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1、由怪才考研学校有情提供高 等 数 学 公 式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分:(fgx”=sec 2 x(ctgx)=-C S C 2 X(secK)=sec x-tgx(escX)=-C SC x-etgx(a x)=a In a(log“X)=x In a(arcsinX)=(arccosK)=(aretgx)=-1(arcctgx)=+X2 smx=-7,1 +2-u2COSX=-7,1+M2X1+Mj tgxdx=-In|cosx|+CJJ ctgxdx=In|sin A|+Cfj sec xdx=In|secX+tgx|+c Jj esc xdx=In|cscx-ctg.V
2、 1+C 1r dx 11 .ardgJ a +x a-+C JarJ 产 _ LlnJ x 2 _ 0 2 2 ax-aJ+cx+aJf dx 1 .J-a;2-_-x-T2 =-2-a-ina xa-x+c Jc dxJ 4 a1-x2X一+C Jdx c、_L Ccos 21 oCV AC/XX Jdxc 2 xdx+Csin 2X Jagxsec x tgx dx=sec x+CC S C X ctgxdx=-esc x+Ca x dxa x+CIn ashxdx=chx+cchxdx=shx+caxV x 2ln(x+x 2 a2 )+C a 2/=J sin xdx=J cos x
3、dx=0 0j -x/x 2+a 2 dx=y/x2+a 2+J V x 2-a 2 dx=V x 2-a 2-n-1/1 n-2nln(x+7 x 4-a 1)+CIn|x+V x 2-6/2|+C一些初等函数:两个重要极限:双曲 正 弦:shx=12双曲余弦:Mx 二1-2双曲正切：thX=1 I chx ex+e xarshx=ln(x+V x2+1)archx=ln(x+y/x2-)arthx=L n 42 -x三角函数公式：诱导公式：limK TOsin xlim(1+-)x=e=2.7182818284A-*00 X59045.t g由怪才考研学校有情提供-a-sinacosa-t
4、ga-ctga90-acosasinactgatga900+acosa-sina-ctga-tga180-asina-cosa-tg-ctga180+a-sina-cosatgactga270-a-cosa-sinactgatga270+a-cosasina-ctga-tga360-a-sinacosa-tga-ctga360+asinacosatgactga和差角公式:和差化积公式:sin(a 土夕)=sin a cos fl cosa sin psin a +sin 尸=2 sin cossina-sin/?=2cosysina-02a-ft2cos(a 1)=cosa cos，千 sin
5、 a sin pl+rgafgpctg(a+/?)=J-cosa+cos=2cosO；，cos。2 ctg/3ctgacosa-cos/7=2sin sina-p2倍角公式:sin 2a=2 sin a cos acos 2a=2 cos2 a -1 =1 -2 sin2 a =cos2 a -sin2 actg2acig 2a-12ctga_ 2tgaIg2a=1-吆a半角公式：sin 3a=3sina-4sin?acos 3a=4cos%-3cosaig3a=3恨。一/屋。1-31g 2a1 -co sa1 -co sasin ct1 +cosasin a 1 +cosa正弦定理：，_=上
6、=，=余弦定理：c2=a2+b2-2abcosCsin A sin 8 sinCa吆万=反三角函数性质:arcsin x=-arccosx2乃arctgx=-arcctgx高阶导数公式莱布尼兹(L eib n iz)公式:=0二 +中 +uv(n)中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理:f(.b)-f(a)=f)(b-a)柯西中值定理:/3)-叽/“0F(b)-F(a)F)当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率:2由怪才考研学校有情提供弧微分公式：d s =l +尸 入 其中=t g a平均曲率灭=网.Aa:从M点到M 点，切线斜率的倾角变化量；As：MM弧长。AvM点 的 曲
7、 率/对 警d a =|y,|杰-J(l+y-)3直线：K =0;半径为的圆：K =.a定积分的近似计算:b ,_矩形法：7(x)；2(yo+y|+y“_|)a梯形法：j/(x)=与 ；()，0+%)+丫 1+.+%_ 1a抛物线法:7(x)X+笫)+2(y2+汽+y”-2)+4(X+丫 3 +y“T)J 3 定积分应用相关公式:功：W=Fs水压力：F =p-A引力：尸=女警 水 为 引 力 系 数_ 1 b函数的平均值：y=-J/(x)d x均方根:空间解析几何和向量代数:空间2 点的距离：d =M M 2 1=J*2 f)2 +()，2 -M )2 +(0 -z 了向量在轴上的投影P r
8、j.而=|洞.c os夕，碇 而 与 轴的夹角。P r j“(4+&2)=P r j4+P r 加 2a-b=同小k。$。=。也+a 色.是，一 个数量两向量之间的夹角e os。=。也+。也:。也+a：+42 收+么2 +包2i Jc =a x h=ax ax2 bya,，同=同阳 由。.例:b l线速度：v=w x r.%出向量的混合积M应 =0 x B),1 =bx byg J代表平行六面体的体积b.=依 斗 同 c osa,a 为锐角时,3由怪才考研学校有精提供平面的方程：1、点法式：4（X 7。）+8（y-7 0）+C（z-ZQ）=0,其 中 万=A,8,C,M 0（/，打，2 0）2
9、、一般方程：Ax +By +C z +D =03、截距世方程：上+3+工=1a h c平面外任意一点到该平 面的距离：d=麻“+与。+&。+|y/A2+B2+C2x =x0+m t空间直线的方程：土=竺=三二红=，其 中5 =，,”，？;参数方程：y=y.+n tm n pZ=Zo+p/二次曲面：1、椭球面：+-y+7-=1a b c2、抛物面：匚+=z,（p,g同号）2P 2q3、双曲面：单叶双曲面：+4-=1a2 b c双叶双曲面：与-耳+乌=1（马鞍面）a b c-多元函数微分法及应用人2 4 八 j&dz,du,du,du,全俄分：dz=dx+dy du=dx+dy+dzdx dy d
10、x dy dz全微分的近似计算：M,x dz=fx(x,y)x+fy(x,y)Ay多元复合函数的求导法：z=.f(K)dz dz du dz dvdt du dt dv dtz=fu(x,y),v(x,y)dz _&du dz dvdx du dx dv dx当 =(x,y),i，=u(x,y)时,.du.du.au=dx+aydx dy隐函数的求导公式：隐函数F(x,y)=0,隐函数尸(x,y,z)=0,d v A x +dx d y隐函数方程组：,a n瓦a 空=_,dx Fydz F、-,dx 尸(x,y,w,v)=0G(x,y,w,v)=0i G(F,G)J 5(x,v)SJ/a(F5
11、(-aV-a xa v-5 ydx ox rv oy Fy ax&F、，,-“a y Fzj/(EG)a(“,v)1 e(F,G)J d(u,x)i a(r,G)所一加笆加5 F一a n竺a 微分法在几何上的应用:4由怪才考研学校有情提供x =(p(t)空间曲线y =W(f)在点”(看,外4)处的切线方程：中=与2=噢小 力(九)W&)0(。)Z=c t)(t)在点M处的法 平 面 方 程:)(x -/)+&)(y -%)+)(z -Z。)=0若 空 间 曲 线 方 程 为:则 切 向 量 了=。3 f rc c|G(x,y,z)=0 Gv G:G.Gx Gx Gy曲面尸(x,y,z)=0上一
12、点M(x0,y0,z0)则:1、过此点的法向量:=Ft(x0,y0,z0),Fv(x0,y0,z0),F.(x0,y0,z0)(2、过此点的切平面方程：/,；(xo,yo,zo)(x-xo)+Fv(xo,yo,zo)(y-yo)+F.(x(),yo,zo)(z-z0)=03、过此点的法线方程：一；0一；-匕_ =_K.(X o，,o，Z o)fy(XQ,y0,z()(X o，y 0,Z。)方向导数与梯度：函数z=/(X,y)在一点Mx,y)沿任一方向,的方向导数为：g=g e o s。+g s in 9c l o x d y其中夕 为 兀 轴到方向/的转角。函数z=/(x,y)在一点p(x,y
13、)的梯度：gradf(x,丫)=白 +善 o x d y它与方向导数的关系是:M =gradf(x,y)-e,其中G =cos:+s i n(p-j,为/方向上的o l单位向量。冬 是8蹊5(九)在/上的投影。d l多元函数的极值及其求法:即%,先)=人(%,)=0,令：九(%,%)=4 4(/，,0)=8,f y y(x09y0)=C心 炉 0时 吗 叱 漕4 0,(%,y。)为极小值则r 4C-B2 0 1 1-1,无极值A C-B2=0 1 1 ,不确定重积分及其应用：J J./(,y)d x d y =(r c o s 0,r s m 0)r d r d 0D D 曲面 z =/(x,
14、y)的面积 A =J J，+停)+(，)d x d yx p y)d a J”，P(Q)d b平面薄片的重心：5 =丝工=与-，歹=二=%-M p(x,y)dcr M J p(x,y)dbD D平面薄片的转动惯量：对于x轴/、=/卜”*,)，。，对于y轴/丫 =x2p(x,y)d aDD平面 薄 片(位于x o y平面)对z轴上质点”(0,0,a),(a 0)的引力：F=&,其中:F.=川。”工.D(x2 4-y2+a2)2柱面坐标和球面坐标:月=川 小)的D(x2+y2+a2)Ri JJ 0 c bD(x2+y2+cJ)5由怪才考研学校有情提供x=rcos。柱面坐标:，y=rsin。，y,z
15、)dxdydz=F r,0yz)rdrdOdz,z=z“Q其中：F(r,0,z)=f(r cos0,rsin09z)x=rsin 夕 cos球面坐标：(y=rsinsint dv=rd(p rsn(p dO dr=r2 sin(pdrd(pdOz=rcQS(p2n/r r(tp,O)jjj/(x,y9z)dxdydz=sx(pdrd(pdO=dOd(p F(r,(p,G)r2 sx(pdrQQ o o o重心：加其中=T=g j转动惯量：Ix=Jjj(y2+z2)pdv,ry=jjj(x2+z2)pdv,1.=Jjj(x2+y2)pdvnon曲线积分：第一类曲线积分(对弧氏的曲线积分)：匆(x
16、,y)在心上连续，L的参数方程为*=以，(a 4/V ),则:J7(x,y)ds=(0+y/2(t)d!(a /3)L a特殊情况：x=：y=9(f)第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为卜 o=0。(XQ.JO)曲面积分：6由怪才考研学校有情提供对面积的曲面积分：y*)d s=j j/x,y,z(x,y)y j+z (x,y)+z J (x,y)d x d yz%对坐标的曲面积分:JJP(X,y,z)d y d z +Q(x,y,z)d z d x +R(x,y,z)d x d y,其中：Iz)d x d y =y,z(x,y)d x d y,取曲面的上侧时取正号：j|p(x,y,z)d y d z.=土 J，P x(y,z),y,z d y d z,取曲面的前侧时取正号；s%JJ。*,V,z)d z d x=，Q x,y(Z,X),z d z d xf 取曲面的右侧时取正号。I/两 类 曲 面 积 分 之 间 的 关 系:+Qd z d x +Rd x d y =JJ(P co s a +0 co s /?+R co s 7 )d s高斯公式：=Pdydz+Qdzdx
