广东省河源市紫市中学2021年高二数学理上学期期末试卷含解析

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1、广东省河源市紫市中学2021年高二数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若,则角B的值为 ( )A B C或 D或参考答案:D2. 的导函数图象如图所示,则的增区间为( )A. B. C. D.参考答案:B略3. 平面上有四个互异的点A、B、C、D,满足()()0,则三角形ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形参考答案:B4. 观察下面的演绎推理过程,判断正确的是 ()大前提:若直线a直线l,且直线b直线l,则ab.小前

2、提:正方体ABCDA1B1C1D1中,A1B1AA1,且ADAA1.结论:A1B1AD.A推理正确B大前提出错导致推理错误C小前提出错导致推理错误D仅结论错误参考答案:B5. 若命题“”为真命题,则 ( )A 均为真命题 B中至少有一个为真命题 C中至多有一个为真命题 D均为假命题参考答案:C略6. 如果直线ax+2y+2=0与直线3xy2=0平行,则a=()A3BC6D参考答案:C【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】计算题【分析】由于直线ax+2y+2=0与直线3xy2=0平行,故它们的斜率相等,故有=3,由此解得a的值【解答】解:由于直线ax+2y+2=0与直线3xy2=0平行

3、,故它们的斜率相等,故有=3,解得 a=6,故选C【点评】本题主要考查两直线平行的性质,两直线平行,斜率相等,属于基础题7. 等比数列的各项均为正数,且= ( )A、10 B、12 C、6 D、5参考答案:D略8. 若对于函数图象上任意一点处的切线,在函数的图象上总存在一条切线,使得,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D. 参考答案:A【分析】转化条件得,使得成立,利用基本不等式求得的取值范围后即可得解.【详解】函数,函数,要使过曲线 上任意一点的切线为,在函数 的图象上总存在一条切线 ,使得,则即,当且仅当时等号成立,使得等式成立,所以,解得:或.故选:A.【点睛】本题考查了导数的

4、几何意义和基本不等式的应用,考查了转化化归思想,属于中档题.9. 设、为平面,m、n、l为直线,则能推m是()A,=l,mlB=m,C,mDn,n,m参考答案:D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确,根据平面与平面的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确,根据垂直于同一直线的两平面平行,以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面,可知选项D正确【解答】解:对于A,=l,ml,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件m?,故不正确;对于B,=m,而与可能平行,也可能相交,则m与不一定垂直,故不正确;对于C,m,而与可能平行,也可能相交,则m与不一定

5、垂直,故不正确;对于D,n,n,?,而m,则m,故正确;故选:D【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力,属于基础题10. 已知抛物线的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点,则的最小值为( )A. 2B. C. D. 参考答案:C【分析】先记点到抛物线准线的距离为,根据抛物线的定义,将化为,再设直线的方程为,因此求的最小值,即是求的最小值,由此可得,直线与抛物相切时,最小,联立直线与抛物线方程,结合判别式,即可求出结果.【详解】记点到抛物线准线的距离为,由抛物线定义可得,因此求的最小值,即是求的最小值,设直线的方程为,倾斜角

6、为易知,因此当取最小值时,最小;当直线与抛物线相切时,最小;由可得,由得,即,所以,即.因此,的最小值为.故选C【点睛】本题主要考查抛物线定义、以及直线与抛物线位置关系,熟记定义以及抛物线的简单性质即可,属于常考题型.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为,对任意,则的解集为_参考答案:(,+)12. 已知方程x2 - ( 1 - i )x + m + 2i = 0有实根,若m ? R,求m= 。参考答案:-613. 已知动点在椭圆上,若点坐标为,且则的最小值是 * . 参考答案:14. 现有3个大人,3个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边都不能没有大人,则不

7、同的合影方法有_种(用数字作答)参考答案:360根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论:第一类:2个小孩在一起:,第二类:小孩都不在一起:,故不同的合影方法有216+144=360种.15. 平面内一动点到两定点的距离之和为10,则动点的轨迹方程是 .参考答案: 16. 已知数列满足,若,且,则中,值为1的项共有 个.参考答案:33略17. 方程(为参数)的曲线的焦距为 参考答案:略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本题12分)某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如图所示.(1)

8、请先求出频率分布表中、位置相应的数据,再在答题卷上完成下列频率分布直方图;(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?参考答案:(1)由题可知,第2组的频数为 人, 第3组的频率为, 频率分布直方图如下: (2)因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:人, 第4组:人, 第5组:人, 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.19. 设正数数列的前项和,满足()求数列的通项公式;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (

9、)设,记数列的前项和为,求参考答案:解析:()当时, 2分整理得, 4分, 6分当时,解得, 8分数列是以为首项,以为公差的等差数列,10分(), 12分14分20. 已知f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx(a0),h(x)=f(x)g(x),f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx(a0),h(x)=f(x)g(x),(1)若a=3,b=2,求h(x)的极值点;(2)若b=2且h(x)存在单调递减区间,求a的取值范围参考答案:【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性【分析】(1)利用导数求单调性,在确定极值(2),函数h(x)存在单调递减区间,只需h(x)0有解,即当x

10、0时,则ax2+2x10在(0,+)上有解,分以下:(1)当a0,(2)当a0情况讨论即可【解答】解:(1)a=3,b=2,令h(x)=0,则3x2+2x1=0,x1=1,x,则当0时,h(x)0,则h(x)在(0,)上为增函数,当x时,h(x)0,则h(x)在(上为减函数,则h(x)的极大值点为;(2)b=2,函数h(x)存在单调递减区间,h(x)0有解即当x0时,则ax2+2x10在(0,+)上有解(1)当a0时,y=ax2+2x1为开口向上的抛物线,y=ax2+2x10在(0,+)总有解故a0符合题意;(2)当a0时,y=ax2+2x1为开口向下的抛物线,要y=ax2+2x10在(0,+

11、)总有解,则=4+4a0,且方程ax2+2x1=0至少有一个正根,此时,1a0综上所述,a的取值范围为(1,0)(0,+)21. 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为,设点.(1)求该椭圆的标准方程;(2)若是椭圆上的动点,求线段中点的轨迹方程;(3)过原点的直线交椭圆于点,求面积的最大值。参考答案:解:(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),由x=得x0=2x1y=y0=2y又点P在椭圆上,得, 线段PA中点M的轨迹方程是.(3)

12、当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此ABC的面积SABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(,),则,又点A到直线BC的距离d=,ABC的面积SABC=于是SABC=由1,得SABC,其中,当k=时,等号成立.SABC的最大值是. 22. 设平面直角坐标系xOy中,曲线G:(1)若a0,曲线G的图象与两坐标轴有三个交点,求经过这三个交点的圆C的一般方程;(2)在(1)的条件下,求圆心C所在曲线的轨迹方程;(3)若a=0,动圆圆心M在曲线G上运动,且动圆M过A(0,1),设EF是动圆M在x轴上截得的弦,当圆心M运动时弦长|EF|是否为定值?请说明理由参考答案:【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】(1)利用待定系数法,求经过这三个交点的圆C的一般方程;(2)由(1)可知圆心,设圆心C(x,y),则有消去a得到圆心C所在曲线的轨迹方程;(3)利用勾股定理,计算,即可得出结论【解答】解:(1)令x=0,得抛物线与y轴交点是(0,a2);令y=0,则,所以x2+ax2a2=0,得抛物线与x轴交点是(2a,0),(a,0)设所求圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0则有所以圆C的方程为x2+y2

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