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1、2021年山东省东营市中加国际留学生学校高二数学文期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列为等差数列，若且它们的前项和有最大值，则使得的的最大值为（ ）A.11 B.19 C.20 D.21参考答案：B略2. 给出四个命题：平行于同一平面的两个不重合的平面平行； 平行于同一直线的两个不重合的平面平行；垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； 垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4参考答案：B略3. 直线y=x是曲线y=a+lnx的一条切线，则实数a的值为（）A
2、1BeCln2D1参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出曲线的导数，利用导数为1，求出切点坐标，然后求出a的值【解答】解：曲线y=a+lnx的导数为：y=，由题意直线y=x是曲线y=a+lnx的一条切线，可知=1，所以x=1，所以切点坐标为（1，1），因为切点在曲线y=a+lnx上，所以a=1故选：D4. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）A. B. C. D. 参考答案：B试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B
3、.【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法5. 下列命题中是假命题的是（ ）A. B C D 参考答案：B6. 如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率为( )ABCD参考答案：C【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出椭圆的标准方程，由题意结合等差中项的定义建立关于a、b、c的等式，结合b2=a2c2消去b得到关于a、c的二次方程，解之可得c、a的比值，即得此椭圆的离心率【解答】解：设椭圆的方程
4、为椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，22b=2c+2a，可得b=（a+c）b2=a2c2，2=a2c2，化简得5c2+2ac3a2=0等式两边都除以a2，得5e2+2e3=0，解之得e=（1舍去）即椭圆的离心率为故选：C【点评】本题给出椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，求椭圆的离心率着重考查了等差中项的概念和椭圆的定义与标准方程等知识，属于基础题7. 函数，若其导数的图象如图所示，则函数的极小值是（ ）A. a+b+cB. 8a+4b+cC. 3a+2bD. c参考答案：D【分析】根据导函数的图象，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极小值【详解】f（x）=3ax2+2bx，根据导
5、函数的图象，可知0，2是方程3ax2+2bx=0的根，当x0或x2时，f（x）0，函数为减函数，当0x2时，f（x）0，函数为增函数，x=0时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（0）=c，故选：D【点睛】本题考查导函数的图象，考查极值的计算，属于基础题8. 对于上可导的任意函数，若满足，则必有A. B.C. D.参考答案：C略9. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列， 则（ ）A B C D参考答案：B10. 已知a,b,c,d成等比数列，则a+b,b+c,c+d A成等比数列 B成等差数列 C既成等差数列又成等比数列 D既可能成等差数列又可能成等比数列 参考答案：二、 填空题:本大题共7
6、小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系xoy中，点，若在曲线上存在点P使得，则实数a的取值范围为 参考答案： 14 15或 1612. 如上图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为_.参考答案：略13. 如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=图象下方的点构成的阴影区域向D中随机投一点，则该点落入中E的概率为 。参考答案：14. 甲、乙两队各有n个队员，已知甲队的每个队员分别与乙队的每个队员各握手一次 （同队的队员之间不握手），从这n2次的握手中任意取两次记事件A：两次握手中恰有3个队员参与若事件A发生的概率P，则n的最小值是_参考答案：
7、2015. 若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是_参考答案： 解析：渐近线方程为，得，且焦点在轴上16. 复数满足，则的虚部是 参考答案：117. 若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为参考答案：3【考点】简单线性规划【专题】数形结合；综合法；不等式【分析】画出满足条件的平面区域，由z=3x+y得：y=3x+z，显然直线过（1，0）时，z最小，求出即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=3x+y得：y=3x+z，显然直线过（1，0）时，z最小，z=3，故答案为：3【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题三、 解答题：本大题共5小题，共
8、72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）设为实数，函数。(1)若，求的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集。参考答案：（1）若，则1分或2分 3分（2）当时，5分 当时，7分 综上8分（3）时，得，当时，；10分当时，0,得：11分讨论得：当时，解集为;12分当时，解集为;13分当时，解集为.14分19. 数列满足。（）若是等差数列，求其通项公式；（）若满足， 为的前项和，求.参考答案：（I）由题意得. -得，是等差数列，设公差为d，d=2， ， ， （）， 又，数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4， =
9、略20. 在梯形ABCD中ABCD，AD=CD=CB=2，ABC=60，平面ACFE平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=2（）求证：BC平面ACFE；（）求二面角BEFD的余弦值参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）推导出ACBC，由此能证明BC平面ACFE（）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，推导出DGH是二面角BEFD的平面角，由此能求出二面角BEFD的平面角余弦值【解答】证明：（）在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=a，ABC=60，四边形ABCD是等腰梯形，且DCA=DAC=30，DCB=120，ACB=DCBDCA=90，AC
10、BC，又平面ACEF平面ABCD，交线为AC，BC平面ACFE解：（）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，由题意得DE=DF，DGEF，BC平面ACFE，BCEF，又EFFC，EFFB，又GHFB，EFGH，DGH是二面角BEFD的平面角在BDE中，DE=2，DB=2，BE=2，BE2=DE2+DB2，EDB=90，DH=，又DG=，GH=，在DGH中，由余弦定理得cosDGH=，即二面角BEFD的平面角余弦值为21. （1）在区间0，10中任意取一个数，求它与4之和大于10的概率 （2）在区间0，10中任意取两个数，求它们之和大于9的概率参考答案：【考点】几何概型【分析】（1）由
11、它与4之和大于10的x满足x+410，解得：6x10，所求概率为P=；（2）事件对应的集合是=（x，y）|0x10，0y10，对应的面积是s=100，事件对应的集合是A=（x，y）|0x10，0y10，x+y9，求得阴影部分的面积，由几何概型的概率公式，根据等可能事件的概率得到P=【解答】解：（1）在区间0，10中任意取一个数x，则它与4之和大于10的x满足x+410，解得：6x10，所求概率为P=；（2）试验发生包含的事件是在区间0，10上任取两个数x和y，事件对应的集合是=（x，y）|0x10，0y10对应的面积是s=100，满足条件的事件是x+y9，事件对应的集合是A=（x，y）|0x1
12、0，0y10，x+y9，如图对应的图形（阴影部分）的面积是sA=10099=，根据等可能事件的概率得到P=；它们之和大于9的概率22. 在平面直角坐标系xOy中，直线L与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点且?=4（1）证明直线L必过一定点，并求出该定点（2）求线段AB的中点P的轨迹方程（3）求三角形AOB面积最小时，直线AB的方程参考答案：【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标（
13、2）假设线段中点坐标，利用中点坐标公式，寻找坐标之间的关系即可求得（3）求出AB，原点到直线l的距离，可得面积，即可求出三角形AOB面积最小时，直线AB的方程【解答】（1）证明：设l：x=ty+b，代入抛物线方程y2=4x中得，y24ty4b=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4t，y1y2=4b，=，令b24b=4，b24b+4=0，b=2，直线l过定点（2，0），若，则直线l必过一定点（2）解：设P（x，y）由（1）得：y1+y2=4t，y1y2=4bb=2得x1+x2=4t2+4，x=2t2+2，y=2t 消去t得P点的轨迹方程为：y2=2x2（3）解：AB=，原点到直线l的距离（式子中k为t）当k=0时，三
