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1、2021年山东省淄博市博山区育才中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等差数列的前项和为，取得最小值时的值为（A） （B） （C） （D） 参考答案：A 2. 设集合，则（ ）A(4,+) B(,1 C(1,4 D(2,4) 参考答案：C因为，所以，因此，故选C. 3. 已知函数f（x）=sinxcosx（0），若方程f（x）=1在（0，）上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（）A（，B（，C（，D（，参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】化简f（x）的解析式，作出f
2、（x）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=1与y=f（x）在（0，+）上的交点坐标，则介于第4和第5个交点横坐标之间【解答】解：f（x）=2sin（x），作出f（x）的函数图象如图所示：令2sin（x）=1得x=+2k，或x=+2k，x=+，或x=+，k?Z，设直线y=1与y=f（x）在（0，+）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则xA=，xB=，方程f（x）=1在（0，）上有且只有四个实数根，xAxB，即，解得故选B4. 若，则A. B. C. D.参考答案：A5. 设等比数列an的前n项和为Sn，若S10:S51:2，则( ) A. B. C. D. 参考答案：D略6. 已
3、知二次函数的图象如图1所示 , 则其导函数的图象大致形状是 （ ） 参考答案：B设二次函数为，由图象可知，对称轴，所以，选B.7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) (A) (B) (C) (D)参考答案：B略8. 已知函数处连续，则a的值是 （ ） A2 B3 C2 D4参考答案：D9. 设与 都是非零向量，则“”是“向量与 夹角为锐角”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：B10. 下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A B C D参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4
4、分,共28分11. 从1=1，14=（1+2），14+9=1+2+3，14+916=（1+2+3+4），推广到第n个等式为 参考答案：14+916+（1）n+1?n2=（1）n+1?（1+2+3+n）考点：归纳推理 分析：本题考查的知识点是归纳推理，解题的步骤为，由1=1，14=（1+2），14+9=1+2+3，14+916=（1+2+3+4），中找出各式运算量之间的关系，归纳其中的规律，并大胆猜想，给出答案解答：解：1=1=（1）1+1?114=（1+2）=（1）2+1?（1+2）14+9=1+2+3=（1）3+1?（1+2+3）14+916=（1+2+3+4）=（1）4+1?（1+2+3+
5、4）所以猜想：14+916+（1）n+1?n2=（1）n+1?（1+2+3+n）故答案为：14+916+（1）n+1?n2=（1）n+1?（1+2+3+n）点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）12. 给定方程：（）x+sinx1=0，下列命题中：该方程没有小于0的实数解；该方程有无数个实数解；该方程在（，0）内有且只有一个实数解；若x0是该方程的实数解，则x01则正确命题是 参考答案：考点：命题的真假判断与应用 专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质
6、，可得该方程存在小于0的实数解，故不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故正确；根据y=（）x1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x1时方程没有实数解，当1x0时方程有唯一实数解，由此可得都正确解答：解：对于，若是方程（）x+sinx1=0的一个解，则满足（）=1sin，当为第三、四象限角时（）1，此时0，因此该方程存在小于0的实数解，得不正确；对于，原方程等价于（）x1=sinx，当x0时，1（）x10，而函数y=sinx的最小值为1且用无穷多个x满足sinx=1，因此函数y=（）x1与y=sinx的图象在0，+）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx1
7、=0有无数个实数解，故正确；对于，当x0时，由于x1时（）x11，函数y=（）x1与y=sinx的图象不可能有交点当1x0时，存在唯一的x满足（）x=1sinx，因此该方程在（，0）内有且只有一个实数解，得正确；对于，由上面的分析知，当x1时（）x11，而sinx1且x=1不是方程的解函数y=（）x1与y=sinx的图象在（，1上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x01故答案为：点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题13. 已知P是以F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，若PF1
8、F2=，PF2F1=，且cos=，sin(+)=，则此椭圆的离心率为 参考答案：14. 函数的图象在点处的切线方程为 参考答案：y=4x-315. 计算： 参考答案：略16. 设是单位向量，且的最大值为_.参考答案：17. 已知向量，向量，用，表示向量，则= 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数，（其中）（）求函数的极值；（）若函数在区间内有两个零点，求正实数a的取值范围；（）求证：当时，（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828）.参考答案：解： （），（，），由，得，由，得，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的
9、极小值为，无极大值3分（）函数，则，令，解得，或（舍去），当时，在上单调递减；当时，在上单调递增函数在区间内有两个零点，只需即故实数a的取值范围是 7分（）问题等价于由（）知的最小值为设，得在上单调递增，在上单调递减，=，故当时，12分略19. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）写出曲线C的极坐标方程；（2）设点M的极坐标为（），过点M的直线l与曲线C相交于A，B两点，若|MA|=2|MB|，求AB的弦长参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（1）由曲线C的参数方程先求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线
10、C的极坐标方程（2）先求出直线l的参数方程，与曲线C的直角坐标方程联立，得t2+2（cossin）t2=0，由此能求出AB的弦长【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数）曲线C的直角坐标方程为x2+y24y=0，曲线C的极坐标方程为24sin=0，即曲线C的极坐标方程为=4sin5分（2）设直线l的参数方程是（为参数）曲线C的直角坐标方程是x2+y24y=0，联立，得t2+2（cossin）t2=0，t1t2=2，且|MA|=2|NB|，t1=2t2，则t1=2，t2=1或t1=2，t2=1，|AB的弦长AB|=|t1t2|=310分20. （本小题满分13分）已知过点（1,1）且斜率为（
11、）的直线与轴分别交于两点，分别过作直线的垂线，垂足分别为求四边形的面积的最小值.参考答案：设直线l方程为,则P（，0），2分从而PR和QS的方程分别为，5分又，又四边形PRSQ为梯形9分四边形PRSQ的面积的最小值为 13分21. 设函数f(x)=x3x2+ax，aR（）若x=2是f（x）的极值点，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（）已知函数g(x)=f(x)ax2+，若g（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围；（）设f（x）有两个极值点x1，x2，试讨论过两点（x1，f（x1），（x2，f（x2）的直线能否过点（1，1），若能，求a的值；若不能，说明理由参考答案：【考点】利用导数研
12、究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（I）f（x）=x2x+a，由x=2是f（x）的极值点，可得f（2）=0，解得a=2代入f（x）进而得出单调性（II）=+ax+，g（x）=x2（1+a）x+a=（x1）（xa）对a与1的大小关系分类讨论可得a的取值范围（III）不能，原因如下：设f（x）有两个极值点x1，x2，则f（x）=x2x+a有两个不同的零点0，解得a，且x1，x2，为方程x2x+a=0的两根则x1+a=0，可得=x1a，可得f（x1）=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a由此可得：过两点（x1，f（x1），（x2，f（x2）的直线方程为：y=x+a进而判断出结论【解答】解：（I），aRf（x）=x2x+a，x=2是f（x）的极值点，f（2）=42+a=0，解得a=2代入f（x）=x2x2=（x+1）（x2），令f（x）=0，解得x=1，或x=2令f（x）0，解得x2或x1，f（x）在x（，1），（2，+）时单调递增；令f（x）0，解得1x2，f（x）在x（1，2）时单调递减（II）=+ax+，g（x）=x2（1+a）x+a=
