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1、 高三数学第二次模拟试卷 高三数学第二次模拟试卷一、单选题一、单选题1已知集合，则（）ABCD【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】【解答】由已知可得故答案为：B.【分析】根据交集的定义可得答案。2设，则复数（）ABCD【答案】C【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由得设复数，则，所以，所以，所以解得所以故答案为：C.【分析】由已知利用复数的四则运算法则、共轭复数的定义即可得出方程组，求解可得答案.3已知双曲线的离心率是它的一条渐近线斜率的 2 倍，则（）ABCD2【答案】A【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由题意得，解得，即.故答案为：A.【分析】由
2、题意得，求解可得 c，a 的关系，即可得到答案.4若，则（）AB0C1D【答案】D【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】因为，所以，所以.故答案为：D.【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 tana 的值，再利用正弦二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简即可得答案.5几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【答案】C【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理【解析】【解答】如图，连接.因为为中点，且，所以四边形为矩形，所以
3、，所以或其补角为异面直线与 BD 所成的角.设圆 O 的半径为 1，则.因为，所以.在直角中，得.所以，所以异面直线与 BD 所成角的余弦值为.故答案为：C.【分析】先作出异面直线所成角的平面角，然后结合余弦定理求解即可得答案.6的展开式中的常数项为（）A-81B-80C80D161【答案】A【知识点】组合及组合数公式；二项式定理【解析】【解答】，所以展开式中的常数项为故答案为：A【分析】根据二项式定理以及组合数的运算性质即可求解出答案.7将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，若恰好在函数的图像上，则的最小值为（）ABCD【答案】D【知识点】余弦函数的单调性；函数 y=Asin（x+）的图
4、象变换【解析】【解答】由题意知，点在的图象上，所以，所以，点向右平移个单位长度得到点.因为在函数的图象上，所以，解得，所以，或.因为，所以.故答案为：D.【分析】由余弦求出点 P 的坐标，再求出点 P的坐标，代入函数 g(x)的解析式，根据余弦函数的性质化简即可求解出 的最小值.8已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（）ABCD【答案】B【知识点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】因为函数满足，所以的图象关于直线对称，又在区间上单调递增，所以在上单调递减，因为，即，平方后解得.所以的取值范围为.故答案为：B.【分析】先求出函数 f(x)的对称轴，再根据单调性和对称
5、性可知，自变量离对称轴越远，其函数值越大，由此结论列式可解得 的取值范围.二、多选题二、多选题9某车间加工某种机器的零件数与加工这些零件所花费的时间之间的对应数据如下表所示：个10203040506268758189由表中的数据可得回归直线方程，则以下结论正确的有（）A相关系数BC零件数的中位数是 30D若加工 60 个零件，则加工时间一定是【答案】A,B,C【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程【解析】【解答】由表中的数据，得，将，代入，得，选项均正确，的中位数是 30，选项 C 正确；当时，所以加工时间约是，而非一定是，选项 D 错误故答案为：ABC【分析】根据表格中的数据算出，然后
6、算出，再逐项进行判断，可得答案。10已知直线，圆，则下列结论正确的有（）A若，则直线 恒过定点B若，则圆可能过点C若，则圆关于直线 对称D若，则直线 与圆相交所得的弦长为 2【答案】A,C,D【知识点】直线与圆的位置关系【解析】【解答】当时，点恒在 上，A 正确；当时，将点代入，得，该方程无解，B 错误；当时，直线 恒过圆的圆心，C 符合题意；当时，与相交所得的弦长为2，D 符合题意.故答案为：ACD【分析】当时，直接验证可判断 A；将点代入求解可判断 B；由直线 恒过圆的圆心可判断 C；由弦长公式求解可判断 D。11已知数列满足，记的前项和为，则（）ABCD【答案】B,C,D【知识点】等差数
7、列的前 n 项和；数列的求和；数列递推式【解析】【解答】因为，所以当为奇数时，；当为偶数时，.所以，选项错误；又因为，所以，B 符合题意；C 符合题意，D 符合题意.故答案为：BCD【分析】根据题意，求出 n 为奇数和 n 为偶数时 an的关系式，依次代入选项的 n 计算即可得答案.12已知实数满足，则（）ABCD【答案】B,C,D【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性；基本不等式【解析】【解答】由得，又，所以，所以，所以，选项错误；因为，所以，即，所以，选项正确，因为，所以，所以.令，则，所以在区间上单调递增，所以，即，又，所以，即，D 符合题意.故答案为：BCD【分析
8、】由题意可知，根据指数幂的性质可知，所以，即可判断 A是否正确；对 使用基本不等式可知，两边取对数即可判断 B、C 是否正确；根据题意可知，所以.令，再根据导数在函数最值中应用，可知 f(b)f(0)=0，可得，由此即可判断 D 是否正确.三、填空题三、填空题13已知向量，且，则实数 .【答案】-1【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】由题意得，因为，所以，解得.故答案为：-1【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得的值.14若直线是曲线的一条切线，则实数 .【答案】-1【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】
9、【解答】因为，所以，令，得，所以切点为，代入，得.故答案为：-1.【分析】求出原函数的导函数，由导函数值等于 1 求得切点横坐标，进一步得到切点坐标，代入切线方程求解出 b 的值.15已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与交于两点（点在轴上方），过分别作 的垂线，垂足分别为，连接.若，则直线的斜率为 .【答案】【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质【解析】【解答】如图，由题意得，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，故，所以直线的斜率为.故答案为：.【分析】由题意画出图像，根据抛物线定义及几何关系计算即可求出直线的斜率.16三棱锥的平面展开图如图所示，已知，若三棱锥的四个顶点均在球的表面
10、上，则球的表面积为 .【答案】【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】由已知得，三棱锥中，且与平面所成的角为，构造如图所示的正三棱柱，底面正三角形的边长为 2，高为，则该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球.设，分别为三棱柱上下底面三角形的中心，则为的中点，因为，所以球的半径，所以球的表面积为.故答案为：.【分析】根据题意构造底面正三角形的边长为 2，高为的正三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，球心即为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据条件求半径，再根据球的表面积公式即可求出答案.四、解答题四、解答题17已知正项等比数列的前项和为，且（1）求的通项公式；（2）记，求的前项和【答案】（
11、1）解：由题意知设等比数列的公比为，则，解得或（舍去），所以（2）解：由（1）可得，所以，所以即的前项和【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前 n 项和；数列的求和【解析】【分析】(1)根据题设条件，利用等比数列的通项公式列出方程，解出公比，即可求解出 的通项公式；(2)先由（1）求 Sn，再化简，采用裂项相消法求其前 n 项和.18在中；内角的对边分别为，已知.（1）求 A；（2）若，点为的中点，求的最大值.【答案】（1）解：在中，由正弦定理得.因为，所以.又，所以，所以.因为中，所以.（2）解：在中，由及余弦定理，得，所以，所以，当且仅当时等号成立.又点为的中点，所以，所以，即 AD
12、的最大值为.【知识点】正弦定理；余弦定理【解析】【分析】(1)由已知结合正弦定理及进行化简可求 tanA，进而可求 A 的值；(2)由已知得，然后结合向量数量积性质及余弦定理及基本不等式可求 bc 的范围，即可求解出 的最大值.19如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，侧面是矩形，为的中点，.（1）证明：平面；（2）点在线段上，若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明：因为矩形中，为的中点，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以平面 BDM.因为平面 BDM，所以，又，所以平面.（2）解：由（1）知两两相互垂直，所以以 D 为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为，令，连接，
13、则，所以.设平面的一个法向量为，则，得，所以，令，得，所以，由（1）知是平面的一个法向量，所以，故二面角的余弦值为.【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)由题可得 ，利用线面垂直的判定定理可证明 平面；(2)以 D 为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法求出二面角 M-DB-N 的余弦值.20足球比赛淘汰赛阶段常规比赛时间为 90 分钟，若在 90 分钟结束时进球数持平，需进行 30 分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：两队各派 5 名队员，双方
14、轮流踢点球，累计进球个数多者胜；如果在踢满 5 轮前，一队的进球数已多于另一队踢满 5 轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第 4 轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为 2：0，则不需要再踢第5 轮了）；若前 5 轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第 6 轮起，双方每轮各派 1 人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.（1）假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左中右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左中右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有的可能性将球扑出，若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前三次
15、扑出点球的个数的分布列和期望：（2）现有甲乙两队在半决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需进行“点球大战”来决定胜负，设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.（i）若甲队先踢点球，求在第 3 轮结束时，甲队踢进了 3 个球（不含常规赛和加时赛进球）并胜出的概率；（ii）求“点球大战”在第 6 轮结束，且乙队以 5：4（不含常规赛和加时赛得分）胜出的概率.【答案】（1）解：依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数的可能取值为.，则 X 的分布列为X0123X 的数学期望.或（易知）.（2）
16、解：（i）记事件“甲队先踢点球，在第 3 轮结束时，甲队踢进了 3 个球（不含常规赛和加时赛进球）并胜出为事件 A，意味着甲队先踢点球，前三轮点球乙队没进球，甲队前三轮踢进 3 个点球，对应的概率为（ii）记“点球大战在第 6 轮结束，且乙队以（不含常规赛和加时赛得分）胜出”为事件 B，意味着前 5 轮结束后比分为，第 6 轮乙队进球甲队没进球，其对应的概率为【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】(1)先求出门将每次可以扑出点球的概率，然后由独立重复试验的概率公式可得门将在前三次扑出点球的个数的分布列和期望；(2)(i)由题意：甲队先踢点球，前三轮点球乙队没进球，甲队前三轮踢进 3 个点球，利用独立重复试验的概率公式可得甲队前三轮踢进 3 个点球对应的概率；(ii)由题意：前 5 轮结束后比分为 4：4，第 6 轮乙队进球甲队没进球，然后利用独立重复试验的概率公式计算可得胜出的概率.21已知函数.（1）求的单调区间；（2）证明：.【答案】（1）解：函数，定义域为，（i）当时，单调递增；（ii）当时，时，单调递减；时，单
