果，如果认为继续服药效果不好，则根据模型计算出提前终止治疗的时间。（2）利用附件 2 的数据，分析4 种不同的疗法，其日用药量分别为：600mg zidovudine 或 400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加 2
12、.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加 400 mg didanosine；600 mg zidovudine加 400 mg didanosine，再加 400 mg nevirapine（奈韦拉平）。以 CD4的值为标准评价 4 种疗法的优劣，并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。（3）根据题目给出的艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格，考虑如果病人需要考虑4 种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。二、模型的建立与求解第一题：1、模型假设据题意，HIV 随时间的变化量与CD4随时间的
13、变化量成反比，为便于计算，我们假设两者间的关系为线性关系。（由于本题未牵涉到非艾滋病患者，所以这类人群不在本题讨论范围之内）2、模型建立根据我们的假设，于是我们建立模型：214ktHIVktCD方程两边同时乘以t，得到方程如下：tkCDkHIV241。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 18 页 -4 3、模型求解对附件 1 的每个人的 CD4,HIV,t 的数据进行处理计算，得到HIV，4CD，t；再对每人的HIV，4CD，t进行数据拟合，求出每个人的 k1,k2 的拟合值；(附录 1)将 k1,k2 的值输入 EXCEL，在 excel 中画出散点图，通过观察发现
14、所以点在原点的左上方比较密集（如图）-20-15-10-50510152025-200-150-100-50050100150取横坐标（-12，30）之间，纵坐标(-2,6)之间的点，分别对k1,k2 取平均值得：-9.046521k，1.76072k；由此我们得到tHIVCD7607.1-9.0465244、模型分析计算（1k，2k）与其余（k1,k2）的方差,其中点（-8.929，2.74）与（1k，2k）的方差最小因此我们将点（-8.929，2.74）所代表的个人作为权，由于在题目中提到“当CD4被 HIV 感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致 AIDS发作。”因此我们
15、假定在感染过程这个极短的时间内，CD4的变化量与时间 t 无关，即241uCDuHIV，利用之前确定的权中的数据进行拟合，得到方程：CD40.0576486-1.6464=HIV；将这个方程代入基本方程tHIVCD7607.1-9.046524中，得到tCD 与4间的线性关系：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 18 页 -5 t3.67+-31.029=CD4；10203040-25255075100125150它的斜率tCD43.670，这说明 CD4的总量随着时间的增加而增长，因此证明药物是有效果的。第二题：讨论：疗法 1：1、模型假设：首先观察四种疗法中的年龄
16、，时间，CD4的数据情况，由于药物的疗效只和CD4的变化量为标准，因此我们可以画出大多数人CD4和 t 的散点图进行比较，通过比较图中 CD4对于时间的变化情况，可以发现当年龄50 岁时，第一种疗法没有什么疗效，因此此时我们只讨论年龄在30AGE50 之间的数据，将数据导入excel，并筛选。我们再次观察年龄在30AGE0 部分的图形(图如下)，发现04tCD，说明 CD4的变化始终未负增长，没有效果。（三）疗法 3：同理筛选疗法3 的数据，将周期短的和不符合假设年龄的数据剔除，并进行拟合,可得疗法 3 的统计数据（数据见附录3），散点图为:-0.025-0.02-0.015-0.01-0.00500.0050.01-0.4-0.200.20.40.60.8系列1我们发现，起点大多集中于2b 大多集中在-0.1和 0.1 之间，3a 集中-0.0025 和0.0025 之间,因此可用同上类似方法求出：a3=-0.00054；b2=0.018025；c=-0.14783；得方程:tCD 4-0.000542t0.018025t-0.14783 使以上方程等式为0.其方程图形为：名师资料总
