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1、2009智轩考研数学创高分红宝书系列188 第五章多元函数微分学2008 年考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用2008 年考试要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的
2、必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8.了解二元函数的二阶泰勒公式。9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。一、“三基”内容1.1.二元函数的几何意义(,)zfx y或(,)(,)F x y zzf x
3、y=0；定义域是平面上的一个区域，图形是一张曲面。1.2.二重极限与累次极限1）二重极限2222000000,0lim(,)lim(,)lim(,)0,0 xxx yxyx xyyxyyyf x yf x yf x yA当022000,0()()U Pxxyy时，恒有(,)f x yA，其中00(,)(,)x yxy以任何方向 和任何方式 进行，而一元函数的极限只有左右两个方向和一条直线路径；倘若沿两条不同的特殊路径，00lim(,)xxyyf x y不相等，则可判定极限不存在。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 35 页 -2009智轩考研数学创高分红宝书系列189
4、【例 1】求11lim 1+x yxyyIxy和2222222001coslimx yxyxyIxye解：使用一元化 技巧1lim111lim 1+lim 1+tyyxytttxy txtyyyyIeexyt2222220 02t220t001cos1costlimlim0txyx yxyxyIxye先将，同时强行带入再一元化,即令=【例 2】2222,0,0,0,lim,0,0 x yxyxyxyfx yfx yxy解：无法一元化，利用0ykxk技巧。222,0,0,0,0,0,0,0,0lim,lim10lim,011lim,2x yx yykxy kxx yy kxx yy kxxykf
5、x yxykkfx ykfx y可见，极限不存在。【例 3】求2212200limxyxyxyIxy解：无法一元化，使用 夹逼法。22222211100222200100,lim=02xxyxyxyyxyxyxyIxyxy故极限存在二重极限的脱帽法：00lim(,)(,),;xxyyf x yAf x yAx y其中：00lim,0 xxyyx y。评 注 求二元函数,fx y 的二重极限技巧是：先把00,xy值强行代入，如能直接得到值，则说明,fx y 在点00,xy连续；否者，需要先定型后定法 再求极限，具体技巧有 3 个：一元化、夹逼法 和直线探针ykx。名师资料总结-精品资料欢迎下载-
6、名师精心整理-第 2 页，共 35 页 -2009智轩考研数学创高分红宝书系列190 2）二次极限（累次极限）00lim lim(,)yyxxfx yB为累次极限，如果(,)fx y连续，则0000lim lim(,)lim lim(,)yyxxxxyyf x yfx y。【例 4】1sin,0,0,0 xyyfx yy解：二次极限0000limlim(,)0;lim lim(,)yxxxyyf x yf x y，故二次极限不存在。而二重极限由于00010sin0lim,0 xxyxxfx yy存在可见，二重极限的存并不能保证二次极限的存在，反之亦然。1.3.二元函数的连续性的三种等价定义全增
7、量定义法：0000(,+)(,)zfxxyyfxy，如00lim0 xxyyz，则(,)zfx y在000,P xy点连续，也就是说，求连续函数极限时，可以将000,Pxy的自变量直接代入计算极限。二重极限定义法：0000lim(,)(,)xxyyf x yf xy则(,)zfx y在P点连续，它与一元函数的连续性定义完全一致，可见，间断点的类型也一致。具体做法是：把00,xy值同时前行代入，如果能直接得出某一数，则连续，否则不连续。无穷小定义法：000,11lim10PPfx yfxyooo其中：表示从上述定义可得等价形式：000000lim0(,)(,)1xxyyzzf xx yyf xy
8、o。评 注 由于可微的定义是0000000000lim0(,)(,)0(,)(,)xyxxyyxyzzf xx yyf xyfxfyoffzf xx yyf xyo而221=ooxyo，故它与可微定义是有本质区别的，上述两个数学关系在判断二元函数的连续与可微性方面十分有用。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 35 页 -2009智轩考研数学创高分红宝书系列191 重要性质：a 一切多元初等函数与一元函数一样，在其定义区间内是连续的。b 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数都是连续函数。c 多元初等函数的各阶偏导数仍然是初等函数，故在在其定义区间内也是连续的
9、。1.4.偏导、全导、全微分 偏导：1）定义：,zfx y 在0U P 内有定义且00000(,)(,)limxf xx yf xyx存在，0000000(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx则记为对于分段函数，在分界点时要利用该定义求，在边界点时要利用该定义求左右偏导。2）(,),zfx yxyf和yxf在区域D都连续，则xyyxff，如果xyyxff，则xyf和yxf在区域 D 至少有一个不连续。【例 5】（混合偏导次序不能交换的例子）222222,0,0,0 xyxyxyfx yxyxy解：000022220000,00,0000,0limlim000,0,0000,0
10、limlim00,0,00,limlim00,0,000,0limlim100,0 xxxyyxxxxxxxyyyyfxffxxfyffyxfx yfyxyyfyyyxxyfyfyfyyxfx当当22220000,0limlim0,00,000,0limlim100,00,0yyyyyxxyxyyxfx yfxxyxxyxyfxfxfxxff混合偏导不能交换。读者可以对222222,0 xyfx yxyxyxy求混合偏导，结果是在0,0 点是不连续的。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 35 页 -2009智轩考研数学创高分红宝书系列192 3）本质上是一个求一元函数
11、极值的过程，所以与二重极限无关。4）如果只求,zfx y 在某点00,xy的偏导，不必先求出该函数在任一点,x y 的偏导，而是先代入0 xx 或0yy 后，再对y或 x求偏导。一般地，存在下列关系：00000022000222000,|,|,|x xx xyyfxydfx yxdxfxydfx yxdxfxyfxyfdyxx ydyx如sin22200,1cos0,0,0|1|0yxxxxdfx yxxxyffxxdx全 导（只有多空间曲线才存在全导）(,)zf u v w而()()()uu tvv tww t归结为一元函数求导，符合下列叠加原理：dzf duf duf dwdtu dtv
12、dtw dt，dzdt称为全导。陈氏第 8 技关于显隐式求偏导和等效表达式的结论。如果zf（表达式，表达式，表达式），如1222(,2,)zf xyxx，则用符号 1，2，3 分别代表对第 1、第2、第 3项求偏导，如12312xzfx ffx。注意xxff而11ff。一般情况下zfxx。因为zx为隐式求偏导，表示把复合函数,zfx yx y中的y当成不变量，对 x的偏导，而fx为显式求偏导 表示把复合函数,zfx yx y中的y和,x y 都当成不变量，对 x的偏导。例如：122,xzfx yfxzfx yx yffx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 35 页 -
13、2009智轩考研数学创高分红宝书系列193 123,0zffy fxzfxyxyx yfx只有在明显给出,zfx y 函数形式的情况下，才有zfxx，希望读者体会本章相关例题。等效表达式：12;xyffff只在,zfx y 的形式二元 函数中成立。如函数,zfxy xy xy 虽然 z 也是,x y 的二元函数，但由于它是f的形式三元 函数，故等效表达式不成立。全微分1）定义：如果,zfxx yyfx yA xB yo成立，则称,zfx y 在,x y 点可微，A xB y称为,zfx y 在,x y 点的全微分，记作dz。xyffdzA xB ydxdyf dxf dyxy0000,xyzf
14、xx yyfxyf dxf dyo评 注 1可微的 充要条件是：0000220,lim0+fxx yyfxyA xB yxy；2可微的 充分条件是：0000220,lim0+fxx yyfxyxy；3一般情形下讨论点0,0 的性质。2）形式不变性比如：,zzzzzfu vux yvx ydzdudvdxdyuvxy1.5、二元函数的四性关系（极限存在、连续、偏导及可微的关系）陈氏第 9 技二元函数的四性关系与原创反例。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 35 页 -2009智轩考研数学创高分红宝书系列194 xfXfl必要必要充分充分充分充分必要充分充分二重极限存在连
15、续连续可微可微偏导存在的存在存在二次极限存在连续连续或极限存在偏导存在可微偏导存在且连续评 注 偏导、二次极限是一维问题，而二重极限、连续、可微是二维问题，所以两组问题之间没有任何关系，除非二维问题中含有一维因子，如可微。方向导数则是单方向。为便于比较，再列举一元函数的四性关系充要充分必要充要必要充分必要充分充分必要可微可导可微连续极限存在可导极限存在连续可导连续【例 6】设2,fx yxy，求ffxy，并讨论 0,0 点的可微性与连续性。解：22,0,00,0 0 x yyfx yx yyxy或于是：当0,0yx时，2fyxx y当0,0yx时，2fyxx y当0,0 xy时，20000li
16、m,00limlimlim,0 xxxxxyyxxyxyfxxxxxyyxx极限不存在；当0,=0 xy时，200lim0 xx yfxx；当=0,=0 xy时，200lim0 xx yfxx；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 35 页 -2009智轩考研数学创高分红宝书系列195 故：222222,0,0,0,0,0,0,0,0=0,00,0,0 xyxyxyxyx yx yyxxffyxyxx yxyyx yxyxyx同理：不存在，2222220000,00,0lim00,00,0,0,0,0 xyyyxxyfxyoxyxydffx yfx y不存在，又：即在可微，由前可知在的偏导是不连续的。可见，可微并不能保证偏导连续。【例 7】分析2222,0,0,0 xyxyfx yxyxy的偏导与可微。解：00,00,00,0,00,0lim0;0,0lim000 xyxyfxffyfffxy可见在 0,0 偏导存在；而22220,00,0 xyx yxyffxfyxyxy上式右边并不是22220 xyxy时的高阶无穷小，事实上，22222222200000li
