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1、第 3 章中值定理与导数的应用名称主要内容（3.1、3.2）3.1 中值定理名称条件结论罗尔中值定理)(xfy：（1）在a,b上连续；（2）在)(a,b内可导；（3）)()(bfaf至 少 存 在 一 点)(a,b使 得0)(/f拉格朗日中值定理)(xfy：（1）在a,b上连续；（2）在)(a,b内可导至 少 存 在 一 点)b,a(使 得)(/fabafbf)()(柯西中值定理)(xf、)(xg：（1）在a,b上连续，在)(a,b内可导；（2）在)(a,b内每点处0)(/xg至 少 存 在 一 点)(a,b使 得abafbfgf)()()()(/3.2 洛必达法则基本形式00型与型未定式通分
2、或取倒数化为基本形式1）型：常用通分的手段化为00型或型；2）0型：常用取倒数的手段化为00型或型，即：0001/0或01/0；取对数化为基本形式1）00型：取对数得00 ln 00e，其中000 ln 001/0或0 ln 001/0；2）1型：取对数得ln11e，其中00ln101/0或ln101/0；3）0型：取对数得ln00e，其中000 ln01/0或0 ln01/0。课后习题全解习题 3-1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 31 页 -1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。（1）51132)(2.,xxxf；
3、（2）303)(,xxxf。知识点：罗尔中值定理。思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/f，得到的根便为所求。解：（1）32)(2xxxf在511.,上连续，在)5.1,1(内可导，且0)51()1(.ff，32)(2xxxf在511.,上 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件。令()410f得)511(41.,即为所求。（2）xxxf3)(在30,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(ff，xxxf3)(在30,上满足罗尔定理的条件。令()302 3f，得)30(2,即为所求。2.验证拉格朗日中值定理对函数25423xxxy在区间 10,上的正确性。知识点：拉格朗日中值定理。思
4、路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10fff，若得到的根 10,则可验证定理的正确性。解：32()452yf xxxx在10,连续，在)10(,内可导，25423xxxy在区间10,上满足拉格朗日中值定理的条件。又2)0(2)1(,ff，2()12101fxxx，要使(1)(0)()010fff，只要：513(0 1)12,，513(0 1)12,，使(1)(0)()10fff，验证完毕。3.已知函数4)(xxf在区间21 ,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的。解：要使(2)(1)()21fff，只要33154154，从而315(1 2)4,即为满足定理的
5、。4.试证明对函数rqxpxy2应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 31 页 -证明：不妨设所讨论的区间为a,b，则函数rqxpxy2在a,b上连续，在)(a,b内可导，从而有()()()f bf afba，即abrqaparqbpbq)()(222，解得2ab，结论成立。5.函数3)(xxf与1)(2xxg在区间21,上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。知识点：柯西中值定理。思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程()()()()()()ff bf ag g bg a，得到的根便为所求
6、。解：3)(xxf及2g()1xx在21,上连续，在)21(,内可导，且在)21(,内的每一点处有()20gxx，所以满足柯西中值定理的条件。要使()(2)(1)()(2)(1)fffg gg，只要37232，解得)21(914,，即为满足定理的数值。6.设)(xf在10,上连续，在)10(,内可导，且0)1(f。求证：存在)10(,，使()()f f。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：从ff)()(/结论出发，变形为0)()(/ff，构造辅助函数使其导函数为)()(/xfxxf，然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常用的方法。证明：构造辅助函数)()(xx
7、fxF，()()()Fxfxxfx根据题意)()(xxfxF在10,上连续，在)10(,内可导，且0)1(1)1(fF，0)0(0)0(fF，从而由罗尔中值定理得：存在)10(,，使()()()0Fff，即()()f f。注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使()()f xfxx，只要名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 31 页 -()1()ln()lnln()00()0()()fxxf xf xxxf xxfxf xxxf x只要设辅助函数)()(xxfxF7.若函数)(xf在)(a,b内具有二阶导函数，且)()()(321xfxfxf)(321bxxx
8、a，证明：在)(31,xx内至少有一点，使得()0f。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：连续两次使用罗尔中值定理。证明：)(xf在)(a,b内具有二阶导函数，)(xf在21,xx、32,xx内连续，在)(21,xx、)(32,xx内可导，又)()()(321xfxfxf，由罗尔定理，至少有一点)(211,xx、)(322,xx，使得1()0f、2()0f；又()fx在21,上连续，在)(21,内可导，从而由罗尔中值定理，至少有一点)(21,)(31,xx，使得()0f。8.若 4 次方程043223140axaxaxaxa有 4 个不同的实根，证明：0234322130axaxaxa的所有根皆
9、为实根。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。证明：令43223140)(axaxaxaxaxf则由题意，)(xf有 4 个不同的实数零点，分别设为4321,x,x,xx，)(xf在21,xx、32,xx、43,xx上连续，在)(21,xx、)(32,xx、)(43,xx上可导，又0)()()()(4321xfxfxfxf，由罗尔中值定理，至少有一点)(211,xx、)(322,xx、)(433,xx使得123()()()0fff，即方程0234322130axaxaxa至少有 3 个实根，又三次方程最多有3 个实根，从而结论成立。9.证明：方程015xx只有一
10、个正根。知识点：零点定理和罗尔定理的应用。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 31 页 -思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。解：令1)(5xxxf，)(xf在10,上连续，且01)1(f，01)0(f，由零点定理，至少有一点)10(,，使得01)(5f；假设015xx有两个正根，分别设为1、2（21），则)(xf在在21,上连续，在)(21,内可导，且0)()(21ff，从而由罗尔定理，至少有一点)(21,，使得4()510f，这不可能。方程015xx只
11、有一个正根。10.不用求出函数)4)(3)(2)(1()(xxxxxf的导数，说明方程()0fx有几个实根，并指出它们所在的区间。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。解：)4)(3)(2)(1()(xxxxxf在21,、32,、43,上连续，在)21(,、)32(,、)43(,内可导，且0)4()3()2()1(ffff，由罗尔中值定理，至少有一点)21(1,、)32(2,、)43(3,，使得123()()()0fff，即方程()0fx至少有三个实根，又方程()0fx为三次方程，至多有三个实根，()0fx有 3 个实根，分别为)21(1,、)32(2,、
12、)43(3,。11.证明下列不等式：（1）babaarctanarctan；（2）当1x时，exex；（3）设0 x，证明xx)1(ln；（4）当0 x时，xx11)11(ln。知识点：利用拉格朗日中值定理。思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数()yfx，通过式子()()()f bf afba（或()()()()f bf af ba）证明的不等式。证明：（1）令xxfarctan)(，)(xf在a,b上连续，在)(a,b内可导，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 31 页 -由拉格朗日中值定理，得21arctanarctan()()1abf bababa
13、。（2）令xexf)()1(x，)(xf在1,x上连续，在)1(,x内可导，由拉格朗日中值定理，得eex)(xe1，x1，eexxexeeex)1()1(，从而当1x时，exex。（3）令)1ln()(xxf)0(x，)(xf在0,x上连续，在)0(,x内可导，由拉格朗日中值定理，得1ln(1)ln(1)ln(10)()(0)1xxf xx，x0，xx11，即0 x，xx)1ln(。（4）令xxfln)()0(x，)(xf在1xx,上连续，在)1(xx,内可导，由拉格朗日中值定理，得11ln(1)ln(1)ln()(10)xxfx，xx1，x111，即当0 x时，xx11)11ln(。12.证
14、明等式：)1(12arcsinarctan22xxxx.知识点：()0()fxf xC（C为常数）。思路：证明一个函数表达式)(xf恒等于一个常数，只要证()0fx证明：令)1(12arcsinarctan2)(2xxxxxf，当1x时，有1arcsin1arctan2；当1x时，有2222222222212(1)222122()1(1)1(1)121()1xxxxfxxxxxxxx0)12(1222xx，()(1)f xCf；)1(12arcsinarctan22xxxx成立。13.证明：若函数)(xf在)(,-内满足关系式()()fxf x，且1)0(f，则xexf)(。名师资料总结-精品
15、资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 31 页 -知识点：()0()fxf xC思路：因为()()1xxf xeef x，所以当设()()xF xef x时，只要证()0Fx即可证明：构造辅助函数()()xF xefx，则()()()0 xxFxefxef x；()(0)1xF(x)efxCFxexf)(。14.设函数)(xf在a,b上连续，在)(a,b内有二阶导数，且有bcac,fbfaf)(0)(0)()(，试证在)(a,b内至少存在一点，使()0f。知识点：拉格朗日中值定理的应用。思路：关于导函数)()(fn在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析各层导函
16、数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。证明：)(xf在a,c、c,b上连续，在)(a,c、)(c,b内可导，由拉格朗日中值定理，至少有一点)(1a,c、)(2c,b，使得2()()()0f cf bfcb，1()()()0f af cfac；又()fx在21,上连续，在)(21,内可导，从而至少有一点)(21,，使得2121()()()0fff。15.设)(xf在a,b上可微，且()0()0()()fa,fb,f af bA,试证明)(/xf在)(a,b内至少有两个零点。知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。思路：要证明在某个区间)(a,b内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在a,b上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。证明：()()()lim0 xafxf afaxa，由极限的保号性知，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 31 页 -)(1a,（不妨设21b-a），对于)(1a,x，均有0)()(axafxf，特别地，)(11a,x，使得0)()(11axafxf，得Aafxf)()(1；同理，由()0fb,得)(22b,x（22b-a
