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1、考研数学经典例题(理工类)第一章函数、极限与连续 1 知识要点精讲【例 题1】x-0时，y =s in，是x xA无穷大 B无穷小 C非无穷大且在(0 D在(0,1 上有界【例题2】Nsm(x-2)以下哪个区间有界?_ _ _ _ _ _ _ _I)x(x-l)(x-2)2A (-1,0)B (0,1)C (1,2)D(2,3)【例题3】设函数/(x)在x =0点的左右极限均存在，则下列等式中不正确的是AC既 国)=既B ;吧/(门=!如“X)D 则=圾“力【例题4】设lim 华】=一1,则函数/(x)在点x =a处.(x-a)A可导且B可导且取得极大值C不可导但可取得极小值 D不可导且不可取
2、得极值V 1 +2X-1【例题5 求极限lim -：；a。In(2 co s x +s in x)【例题6 下列结论正确的是A两个数列 为,都发散，贝乂怎+2 必发散B已知lim。“=0，对任何数列 a必有limanbn=0 一 8 /J00C两个数列 4 ,也,都发散，贝仇 必发散D 已知lim a也=0,且lim”,=8,当lim a“存在时，必有lim%=0“T O O woo/I oo 8【例题7】设lim(a“+1 a“)=0,则数列 4 收敛,如果_ _ _ _ _ 一 8 A ,是单调数列 B a“是有界数列C%,，%,+)都是单调数列 D%,，%,+都收敛1 (1、【例题 8】
3、设4 0,a“+|=an+,求lim a“21 a j f/(.v2-t dt【例题9】设 广(x)连续，“O)=O,/(O)HO,求1而%-【例 题1 0】讨论函数的间断点类型1-ex【例 题1 1】设函数“X)在 句 上 连 续，f(a)=f(b)=O,且/(。)/3)0,证明:士伍,使得/=0【例 题1 2】设“X)为不恒等于零的奇函数，且/(0)存在，则函数g(x)=4 XA在尤=0处左极限不存在 B x=0是跳跃间断点C 在x=0处右极限不存在 D x=0是可去间断点 2典型题型与例题分析题型一求函数极限类 型1求“工 一”型的极限0 8 z g ./3 x Jl+x【例 题1 3】
4、lim-=_ _ _ _ _x f x+x-2s in x -s in(s in x)|s in x 例题 1 4 lim =-乂=_ _ _ _ _ _ _X TO%4 Jl+t a nx Jl+s inx【例题 1 5】h m-3 -=_1。x ln(l+x)-x2xx-1【例 题1 6 lim-=_ _ _ _ _ _ _I X in%【例题 1 7】lim +l=_一&+s i n x1 (2+cosxY【例 题18】lim-1=_,so d I 3 JV _ sinx【例题 19 l i m -匕、:/-77T*T。“In(1+x+r)+In(1-x+炉【例题2 0 设limx-0=
5、5,求l i m 3。x22 1 13sint+t cos-dtJo t J【例题21 lim-：-一、T。(1+cosx)J。ln(l+r)力n(lex+x+【例题 22 lim.V V x2+x sin x-l【例 题23 已 知 曲 线y=f(x)在x=l处 的 切 线 方 程 为y=x-l求TO x2 In(cos x)类型2“求 8-8,08,0有 界 函 数”型的极限【例题 24】lim V 7(JX3+2-&-2)=/【例题 25】lim sin Inf 1 +-sinlnf 1 +=_iI I x j I X)【例题 26】lim|-一|=_ _ _ _ _ _ _1。I x
6、ex-1 J【例题27】设 x)在x=a的某邻域内可导，且 a)w 0,求极限(4J,力类型3求“广,0。,8。”型的极限【例题28】求极限lim(sin2+cos)X X J【例题29】limX TO【例题3 0】limA-0+lanx类型4求分段函数的极限【例题3 1 x 表示不超过x的最大整数，求常数a的值，使得!i吗f 2In 1 +e*_、J-1In 1 +e”7+n x 存在，并求出此极限题型二求数列极限【例题3 2】设数列乙，笫满足lim x.y“=0,则下列断言正确的是nA 若无“收敛，则券收敛 B 若尤.无界，则”必有界C若五有界，则以必为无穷小 D 若-为无穷小，则 以必为
7、无穷小X,【例题3 3】求极限lim t a n（工+2n 8（4 n）【例题3 4】设“X）在x =a的某邻域内可导，且求lim 一 8【例题3 5】求极限l i m1/一+-一+一|noo n+1 n+7 1 +2【例 题3 6】求极限limk/+/+1 广 公./()【例题3 7】设数列%“满足0 cx i c%,x“+=s in匕（=1,2,）1）证明lim%存在，并求该极限;2)计算lim7 例题3 8 设数列%满足0%,引用=1 一（=1,2,）1)求 l 一im8 xn；2)计算 lim /,%+!.一 8 Y 一 V-人人”+1【例题3 9】求极限l i m住 义 8 V n题
8、型三求解含参变量的极限【例题4。】已知“X）已吧尸，求J0 x）公【例题 41设 0 a b,求T8 题 型 四 已 知极限求待定参数、函数值和导数及函数/+/7 Y 4-h【例题42若 lim 土 上=5,求。力的值-1-X【例题43已知lim 2%-布一+-0 ,求力的值【例题44已知/（在x =0 处 连 续，且 吟【例 题 45】设“X）在 x =0的某领域内二阶可导，且/（0），0,1盘 斗。=0,又已知=2,求/(O)J (O)的值l i m&=W O,求的值D+xa-s in x题型五无穷小比较【例题46 已知当x 7 0时，e -（or?+以+1）是T2的高阶无穷小，则。=_
9、_ _,b=【例题47 当尤70+时，与 等 价 的 无 穷 小 量 是A l-e石 B I n +x c A/T+VX-1 D 1-c os V x-4 x题型六判断函数的连续性与间断点的类型【例题48】函数/(x)=lim一)的 间 断 点 为 _ _ _ _ _ _i+x-n,、2cos ,k|1【例题50设g(x)在x=0的某领域内连续，且lim(二1 二a,已知2 X,x 0在x=0处连续，求 的 值ln(e+x)【例题51】讨论函数/(x)=Ign、+(x 0)在定义域内的连续性题型六 确定方程/(x)=0的根【例 题 52】证明方程In x=9”cos2其&在区间(0,+8)内有
10、且只有两个不同实根题 型 七 综 合 题【例 题 53】已知“X)是三次多项式，且有lim 小i =l,求lim Ax 2a x-2a Xf4ax-4。X-3a【例 题 54 设 函 数y=y(x)满 足 方 程/+)0=0(0),求攵=lim)和h=lim(y-kx)【例 题 55 设 连 续 函 数x)在 l,+oo)单 调 减 小，且/(x)0,若-J i /（x）公，证明：lim”“存在A=1【例题56】设 例（工）=%+炉+靖（=2,3,）,证明:1）方程力（x）=l在 0,+8）内有唯一的实根天2）求limxn习题精选一一、填空题3（ax+bxV若a0,匕0均为常数,则lim -=
11、_ _ _ _ _XTO 27 J J已知当光一 0时，（1 +奴，3-1与c os x-l是等价无穷小，则常数a =/（尤）+a s in x3.设/（另 有连续的导数，0）=0/=,若函数尸（x）=X 在A,x =Ox =0处连续，则4=1+仲L已知 lim二、-s-i-n-2-x匕 J3 3A-1则lim上f(x)=X TO x215./(x)=(x l)eM的第二间断点是设/(x)1 尻在(-8,+8)内连续,且 lim /(x)=0,则 lim /(x)=7.1 1 e”-1lim-L-dt=D s in厂与 tr 八/、J l+s in尤+s in 2x-（a +Q s in x）
12、一 口 “、一 一，、一 ,设 x）=-一一-且点1=0是/（x）的可去间断点，则s in xoc,=二、选择题1.设/(尤)=力,g(x)=d+/,则当尤7 0 时，/(x)是g(x)的【：A等价无穷小 B同阶但非等价的无穷小 C高阶无穷小 D低阶无穷小2.设“X)有连续的导数，/(O)=O,f(O)*O,F(x)=(x2-z2)/(r)J r,且当x-O时，尸(X)与X”是同阶无穷小，则 攵等于【：A 1 B 2 C 3 D 4(ex+e tan x3.函数/(%)=在卜匹幻上的第一类间断点是1=：x ex-eA 0 B 1 C-D 2 24.设函数“外 在(-8,+8)内单调有界，七 为
13、数列，下列命题正确的是:A若/(%)收敛,贝乂Z 收敛 B若%单调,则 /(%)收敛C若.%收敛，则/(七)收敛 D若 x单调，则%收敛5.设 x),g(x)定义在(一1,1)上，且都在x=O处连续，若%，则【：2,x=0A limg(n)=O,且g(O)=OC limg(x)=0,且g，(0)=2三、解答题1,求limln 0 +x)+ln(1)0 l-cosx+sin-x4.Jl+x，-轨+2sin，x3.求hm-so tan x1，工 丫5.求lim 3er-1-2X TO7.求 1-f-tz2 11n(14-6fx)(Q HO)B limg(x)=0,且g(O)=lD limg(x)=
14、1,且 g(0)=0/1 2 4.1 C O S X2.求hm z-z101 sin x x.+.J1+九一11+x4.求 hm-10 ex-JIncos(x-l)6.求hm-.if 1 .7 T1-sm-x28.求 lim x-x2 Inf 1 +19.求 lim s in(/rjn)”-oo /10.求 limX TO1 2+ex s in xr+l +ex田/11.求 lgn(l+a)(l+/)(l+/)0 +/),其中同O i-ViT?13.求 limx+elx1+dA14.设 x)=1 11高+高菽一%（一）”；）,补充定义1）使在上1连续215.设 x,y)=1 .KX1-ysin
15、 y _ y1 +xy a rc t a n x,x 0,y 0,求:1)g(x)=lim/(x,y);2)lim g(x)X T+8 XT+O16.设函数/（x）在区间（-8,+8）内有定义，在点x =0连续，且满足函数方程 2x)=/(x)ex证 明:f(x)=f(O)ex17.求函数/(x)=,尢(万+2x)0 x -118.已 知 无）在 句 上 连 续，且 对 于 任 意 的 斗 。向，总 存 在 马 ，使|/（）|=:/（内）|，证明：至 e a,，使/4）=019 .设“工）在 0,上连续（”为大于1 的整数），且/（0）=/（），证明：毛 e 0,-1,使 7 =/信 +1)2
16、 0.设 可表示不超过的最大整数，/（%）=0l-a13.%,x=0 x,x 0/兀、/、115.D g(x)q-7TXarctan x7t1 6.【提示】/(%)=f;2)2x-Ae 2,令X7 8,利用连续性即得x1 7.1 =0 为 跳 跃 间 断 点；x=l 为 第 二 类 间 断 点；x=-色 是 可 去 间 断 点；2jr%=一而一(左=1,2 一)为第二类间断点18.【提示】设|/(x)|在 不 处取最小值，证明最小值为零19.【提示】作辅助函数/(无)=龙)一/(尤+1)20.lim/(x)=2,lim/(x)不存在；【提示】利用不等式2 x-l 2 x 2%及夹逼准则第 二 章 导 数 与 微 分 1知识要点精讲【例 题1设y =x，求y【例题2】求由方程/+孙 e =0所确定的隐函数的导数y【例题3】设函数y =g(x)有 方 程*+l n =O所确定，则y (0)=【例题4】设y =e*s i n x ,求严)2典型题型与例题分析题型一利用定义解题【例题5】已知/(x)在x =a处可导，则1加/(二/(二 =：1 0 xA ,B 21f C 0 D _ f(2a)
