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1、7.1 7.1 解析变换的特性解析变换的特性7.1.1 解析变换的保域性解析变换的保域性7.1.2 解析变换的保角性解析变换的保角性7.1.3 单叶解析变换的共形性单叶解析变换的共形性第七章第七章 共形映射共形映射2022/8/171定理定理7.1(保域定理保域定理)设设w=f(z)在区域在区域D内解析且内解析且不恒为常数不恒为常数,则则D的象的象G=f(D)也是一个区域也是一个区域.证证 首先首先证明证明G的每一点都是内点的每一点都是内点.设w0G,则有一点z0D,使w0=f(z0).要证w0是G的内点,只须证明w*与w0充分接近时,w*亦属于G.即当w*与w0充分接近时,方程w*=f(z)
2、在D内有解.为此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,)由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆C:|z-z0|=R,显然 f(z0)-w0=0,f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外)C及C的内部全含于D,使得均不为零.因而在C上:7.1.17.1.1解析变换的保域性解析变换的保域性内的点w*及在C上的点z有对在邻域2022/8/172因此根据儒歇定理因此根据儒歇定理,在在C的内部的内部与与f(z)-w0有相同零点的个数有相同零点的个数.于是于是w*=f(z)在在D内有解内有解.由于由于D是区域是区域,可在可在D内部取一条联结内部取一条联结z1,z2的折线的折线C
3、:z=z(t)t1tt2,z(t1)=z1,z(t2)=z2.于是于是：就是联结就是联结w1,w2的并且完全含于的并且完全含于D的一条曲线的一条曲线.从而从而,参照柯西积分定理的古莎证明第三步参照柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到可以找到 其次其次,要证明要证明G中任意两点中任意两点w1=f(z1),w2=f(z2)均可均可以用一条完全含于以用一条完全含于G的折线联结起来的折线联结起来.（连通性）（连通性）一条连接一条连接w1,w2,内接于内接于 且完全含于且完全含于G的折线的折线 1总结以上两点总结以上两点,即知即知G=f(D)是区域是区域.2022/8/173证证 因因f(z)在区域在
4、区域D内单叶内单叶,必必f(z)在在D内不恒为常数内不恒为常数.定理定理7.2 设设w=f(z)在区域在区域D内单叶解析内单叶解析,则则D的的象象G=f(D)也是一个区域.注注 定理定理7.1可以推广成这样的形式可以推广成这样的形式:“w=f(z)在扩充在扩充z平面的区域平面的区域D内除可能有极点外处处解析（即为亚内除可能有极点外处处解析（即为亚纯函数）纯函数）,且不恒为常数且不恒为常数,则则D的象的象G=f(D)为扩充为扩充z平平面上的区域面上的区域.注注 满足定理满足定理7.2和7.3的条件的解析变换的条件的解析变换w=f(z)将将z0的的一个充分小的邻域内变成一个充分小的邻域内变成w0=
5、f(z0)的一个曲边邻域的一个曲边邻域.定理定理7.3 设函数设函数w=f(z)在点在点z0解析解析,且且f (z0)0,则则f(z)在在z0的一个邻域内单叶解析的一个邻域内单叶解析.2022/8/1747.1.2 解析变换的保角性解析变换的保角性导数的几何意义导数的几何意义设w=f(z)于区域D内解析,z0D,在点z0有导数通过z0任意引一条有向光滑曲线C:z=z(t)(t0tt1),z0=z(t0).因此因此C在在z0有切线有切线,就是切向量就是切向量,经变换经变换w=f(z)的参数方程应为的参数方程应为 则则且必存在必存在它的倾角为它的倾角为Cx0yzw=f(z)uv0wz0w0,C的象
6、曲线的象曲线由定理由定理7.3及第三章习题及第三章习题(一)13,在点在点w0=w(t0)的邻域内是光滑的的邻域内是光滑的.又由于又由于故故 在在w0=f(z0)也有切线，也有切线，设其倾角为设其倾角为，则，则就是切向量就是切向量,2022/8/175Cx0yzz0z0+z图图7.1w=f(z)uv0ww0 w0+w且且（7.1）（7.2）如果假定如果假定x轴与轴与u轴轴,y轴与轴与v轴的正方向相同轴的正方向相同,而且将原曲线而且将原曲线切线的正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角切线的正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角,理解理解为原曲线经过变换后的旋转角为原曲线经过变换后的旋转角,则
7、：则：(7.1)(7.1)说明说明:象曲线象曲线 在点在点 的切线正向的切线正向,可由原可由原曲线曲线C在点在点 的切线正向旋转一个角度的切线正向旋转一个角度 得出得出。仅与仅与 有关有关,而与经过而与经过 的曲线的曲线C的选择无关的选择无关,称称为为变换变换 在点在点 的旋转角。的旋转角。导数辐角的几何意义导数辐角的几何意义.(7.2)(7.2)说明说明:象点间无穷小距离与原象点间的象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比无穷小距离之比的极限是的极限是 ,它仅与它仅与 有关有关,而与过而与过 的曲线的曲线C的的2022/8/176方向无关方向无关,称为变换称为变换w=f(z)在点在点 的伸
8、缩率的伸缩率.这也就是导这也就是导数模的几何意义数模的几何意义.上面提到的旋转角与上面提到的旋转角与C的选择无关的这个性质的选择无关的这个性质,称称为为旋转角不变性旋转角不变性;伸缩率与伸缩率与C的方向无关的方向无关,这个性质这个性质,称称为为伸缩率不变性伸缩率不变性.从几何意义上看从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小如果忽略高阶无穷小,伸缩率不伸缩率不变性就表示变性就表示w=f(z)将将 处无穷小的圆变成处无穷小的圆变成 处处的无穷小的圆的无穷小的圆,其半径之比为其半径之比为 .上面的讨论说明上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性具有
9、旋转角不变性与伸缩率不变性.上式可视为上式可视为2022/8/177经点经点z0的两条有向曲线的两条有向曲线C1,C2的切线方向所构的切线方向所构成的角称为成的角称为两曲线在该点的夹角两曲线在该点的夹角.Ox(z)z0定义定义7.1 若函数若函数w=f(z)在点在点 的的邻域内有定义邻域内有定义,且在点且在点 具有具有:(1)伸缩率不变性伸缩率不变性;(2)过过 的任意两曲线的夹角的任意两曲线的夹角在变换在变换w=f(z)下下,既保持大小既保持大小,又又z0z0z0保持方向保持方向;则称函数则称函数w=f(z)在点在点 是是保角的保角的,或称或称w=f(z)在点在点 是是保角变换保角变换.如果
10、如果w=f(z)在区域在区域D内处处都是保角的，则称内处处都是保角的，则称w=f(z)在区域在区域D内是内是保角的保角的，或称，或称w=f(z)在区域在区域D内内是是保角变换保角变换.z0z02022/8/178转动角的大小与方向跟曲线转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关的形状与方向无关.所以这种映射具有所以这种映射具有转动角的不变性转动角的不变性.通过通过z0点的可能的曲线有无限多条点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都其中的每一条都具有这样的性质具有这样的性质,即映射到即映射到w平面的曲线在平面的曲线在w0点都转动了一个角度Arg f(z0).OxyOuv(z)(w)z0w0202
11、2/8/179相交于点相交于点z0的任何两条曲线的任何两条曲线C1与C2之间的夹角之间的夹角,在在其大小和方向上都等同于经其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射后C1与与C2对应的曲线对应的曲线1与与2之间的夹角之间的夹角,所以这种映射具有所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称这种性质称为为保角性。保角性。yaOxOuv(z)(w)z0w0aC1C2122022/8/1710定理定理7.4 7.4 如如w=f(z)在区域在区域 D内解析内解析,则它在导数则它在导数不为零的点处是保角的不为零的点处是保角的.推论推论7.5 7.5 如如w=f
12、(z)在区域在区域D内单叶解析内单叶解析,则称则称w=f(z)在区域在区域D内是保角的内是保角的.总结上述讨论，我们有以下结论：2022/8/1711例例1 1求求w=f(z)=z3 在在 z=0,z=i 处的导数值处的导数值,并说明几何意义并说明几何意义。解解 w=f(z)=z3在全平面解析在全平面解析，。在z=i 处具有伸缩率不变和保角性。处具有伸缩率不变和保角性。伸缩率为伸缩率为3，旋转角为旋转角为 。2022/8/1712定义定义7.2 如果如果w=f(z)在区域在区域D内是单叶且保角的内是单叶且保角的,则称此则称此变换变换w=f(z)在在D内是内是共形的共形的,也称它为也称它为D内的
13、内的共形映射共形映射.7.1.3 单叶解析变换的共形性单叶解析变换的共形性定理定理7.6 设设w=f(z)在区域在区域D内单叶解析内单叶解析.则则 (1)w=f(z)将D共形映射成区域共形映射成区域G=f(D).(2)反函数反函数 在区域在区域G内单叶解析内单叶解析,且且证(1)由推论7.2,G是区域,由推论7.5及定义7.2,w=f(z)将D共形映射成G.(2)由定理6.11,又因w=f(z)是D到G的单叶满变换,因而是D到G的一一变换.于是于是,当当 时时,即反函数即反函数 在区域在区域G内单叶内单叶.故故2022/8/1713由假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,即
14、在D内满足C.-R.方程ux=vy,uy=-vx.故2022/8/1714 由数学分析中隐函数存在定理由数学分析中隐函数存在定理,存在两个函数存在两个函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点在点 及其一个邻域及其一个邻域 内为连续，即在邻域内为连续，即在邻域 中中,当 时,必有故即2022/8/1715在在D内作以内作以z0为其一个顶点的小三角形为其一个顶点的小三角形,在映射下在映射下,得到一个以得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形其一个顶点的小曲边三角形,这这两个三角形对应边长之比近似为两个三角形对应边长之比近似为|f(z0)|,有一个角有一个角相等相等,则这两个三角形近似相似则这两个
15、三角形近似相似.OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C212定理的几何意义.2022/8/1716OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2122022/8/1717第二节第二节 分式线性变换分式线性变换 7.2.1 分式线性变换及其分解分式线性变换及其分解 7.2.2 分式线性变换的映射性质分式线性变换的映射性质7.2.3 分式线性变换的应用分式线性变换的应用2022/8/1718(7.3)为为分式线性变换分式线性变换.简记为简记为w=L(z).1.1.定义定义7.2.1 分式线性变换及其分解分式线性变换及其分解称变换称变换注注:条件ad-bc 0是必要的。因若是必要的。因若ad-bc
16、=0,则则 约定：w=L(z)的定义域为C：(7.4)结论结论w=L(z)将C C w=L(z)的逆变换为 w=L(z)在扩充z平面上是保域的2022/8/17192.分式线性变换分式线性变换 w=L(z)的分解的分解结论：分式线性变换结论：分式线性变换 w=L(z)可以分解为如下简单变可以分解为如下简单变换的复合换的复合整线性变换整线性变换旋转变换旋转变换伸缩变换伸缩变换平移变换平移变换反演变换反演变换关于单位圆周的对称变换关于单位圆周的对称变换关于实轴的对称变换关于实轴的对称变换2022/8/1720O(z)(w)zwbi)w=z+b.这是一个平移映射这是一个平移映射.因为复数相加可以化为向因为复数相加可以化为向量相加量相加,z沿向量沿向量b的方向平移一段距离的方向平移一段距离|b|后后,就得到就得到w.O(z)=(w)zwaii)w=az,a0.这是一个旋转与伸长这是一个旋转与伸长(或缩短或缩短)的映射的映射.设设 将将 z 先转一个角度先转一个角度a,再将再将|z|伸长伸长(或缩短或缩短)倍后倍后,就得到就得到 w.2022/8/1721zw1w1O圆周的对称点CPPrTOP与
