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1、1 第3章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布032 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布3 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.1多维随机变量及其联合分布一、多维随机变量二、联合分布函数三、二维离散型随机变量及其联合分布律四、二维连续型随机变量及其 联合密度函数4 第3章 多维随机变量及其分布一、随机试验定义1线性代数线性代数5 第3章 多维随机变量及其分布一、随机试验例1解线性代数线性代数6 第3章 多维随机变量及其分布一、随机试验线性代数线性
2、代数7 第3章 多维随机变量及其分布一、随机试验定义2线性代数线性代数8 第3章 多维随机变量及其分布为随机向量 的（联合）分布函数.设 为二维随机变量,对任意的 称二、联合分布函数 由定义可知,对平面上任一点 ,定义3线性代数线性代数9 第3章 多维随机变量及其分布为随机变量 的(联合)分布函数.定义4 设 为 维随机变量,对任意的 称二、联合分布函数定义4线性代数线性代数10 第3章 多维随机变量及其分布联合分布函数的性质:当固定 时，是变量 的单调非减函数;当固定 时，是变量 的单调非减函数;二、联合分布函数定理 1123线性代数线性代数11 第3章 多维随机变量及其分布对任意的 ,有矩
3、形公式当固定 时，是变量 的右连续函数;当固定 时，是变量 的右连续函数;二、联合分布函数45如图所示:联合分布函数的矩形公式线性代数线性代数12 第3章 多维随机变量及其分布设二维随机变量 仅可能取有限个值，则称 为二维离散型随机变量.设二维随机变量 为二维随机变量 的联合分布律.其中三、二维离散型随机变量及其联合分布律定义 5定义 6线性代数线性代数13 第3章 多维随机变量及其分布二维随机变量 的联合分布律的表格法表示.三、二维离散型随机变量及其联合分布律线性代数线性代数14 第3章 多维随机变量及其分布三、二维离散型随机变量及其联合分布律例2解线性代数线性代数15 第3章 多维随机变量
4、及其分布(2)三、二维离散型随机变量及其联合分布律线性代数线性代数16 第3章 多维随机变量及其分布联合概率密度函数两个常见的二维连续型分布边缘概率密度函数四、二维连续型随机变量及其联合密度函数线性代数线性代数17 第3章 多维随机变量及其分布则称 为二维连续型随机变量，称 为二维连续型随机变量 的联合（概率）密度函数.设二维随机变量 的联合分布函数 为 ,如果存在二元非负实值函数 ,使得对任意的 有定义7 四、二维连续型随机变量及其联合密度函数18 第3章 多维随机变量及其分布四、二维连续型随机变量及其联合密度函数定义8 线性代数线性代数19 第3章 多维随机变量及其分布设 为二维连续非负性
5、规范性型随机变量 的联合密度函数，则四、二维连续型随机变量及其联合密度函数（联合密度函数的性质）定理 2线性代数线性代数20 第3章 多维随机变量及其分布（二维连续型随机变量的性质）为连续函数,在 的连续点处有任意一条平面曲线 ,有 ;对 平面上任意一区域 ,有四、二维连续型随机变量及其联合密度函数定理 3123线性代数线性代数21 第3章 多维随机变量及其分布设二维随机变量 的联合密度函数为常数 四、二维连续型随机变量及其联合密度函数例3其余0101OPTION0202OPTION0303OPTION求联合分布函数线性代数线性代数22 第3章 多维随机变量及其分布(1)由密度函数性质所以 .
6、(2)由已知得四、二维连续型随机变量及其联合密度函数解线性代数线性代数23 第3章 多维随机变量及其分布四、二维连续型随机变量及其联合密度函数 (3)如右图所示:线性代数线性代数24 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布25 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.2常用的多维随机变量一、二维均匀分布二、二维正态分布26 第3章 多维随机变量及其分布设二维随机变量 的联合密度函数为则称随机变量 服从区域 上的二维均匀分布.其中 是平面 上的某个区域,为区域
7、的面积,一、二维均匀分布定义 1线性代数线性代数27 第3章 多维随机变量及其分布设 服从区域 上的均匀分布,(1)因区域 的面积为 1,故由定义得联合密度函数为:计算概率 一、二维均匀分布例1解1写出 的联合密度函数 2线性代数线性代数28 第3章 多维随机变量及其分布(2)所求概率为 一、二维均匀分布线性代数线性代数29 第3章 多维随机变量及其分布定义 2如果 的联合密度函数为并记为则称 服从参数为 的二维正态分布,其中二、二维正态分布线性代数线性代数30 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条
8、件分布二维随机变量函数的分布31 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.3边缘分布一、边缘分布函数二、二维离散型随机变量的边缘分布律三、二维连续型随机变量的边缘密度函数四、随机变量的相互独立性32 第3章 多维随机变量及其分布称设二维随机变量 的联合分布函数为为随机变量 的边缘分布函数;为随机变量 的边缘分布函数.一、边缘分布函数定义1线性代数线性代数33 第3章 多维随机变量及其分布设二维随机变量 的联合密度函数为 分别计算 边缘分布函数.一、边缘分布函数例1线性代数线性代数34 第3章 多维随机变量及其分布在第一节例4中已得 的联合分布函数，一、边缘分布函数解线性代数线性代
9、数35 第3章 多维随机变量及其分布在第一节例4中已得 的联合分布函数，故 与 的边缘分布函数分别为一、边缘分布函数解线性代数线性代数36 第3章 多维随机变量及其分布定义 2，称概率设二维离散型随机变量 的联合分布律为为随机变量 的边缘分布律，记为 ，并有二、二维离散型随机变量的边缘分布律线性代数线性代数37 第3章 多维随机变量及其分布在第一节例3中计算 与 的边缘分布律。直接在 联合分布律表格中计算行和、列和得二、二维离散型随机变量的边缘分布律例2解线性代数线性代数38 第3章 多维随机变量及其分布 所以 的边缘分布律为 所以 的边缘分布律为二、二维离散型随机变量的边缘分布律线性代数线性
10、代数39 第3章 多维随机变量及其分布则随机变量 的边缘密度函数为类似地，随机变量 的边缘密度函数为 设二维随机变量 的联合密度函数为三、二维连续型随机变量的边缘密度函数定义 3线性代数线性代数40 第3章 多维随机变量及其分布试求第一节例3中随机变量 的边缘密度函数.首先确定 的值域 ,当 时 所以 的边缘密度函数为:三、二维连续型随机变量的边缘密度函数例3解线性代数线性代数41 第3章 多维随机变量及其分布然后，确定 的值域 ,当 时 所以 的边缘密度函数为:三、二维连续型随机变量的边缘密度函数线性代数线性代数42 第3章 多维随机变量及其分布设 ,则,由边缘密度函数的定义得三、二维连续型
11、随机变量的边缘密度函数定理 1所以 ，同理 .证明线性代数线性代数43 第3章 多维随机变量及其分布已知 ,求的密度函数 .由定理1知 ，又由正态分布的线性变换仍是正态分布知 三、二维连续型随机变量的边缘密度函数例4解所以线性代数线性代数44 第3章 多维随机变量及其分布 都有 设 为二维随机变量，若对任意的 与 相互独立.四、随机变量的相互独立性成立，则称随机变量定义 4线性代数线性代数45 第3章 多维随机变量及其分布的一切公共连续点上都有相互独立的充分必要条件是对任意的 设 为二维连续型随机变量，那么，与相互独立的充分必要条件是在四、随机变量的相互独立性定理 2设 为二维离散型随机变量，
12、那么，与都有 成立.定理 3线性代数线性代数46 第3章 多维随机变量及其分布四、随机变量的相互独立性例5线性代数线性代数47 第3章 多维随机变量及其分布（1）由二维离散型随机变量边缘分布律定义得所以 与 的边缘分布律分别为四、随机变量的相互独立性解线性代数线性代数48 第3章 多维随机变量及其分布在第一节例 4 中，是否相互独立？为什么？不相互独立.的联合密度函数及边缘密度函数如下四、随机变量的相互独立性例6解线性代数线性代数49 第3章 多维随机变量及其分布在它们的公共连续点 处,因此 不相互独立.四、随机变量的相互独立性线性代数线性代数50 第3章 多维随机变量及其分布设 ,那么 与
13、相互独立的充分必要条件是充分条件 当 时所以，对任意 ，都有因此 相互独立.四、随机变量的相互独立性定理 4证明线性代数线性代数51 第3章 多维随机变量及其分布所以必要条件 当 相互独立时,对任意的 都有 特别地，当 时四、随机变量的相互独立性 该等式也成立,线性代数线性代数52 第3章 多维随机变量及其分布四、随机变量的相互独立性对多维随机变量独立性的定义如下：定义 5 的一切公共连续点上成立。都有那么就称随机变量 连续型随机变量有设 为 维随机变量，若对任意的相互独立。线性代数线性代数53 第3章 多维随机变量及其分布对多维随机变量独立性的定义如下：四、随机变量的相互独立性，都有相互独立
14、的充要条件是在当 为离散型随机变量 时，随机变量当 为连续型随机变量 时，随机变量的一切公共连续点处都有相互独立的充要条件是对任意的成立.线性代数线性代数54 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布55 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.4条件分布一、二维离散型随机变量的条件分布律二、二维连续型随机变量的条件密度函数56 第3章 多维随机变量及其分布设二维离散型随机变量 的联合分布律为条件 下 的条件分布律为当 时，在给定对固定的 ,记在给定条件 下的随
15、机变量为 ,其值域记为一、二维离散型随机变量的条件分布律定义1线性代数线性代数57 第3章 多维随机变量及其分布条件分布律 满足分布律的两条性质：一、二维离散型随机变量的条件分布律0101OPTION0202OPTION线性代数线性代数58 第3章 多维随机变量及其分布设二维离散型随机变量 的联合分布律条件 下 的条件分布律为当 时，在给定对固定的 ,记在给定条件 下的随机变量为，其值域记为一、二维离散型随机变量的条件分布律定义1续线性代数线性代数59 第3章 多维随机变量及其分布设 为二维连续型随机变量 的联合密度函数,当 时，在给定条件 下 的条件密度函数为对固定的 ，记在给定条件 下的随
16、机变量为 二、二维连续型随机变量的条件密度函数其值域记为定义2线性代数线性代数60 第3章 多维随机变量及其分布条件密度函数 满足密度函数的两条性质:二、二维连续型随机变量的条件密度函数12线性代数线性代数61 第3章 多维随机变量及其分布密度函数为当 时，在给定条件 下 的条件其值域记为二、二维连续型随机变量的条件密度函数对固定的 ，记在给定条件 下的随机变量为 ,同理可以验证条件密度函数 满足密度函数的 两条性质.线性代数线性代数62 第3章 多维随机变量及其分布设 为二维连续型随机变量 的联合密度函数,分布函数为当 时，在给定条件 下 的条件当 时，在给定条件 下 的条件分布函数为二、二维连续型随机变量的条件密度函数定义 3线性代数线性代数63 第3章 多维随机变量及其分布在第一节例4中求条件分布函数 .写出给定条件 下 的条件值域 ;求条件密度函数 ;写出给定条件 下 的条件值域 及 ;二、二维连续型随机变量的条件密度函数例10101OPTION0202OPTION0303OPTION0404OPTION线性代数线性代数64 第3章 多维随机变量及其分布 例4中随机变量的联合密
