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1、目 录一、函数与极限.21、集合的概念.22、常量与变量.32、函数.43、函数的简单性态.44、反函数.55、复合函数.66、初等函数.67、双曲函数及反双曲函数.78、数列的极限.89、函数的极限.910、函数极限的运算规则.11一、函数与极限1、集合的概念般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互 异 性（给定集合中的元素是互不相同的）。比 如“身材较高的人 不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、表示集合，用小写拉丁字母a、b、c表示集合中的元素。如果a 是集合A 中的元素，就说a
2、 属于A,记作：a G A,否则就说a 不属于A,记作：a e A。、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或 N+。、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法、列举法：把集合的元素一列举出来，并 用“”括起来表示集合、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系、子集：一般地，对于两个集合A、B,如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说 A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A C B（或
3、 B 卫A）。相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的 元 素 完 全 样，因此集合A 与集合B 相等，记作A=B。、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在个元素属于B 但不属于A,我们称集合A 是集合B 的真子集。、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记 作 0,并规定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：、任何个集合是它本身的子集。即 A C A、对于集合A、B、C,如果A 是 B 的子集，B 是 C 的子集，则 A 是 C 的子集。、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真
4、子集”和“等集”。集合的基本运算、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与 B 的并集。记作AU B.（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即 AU B=x Ix S A,或 x C B。、交集：般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与 B 的交集。记作AriB。即 AC1B=（x lx G A,且 x dB 。、补集：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。补集：对 于 个集合A,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集。简称为
5、集合A 的补集，记作CuA。即 CuA=xlxG U,且 x e A).集合中元素的个数、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。、用 card来表示有限集中元素的个数。例如A=a,b,c,则card(A)=3。、一般地，对任意两个集合A、B,有card(A)+card(B)=card(A U B)+card(A C l B)我的问题：I、学校里开运动会，设 人=xlx是参加百米跑的同学 ,B=xlx是参加二百米跑的同学 ,C=xlx是参加四百米跑的同学。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含
6、义。、AUB：、APB.2、在平面直角坐标系中，集合C=(x,y)ly=x表示直线丫=*,从这个角度看，集合D=(x,y)l方程组：2x-y=l,x+4y=5表示什么？集合C、D 之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。3、已知集合人=11*3,B=xl(x-l)(x-a)=O。试判断B 是不是A 的子集？是否存在实数a 使 A=B 成立？4、对于有限集合A、B、C,能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢？5、无限集合人=1,2,3,4,n,B=2,4,6,8,2n,),你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？2、常量与变量(D、变量的定义：我
7、们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变 量 注：在过程中还有种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。(2)、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示闭区间aWxWb a,ba,bl-1-a b x开区间ax+8)：表示不小于a 的实数的全体，也可记为：aW xV+8：(-8,b)：表示小于b
8、的实数的全体，也可记为：-8 x V b；(-8,+8)：表示全体实数，也可记为：-8 X 0.满足不等式|x-a|V 3 的实数x 的全体称为点a 的8邻域，点。称为此邻域的中心，6称为此邻域的半径。2、函数(1)、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定个数值时，量y按照定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值(或因变量)，变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母 仔、F 表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用
9、不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。(3)、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们
10、经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：Ay3、函数的简单性态、函数的有界性：如果对属于某一区间/的所有X值总有|f(x)|WM成立，其中M是一个与X无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。注：个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数C O S X在(-8,+8)内是有界的.(2)、函数的单调性：如果函数,(X)在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x,及-当
11、时，有 了()0,4 w 1)LZi：|o，a):不论x为何值,y总为正数；b):当 x=0 时，y=l.对数函数1y=loga x(aO,aw l)J 以 =10g a A/i f!、7=log 1 xa):其图形总位于y轴右侧，并过(1,0)点b):当al时,在区间(0,1)的值为负：在区间(-,+8)的值为正：在定义域内单调增.、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及仃限次的函数复合所产生并且能用一塞函丁 =xa为任意实数=产尸X班令 a=m/na):当m为偶数n为奇数时,y 是偶函数；b):当叫n都是奇数时,y 是奇函数;c):当m奇n偶时,y 在(-N时 的 切/不 等
12、 式 卜 一 区 都成立，那末就称常数a是数列演的极限，或者称数列*收敛于a .记作：蚂冬”或乐告（-o o）注：此定义中的正数e只有任意给定，不等式k*-OR 才能表达出工”与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数e是有关的，它是随着的给定而选定的。、数列的极限的几何解释：在此我们可能不易理解这个概念，卜面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。数列*极限为a的一个几何解释：将常数a及数列卜町，”，/,在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的e邻域即开区间（a-e ,a+e）,如下图所示：_ _ _ _产 者7=.a询 XN+1 狐+3阳+2 x2 x3 x因不
13、等式k*一 归 与 不 等 式“一/N时，所有的点4都落在开区间（a-e,a+e）内，而只有有限个（至多只有N个）在此区间以外。注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。、数列的有界性：对于数列*久，若存在着正数M,使 得 切*都满足不等式|W M,则称数列X*是有界的，若正数M不存在，则 可 说 数 列 是 无 界的。定理：若 数 列/收 敛，那末数列*一定有界。注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。例：数 列1.-1,1,T,，（-1）-,-是有界的，但它是发散的。9、函数的极限前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作类特殊的
14、函数，即自变量取1-8内的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情况：a）：自变量无限增大：b）：自变量无限接近某定点x o,如果在这时，函数值无限接近于某 常数A,就叫做函数存在极值。我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢？下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念！、函数的极限（分两种情况）a）:自变量趋向无穷大时函数的极限定义：设 函 数 尸=/（*）,若对于任意给定的正数e （不论其多么小），总存在着正数X,使得对于适合 不 等 式 的 一 切 x,所对应的函数值,0）都满足不等式那末常数A 就叫做函
15、数丁=/（）当X-8时的极限，记作：x-下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比下：数列的极限的定义函数的极限的定义存在数列与常数A,任 给 正 数 e 0,总可找到一正整数N,对于n N 的所有O*都满足L L e 则称数列*,当 x-8时收敛于A记：l i m力=工存在函数丁=/与 常 数 A,任给一正数e 0,总可找到一正数X,对于适合I D 工 的-切 x,都满足 一 K ,函数，一当x 8时的极限为A,记：l i m/（x）=-4X T9-1 40 A-卜y0-5K从上表我们发现了什么？试思考之b）:自变量趋向有限值时函数的极限。我们先来看一个例子.例：函数 X-1，当 x-1 时
16、函数值的变化趋势如何？函数在x=l 处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的范围内，都有无穷多个点，为此我们把X-1 时函数值的变化趋势用表列出,如下图：x|-0.9 0.99 0.999 Ml 1,001 1.01 1.1 1.99 1,999-I2I 2,001 2.01 2.1 从中我们可以看出x-l 时，/(X)-2.而且只要x 与 1有多接近，就与2 有多接近.或说：只要 了 与 2 只差一个微量e ,就一定可以找到一个6,当卜一 1 8 时 满 足 火-6 定义：设函数了。)在某点x0的某个去心邻域内有定义，且存在数A,如果对任意给定的e(不论其多么小)，总存在正数8,当00：b):写出不等式卜一 L e ；c):解不等式能否得出去心邻域0V 卜一而 0,总 能 找 出 8,当 0 卜一飞1 8 时，成立，因此lim/(x)=J410、函数极限的运算规则前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。(1),函数极限的运算规则若已知 X-Xo(或 X-8)时，,(X)T A g(X)3 B.lim(
