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1、初升高衔接课数学教案(总共8讲)初高一衔接课：基本运算问题学员姓名：年 级：高一 课 时 数：辅导科目：数学 教师：授课类型衔接课教学目标1.掌握立方和公式、立方差公式、两数和立方公式、两数差立方公式、三个数的和的平方公式；2.掌握因式分解的基本方法，十字相乘法、简单的分组分解法，高次多项式分解(竖式除法)；3.掌握绝对值的意义，化简含绝对值代数式，分段解题与参数讨论；4.会进行分子(母)有理化，多项式的除法(竖式除法)，分式拆分，分式乘方；5.理解二次根式、最简二次根式、同类根式的概念，能运用其性质进行根式的化简与运算；会进行分数指数相的运算.教学内容同步初高一衔接课：基本运算问题(一)绝对
2、值一、知识梳理：数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.aa 0)数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0,即 时=0(6!=0).-a(a 0)个负数比较大小，绝对值大的反而小.(4)个绝对值不等式:|x|0)a x a(a 0)xv或 XQ.两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数。和数b之间的距离.二、例题讲解：例1解不等式：,一1|+归一3|4.解法一：由x l =O,得 x =l；由x-3 =0,得 x =3；若 x 4,即2X+4 4,解得 X0,又 x l.x 0；若 lx 4,即 1 4,1 不存在满足条件的X；若 xN3,不等式可变为(
3、x-l)+(x 3)4,即2 无 一 4 4,解得x 4.又 X 2 3,，x 4.综上所述，原不等式的解为x 4.解法二：如图1.1 1,k-表示x 轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之 间 的 距 离,即|%|=卜一1|;卜一3|表示x轴上点P到坐标为2的点8之间的距离|P 8|,即|P 8|=|x-3|.所以，不等式打一1|+忖-3|4的几何意义即为|P 4|+|P B|4.由|A 8|=2,可知点 P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点。(坐标为4)的右侧.x 4.三、强化练习1 .填空：(1)若 N=5,则 x=；若 凶=|一 4|,则 x=.(2)如果时+网=5,且 4 =-1,则
4、 b=；若|1 一 =2,则 c=.2 .选择题：下列叙述正确的是()(A)若 同=网,则 =2 (B)若 问 问，则 (C)若ab ,则同 5).(二)乘法公式一、知识梳理：我们在初中已经学习过的乘法公式：(1)平方差公式(a+b)(ab)=a2 b2；(2)完全平方公式(ab)2 cr 2ab+b2；我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(3)立方和公式(+人)(。2 ab+b1)=a+Z?3；(4)立方差公式(。一+/)=。3 一83 ；(5)三数和平方公式(a+b+c)2=a2+Z?2+c2+2(ab+bc+ac)；(6)两数和立方公式(。+bY=a，+3crb+3ab2+b3；(7
5、)两数差立方公式(a-bp=。3 -301b+3ab2-b3.二、例题讲解：【公式 1 (+Z?+c)2 =(/+Z?2+c2+2ah+2hc+2ca证明：v(a+h+c)2=(a+Z?)+c2=(6r 4-Z?)2+2(a 4-b)c4-c2=a2+2ab+b2+2ac-2bc+c2=a1+b2+c2+2ab+2bc+2ca.等式成立【例1】计算：(X2-V 2X+1)2解：原式=/+(_&x)+g2=(x2)2+(-V2x)2+(；尸 +2x2(-V2)x+2x2 x；+2x g x(-血x)-x4-242x3+-x2-2亚 x+.3 3 9说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降累或升
6、累排列.【公式2(+Z?)(a2 ab+b?)=a 4-Z?3(立方和公式)证明：(a+b)(a2 ah+h2)=a3 a2h+ah2+a2h ab2+Z?3=+说明:请同学用文字语言表述公式2.【例 2】计算：(2a+b)(4a2-2ab+b2)=8 a3+b3【公式3】(a-b)(a2+ab+b2)=a，b，(立方差公式)1.计算(1)(3x+2y)(9x2-6xy+4y2)=(2)(2x-3)(4x2+6xy+9)=(1 1Y1 2 1 1、(2 3j 4 6 9(4)(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)=2.利用立方和、立方差公式进行因式分解(1)27m3-n3
7、=(2)27m3-n3=8(3)X3-125=(4)m6-n6=【公式 4】(cz+Z?)3=a3+Z?3+3a2b+3ab1【公式 5】(a-b)3 a3-3a2h+3ab2-b3【例3】计算:?1 1 1 9 1 1 9(1)(4+m)(l6-4m+m*-)(2)(m)(m+mn+n)5 2 25 10 4(3)(。+2)(。-2)(Q4+4?-+16)(4)(厂+2xy+y?)(x?xy+y?)解：(1)原式=4?+加3=6 4+/(2)原式=(L)3-(-)3=m3-n35 2 125 8(3)原式=(6 一 由+4/+4 2)=)3 43=。664(4)原式=(X+y)2,-孙+丁
8、产 _ (X+y)(x?-孙+/)广=(X3+y3)2=X6+2dy3+y6说明：(1)在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.(2)为了更好地使用乘法公式，记 住1、2、3、4、20的平方数和1、2、3、4、10的立方数,是非常有好处的.【例4】已 知/一3%+1=0,求/+二 的 值.X11解：x2-3x+l=0.尤。0.t x+=3x1 0 1 1 1 0 0原式=(X+-)(x2-1+)=(X4-)(X+_)2 _ 3=3(32-3)=18X X XX说明：本 题 若 先 从 方 程3x+l=o中解出1的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐.本题是根据
9、条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算.请注意整体代换法.本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举.【例5】已知a+/?+c=0,求a d+1)+)d +L)+c(L+1)的值.b c c a a b解：a+c=0,a+=c,b+c=a,c+a-hb+c,a+c a+b/.原式=a-+h-+c-be ac ahQ(-Q)+b(-b)+C(-C)Q3+/73+dbe ac ab abcv a+/=(Q+)(+。)2 _2 a b =c(c2 3 a b)=c3+3 a b c.-.a3+b3+c3=3abc，把代入得原式=一 即 蛆=一 3a b c
10、说明：注意字母的整体代换技巧的应用.【例 6】计算：(X+1)(X 1)(X2 X +1)(X2+X +1).解法一：原式:(/1)(/+1)2一 2=(x2-l)(x4+x2+l)=X6 1 .解法二：原式二(x+l)(%2 X+1)(X 1)(工2 +X 4-1)=U3+l)(x3-l)=x6-l.【例7】已知 a +c =4,a h-b c +a c =4,求 6+2+。2 的值.解：a2+b2+c2=(a +h+c)2 2(a h+b e +a c)=8.三、强化练习1 .填空：1.1.1 1(1)a h (hH d)()；9 4 2 3(2)(4 m +)2=1 6 m2+4 m+(
11、)；(3)(a +2/7 -c)-+4 Z?+c?+().2 .选择题:(1)若犬+,优+4是一个完全平方式，2则k等于()/、2 、1 2(A)m (B)uT41 2(C)-m 3/、1 2(D)m1 6(2)不论a,b为何实数，4+)2一2。一4 +8的值()(A)总是正数(B)总是负数(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数(三)因式分解一、知识梳理：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变换叫做把这个多项式分解因式.因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.因式分解的方法较多，除了初中
12、课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.1、公式法2、分组分解法能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式，如+加6 +。+6既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.二、例题讲解：例1 用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1)8 +x3(2)0.1 2 5-2 7 分析：(1)中，8 =2 3,Q)中0.1 2 5 =0.5、2 7尸=(3份3.解：8 +x3=23+/=
13、(2 +x)(4-2 x+x2)(2)0.1 2 5 -2 7户=0.53-(3 b)3=(0.5-3/?)0.52+0.5x 3 b+(3 b)2=(0.5 -3)(0.2 5 +1.5 9 及)说明：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用基的运算法则，如8 a 3序=(2)3,这里逆用了法则(。公”=屋 夕；(2)在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号.【例2】分解因式:(1)3。3。一8山4(2)/-a b(分析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现/-h6,可看着是(/)2 3 3)2或()3 (/)3.解：(1)3a3
14、。8仍4=3b(/27/)=3b(a-3b)(a2+3ab+9b2).(2)a7 ab6-a(a6 b6)-a(c +M)(a3 Z?3)=a(a+b)(a2-ab+b2)(a -b)(a2+ab+b2)=a(a+b)(a -b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)【例3】把2-10，少+5公-法 分解因式.分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按龙的降帚排列，然后从两组分别提出公因式2a与-匕，这时另一个因式正好都是x-5y,这样可以继续提取公因式.解：2ox 10ay+5勿 Z z x =2a(x 5y)h(x 5y)=(x-5y)(2a-b)说明：用分组分解法，一
15、定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试.【例4】把。伙/一 屋)一(4一)(4分解因式.分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式.解：ah(c2 d2)(a2 b1)cd=abc1 abd2 a1 cd+b2cd=(abc2 a2 c z/)+(b2 cd ahd2)=ac(bc-ad)+bd(be-ad=(b e -adac+bd)说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律.由此可以看出运算律在因
16、式分解中所起的作用.【例5】把/一 方+做分解因式.分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是X+门把第三、四项作为另一组，在提出公因式。后，另一个因式也是x+y.解：x2 y2+ax+ay (x+y)(x y)+a(x+y)=(x+y)(x y+a)【例6】把2V+4孙+2：/8z2分解因式.分析：先将系数2提出后，得到f+2肛+y24Z2,其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式.解：2x2+4xy+2y2-8z2-2(x2+2xy+y2 4z2)=2Kx+y)2 (2z=2(x+y+2z)(x+y 2z)说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式.一、知识梳理：3、十字相乘法1.X?+(+q)x+g型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1:(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.x2+(+7)
