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1、第四节第四节 有理函数的不定积分有理函数的不定积分本节要点本节要点 本节通过有理函数的高斯分解建立了有理函数的积分本节通过有理函数的高斯分解建立了有理函数的积分一、有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分二、可化为有理形式的三角函数的积分二、可化为有理形式的三角函数的积分三、可化为有理形式的简单无理函数的积分三、可化为有理形式的简单无理函数的积分方法方法,并讨论某些可以化为有理函数的积分并讨论某些可以化为有理函数的积分.一、有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分 1.有理函数的部分分式分解方法有理函数的部分分式分解方法 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数有理函数是指由两个多项式的商所表
2、示的函数,即具即具其中其中 为非零整数为非零整数,都是实数都是实数,且且有如下形式的函数有如下形式的函数:有理函数可以分解成多项式与若干个部分分式之和有理函数可以分解成多项式与若干个部分分式之和,假设多项式假设多项式 之间没有公因式之间没有公因式,且且 的的的次数大于或等于的次数大于或等于 的次数的次数,此时称该有理函此时称该有理函有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数,它们一定可以通过有它们一定可以通过有理函数、对数函数、反正切函数表出理函数、对数函数、反正切函数表出.次数小于次数小于 的次数的次数,此时称该有理函数为真分式此时称该有理函数为真分式.若若数为假分式数为假分式
3、.利用多项式的除法利用多项式的除法,可将一个假分式化为可将一个假分式化为一个多项式与一个真分式之和的形式一个多项式与一个真分式之和的形式.例如例如 由代数学知道由代数学知道,多项式多项式 总可以在实数范围内分总可以在实数范围内分 其中其中 因此有理函数中的真分因此有理函数中的真分解成一次因式与二次因式的乘积解成一次因式与二次因式的乘积,即即式可以分解成若干个部分分式之和式可以分解成若干个部分分式之和.其中其中 等都是需要确定的常数等都是需要确定的常数,方法一方法一:将部分分式通分后将部分分式通分后,再比较分子系数再比较分子系数,通过解通过解比较分子系数比较分子系数,得方程组得方程组:它们可以通
4、过下面方法确定它们可以通过下面方法确定:方程组确定系数方程组确定系数.例如例如:即即:方法二方法二:部分分式通分后部分分式通分后,在分子恒等式中代入特殊的在分子恒等式中代入特殊的 值从而确定常数值从而确定常数.例如例如令令 得得 ;令令 得得 ;将将及及 代入上式得代入上式得 因此因此即即:例例 分解分解解解 因因 所以所以即有即有令令 令令令令即有即有 2.部分分式的不定积分部分分式的不定积分 当有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和后当有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和后,只出现多项式与下列形式的部分分式只出现多项式与下列形式的部分分式.故只需考虑下列故只需考虑下列形式的部分分式的
5、不定积分形式的部分分式的不定积分.具体解法如下具体解法如下:其中其中而而即即于是于是 总之总之,有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和以后以后,各部分的不定积分都可以得到各部分的不定积分都可以得到.例例1 求积分求积分解解 例例2 求积分求积分解解 因因故故例例3 求积分求积分解解 因因故故例例4 求积分求积分解解 因因故故例例5 求积分求积分解解 设设即有即有因此有因此有因而相应的积分为因而相应的积分为 考虑下列形式的不定积分考虑下列形式的不定积分 其中其中 为有理函数为有理函数.由于由于二、可化为有理形式的三角函数的积分二、可化为有理形式的三角函数
6、的积分令令 则，则，而而 故故即即这里所用的变量代换这里所用的变量代换 对三角函数的有理式都对三角函数的有理式都适用适用,故此代换又称为故此代换又称为万能代换万能代换.例例6 求积分求积分解解 令令 ,则则例例7 求积分求积分解解 令令 则原积分为则原积分为 一些特殊形式的三角有理函数有下面一些特殊的方法一些特殊形式的三角有理函数有下面一些特殊的方法:若若 则可用代换则可用代换:若若 则可用代换则可用代换:若若 则可用代换则可用代换:例例8 求积分求积分解解 由上面的讨论由上面的讨论,做变换做变换 则则:例例9 求积分求积分解解 例例10 求积分求积分时时为零为零,且且解解 设设 比较等式两边
7、的系数比较等式两边的系数,得到得到其中其中 不同不同例例11 求积分求积分 其中其中解解 因因其中其中 则则例例12 求积分求积分解解 因因其中其中三、可化为有理形式的简单无理函数的积分三、可化为有理形式的简单无理函数的积分 考虑下列形式的简单无理根式的不定积分：考虑下列形式的简单无理根式的不定积分：令令 其中其中 为为 的最小公倍数的最小公倍数.这样上这样上述形式的简单无理根式的不定积分可化为有理函数的不述形式的简单无理根式的不定积分可化为有理函数的不定积分定积分.例例13 求积分求积分解解 令令 即即 故积分为故积分为例例14 求积分求积分解解 令令 即即例例15 求积分求积分解解 令令即即所以所以例例16 求积分求积分解解令令 所以所以
