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1、杆件的弯曲与扭转变形杆件的弯曲与扭转变形 答疑课程：工程力学答疑课程：工程力学一一 2015-11-08 2015-11-08 变形与应变变形与应变 圆轴的扭转变形与刚度圆轴的扭转变形与刚度条件条件 梁的弯曲变形与刚度梁的弯曲变形与刚度条件条件 目 录 123提高杆件刚度的提高杆件刚度的措施措施 4 一、变形的概念物体形状及体积的变化，称为物体形状及体积的变化，称为变形变形。小变形小变形变形量远小于构件的原始尺寸。在计算构件变形量远小于构件的原始尺寸。在计算构件的的受力平衡受力平衡时，时，可以按构件的原始尺寸进行计算可以按构件的原始尺寸进行计算。1 1、建立刚度条件建立刚度条件，构件的变形应限
2、制在允许的范围之内；，构件的变形应限制在允许的范围之内；2 2、求解静不定问题求解静不定问题。二、研究变形的目的1 1、变形和应变、变形和应变 构构件件的的形形状状是是用用它它各各部部分分的的长长度度和和角角度度来来表表示示。因因此此构构件件的的变变形形也也可可以以归归结结为为长长度度的的改改变变和和角角度度的的改改变变，即即线变形和角变形线变形和角变形。三、应变 棱棱边长度改度改变abb棱棱边夹角改角改变abb构件整体的变形并不能准确地描述构件的变形程度，为了准确描述杆构件整体的变形并不能准确地描述构件的变形程度，为了准确描述杆件的变形程度，引入另外一个概念：应变。件的变形程度，引入另外一个
3、概念：应变。ab线段的段的平均正平均正应变a点沿点沿ab方向的方向的正正应变正正应变特点特点:正正应变是无量是无量纲量；量；过同一点，不同方位的正同一点，不同方位的正应变一般不同。一般不同。1、正应变、正应变abb x u直角直角bac的改的改变量量直角直角bac的切的切应变切切应变为无量无量纲量量 切切应变单位位为 rad2、切应变、切应变切切应变特点特点:abbc微段微段dx的扭的扭转变形形一、圆轴扭转变形公式一、圆轴扭转变形公式圆轴截面截面扭扭转刚度。度。相距相距l 的两横截面的扭的两横截面的扭转角角GIp2 2、圆轴的扭转变形与刚度条件圆轴的扭转变形与刚度条件 对于扭矩对于扭矩T、切变
4、模量、切变模量G及极惯性矩及极惯性矩Ip都不随轴线变化都不随轴线变化的情况，的情况，相距相距l的的两截面的相对扭转角为两截面的相对扭转角为:若轴上作用几个不同的扭矩，或者横截面面积或剪切若轴上作用几个不同的扭矩，或者横截面面积或剪切模量在不同的区段发生突变，而在每一个区段内上述参数模量在不同的区段发生突变，而在每一个区段内上述参数为常值，分段求解，然后进行叠加，即为常值，分段求解，然后进行叠加，即:在工程实际中，通常是限制单位长度的扭转角的最大值不超在工程实际中，通常是限制单位长度的扭转角的最大值不超过某一规定的许用值过某一规定的许用值 二、二、圆杆扭转刚度条件圆杆扭转刚度条件 一般一般传动轴
5、，=0.5 1/m例例4 4 图图为为一一圆圆截截面面轴轴 AC，受受扭扭转转力力偶偶矩矩MA，MB 与与Mc作作用用。已已知知MA=90 Nm,MB=160 Nm，MC=70 Nm，l=2 m，G=80 GPa，IP=3.0105 mm4，=0.3 (o)/m。试试计计算算该该轴轴的的总总扭扭转转角角 AC（即即截截面面C对对截截面面A的的相相对对转转角角），并校核轴的刚度。并校核轴的刚度。解：（解：（1）扭转变形分析：）扭转变形分析：（2）刚度校核：）刚度校核：轴轴AC为等截面轴，而为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。核该段轴的扭转刚度。A
6、B段的扭转角变化率为段的扭转角变化率为可见，该轴的刚度符合要求。可见，该轴的刚度符合要求。解解:(1):(1)按按强强度条件求所需外直径度条件求所需外直径D D例例5 5 由由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比=0.5。已知材料的许用切应力。已知材料的许用切应力=40 MPa，切变模量，切变模量G=80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大值为。轴的横截面上扭矩的最大值为Tmax=9.56 kNm，轴的许可单位长度扭转角轴的许可单位长度扭转角 =0.3。试选择轴的直径。试选择轴的直径。(2)按刚度条件求所需外直径按刚度条件求所需外直径D内直径则根据内
7、直径则根据a=d/D=0.5知：知：一、一、挠度与转角挠度与转角对于平面弯曲问题，梁的轴线变形后成为一平面曲线，且与对于平面弯曲问题，梁的轴线变形后成为一平面曲线，且与外力在同一平面内。外力在同一平面内。3 3、梁、梁的弯曲变形与刚度的弯曲变形与刚度条件条件 梁变形的表示方法：梁变形的表示方法：ABF 变弯的形心弯的形心轴 挠曲线挠曲线F描述截面上任一点的位移描述截面上任一点的位移:1、形心、形心轴的的线位移位移 挠度挠度2、截面、截面绕形心形心轴的角位移的角位移 转角转角F 挠度随坐度随坐标变化的方程化的方程挠曲线方程挠曲线方程F 忽略剪切忽略剪切变形形+梁的梁的转角一般很小角一般很小二、二
8、、挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 前面在导出纯弯曲正应力公式时，曾得到用中性层曲率表前面在导出纯弯曲正应力公式时，曾得到用中性层曲率表示的弯曲变形公式为示的弯曲变形公式为 横力弯曲中，如果忽略剪力的影响，则梁轴线的曲率为横力弯曲中，如果忽略剪力的影响，则梁轴线的曲率为由微积分的基本知识，挠曲线与曲率满足以下关系由微积分的基本知识，挠曲线与曲率满足以下关系则：正负号确定正负号确定确定坐确定坐标系标系:(从数学从数学)(本书规定本书规定)w 向上向上为正正xx小小变形形时：小小变形形应用条件：应用条件：三、三、用积分法求梁的位移用积分法求梁的位移F C、D为积分常数，它由位移分常数，它由
9、位移边界与界与连续条件确定。条件确定。固定端的挠度和转角均为零，铰支座处的挠度为零。固定端的挠度和转角均为零，铰支座处的挠度为零。$挠曲轴在挠曲轴在C点连续且光滑点连续且光滑边界条件：梁截面的已知位移条件边界条件：梁截面的已知位移条件 连续条件：分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件连续条件：分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件例例6 6 如图所示图形为一外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制如图所示图形为一外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制挠曲线的大致形状图。设弯曲刚度挠曲线的大致形状图。设弯曲刚度EIZ为常数。为常数。F 根据弯矩根据弯矩图定凹凸性，定凹凸性，F 弯矩弯矩图过零点零点处为拐点拐点,F 支
10、座限定支座支座限定支座处的位移。的位移。QQ 挠曲线大致形状的画法挠曲线大致形状的画法 例例7 7 如图所示悬臂梁，在自由端受一集中力如图所示悬臂梁，在自由端受一集中力 F的作用，的作用，EIZ为常数。试求梁的自由端的挠度为常数。试求梁的自由端的挠度 B和转角和转角 B。解：弯矩方程解：弯矩方程:挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程:进行一次积分得：进行一次积分得：再进行第二次积分得：再进行第二次积分得：边界条件为边界条件为将边界条件带入相应的表达式可得两个积分常数将边界条件带入相应的表达式可得两个积分常数 将积分常数代入转角和挠度的表达式可得梁的转角方程和挠将积分常数代入转角和挠度的表达
11、式可得梁的转角方程和挠度方程度方程 根据梁的受力及边界条件，画出梁的挠曲线示意图根据梁的受力及边界条件，画出梁的挠曲线示意图,将将x=l 代入挠度和转角方程中得代入挠度和转角方程中得（顺时针）（顺时针）（向下）（向下）例例8 8 如图悬臂梁受均布载荷，如图悬臂梁受均布载荷，EIZ 为常数，求自由端的挠为常数，求自由端的挠度度B和转角和转角B。解：梁的弯矩方程：解：梁的弯矩方程：则梁的梁的挠曲曲线微分方程微分方程为：进行一次行一次积分得：分得：再再进行第二次行第二次积分得分得:考虑边界条件，对于悬臂梁来说，固定端的挠度和转角都为零，即考虑边界条件，对于悬臂梁来说，固定端的挠度和转角都为零，即 将
12、上述两个边界条件代入挠度和转角的表达式，将上述两个边界条件代入挠度和转角的表达式，可得出积分常数为可得出积分常数为 将将C、D代入挠度和转角的表达式可得转角方程和挠曲线方程代入挠度和转角的表达式可得转角方程和挠曲线方程 最后，把最后，把 x=l 分别代入转角和挠曲线方程，就可得到梁自由端的转分别代入转角和挠曲线方程，就可得到梁自由端的转角和挠度：角和挠度：根据挠度和转角的符号规定，上述结果表明转角为顺时针，挠度方根据挠度和转角的符号规定，上述结果表明转角为顺时针，挠度方向为向下。向为向下。例例9 9 如图所示一简支梁，其上受均布载荷如图所示一简支梁，其上受均布载荷q，EIZ 为常数。为常数。试
13、求此梁的最大挠度试求此梁的最大挠度max以及截面以及截面A的转角的转角A。解：弯矩方程解：弯矩方程:挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程:进行一次积分得：进行一次积分得：再进行第二次积分得：再进行第二次积分得：边界条件为边界条件为将边界条件带入相应的表达式可得两个积分常数将边界条件带入相应的表达式可得两个积分常数 将积分常数代入转角和挠度的表达式可得梁的转角方程和挠度方程将积分常数代入转角和挠度的表达式可得梁的转角方程和挠度方程 最大挠度发生在梁跨中点（转角为零），最大转角发生在梁的两个端最大挠度发生在梁跨中点（转角为零），最大转角发生在梁的两个端截面上（弯矩为零）。将截面上（弯矩为零）。
14、将 代入挠度方程中得代入挠度方程中得 负号表示的方向向下，与坐标轴的正方向相反。将代入转角方程负号表示的方向向下，与坐标轴的正方向相反。将代入转角方程中可得中可得负号表示为顺时针转动。负号表示为顺时针转动。例例1010 如图所示一简支梁，受一集中载荷如图所示一简支梁，受一集中载荷F作用，作用，EIZ 为常数。试求此梁的最大挠度为常数。试求此梁的最大挠度max以及最大转角以及最大转角max。解：弯矩方程解：弯矩方程:AC段：段：CB段：段：因有四个积分常数，只有两个边界条件是不可能解决因有四个积分常数，只有两个边界条件是不可能解决的，要加上两个连续性条件的，要加上两个连续性条件由此可确定积分常数
15、由此可确定积分常数简支梁的边界条件简支梁的边界条件 将积分常数代入转角和挠度的表达式，可得转角和挠度的方程将积分常数代入转角和挠度的表达式，可得转角和挠度的方程四、四、用叠加法求梁的位移用叠加法求梁的位移 由于材料力学研究的是小变形，并且材料服从胡克由于材料力学研究的是小变形，并且材料服从胡克定律，因此挠曲线的微分方程是线性的，且弯矩与载荷定律，因此挠曲线的微分方程是线性的，且弯矩与载荷也是线性的。在这种情况下，也是线性的。在这种情况下，如果作用有几个不同的载如果作用有几个不同的载荷，弯矩可以叠加，挠曲线微分方程也可以叠加荷，弯矩可以叠加，挠曲线微分方程也可以叠加.两两类情况：情况：叠加法叠加
16、法1分解分解载荷：荷：叠加法的叠加法的应用用Q 分解分解载荷，将各个荷，将各个载荷引起的位移叠加；荷引起的位移叠加；Q 分解分解变形，将各段形，将各段变形叠加。形叠加。例例1111 简支梁同时承受均布载荷与集中载荷作用，试用叠简支梁同时承受均布载荷与集中载荷作用，试用叠加法计算梁中点的挠度。设为常数。加法计算梁中点的挠度。设为常数。（向下）（向下）解：当均布载荷单独作用时，简支梁跨中点截面的挠度为解：当均布载荷单独作用时，简支梁跨中点截面的挠度为 当集中载荷单独作用时，该截面的挠度为当集中载荷单独作用时，该截面的挠度为（向下）（向下）依据叠加法，均布载荷和集中载荷共同作用时，截面的挠度为依据叠加法，均布载荷和集中载荷共同作用时，截面的挠度为（向下）（向下）例例12：EI=常值，求常值，求+q0BACq0ACBq0ABC例例 13:13:求图示外伸梁求图示外伸梁C C点的挠度和转角点的挠度和转角ABCABCqa/2qa2/2仅考考虑BC段段变形形(刚化化AB,可可视BC为悬臂梁臂梁)仅考考虑AB段段变形形(刚化化BC)叠加法叠加法2分段求分段求变形形(逐段分析求和法逐段分析求和法)：例例
