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1、2022年天津第四中学高三数学文月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设f（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f（x）+xf（x）=lnx，f（e）=，则下列结论正确的是（）Af（x）在（0，+）单调递增Bf（x）在（0，+）单调递减Cf（x）在（0，+）上有极大值Df（x）在（0，+）上有极小值参考答案：B考点： 函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值专题： 导数的综合应用分析： 第一步：在x2f（x）+xf（x）=lnx两边同时除以x，使得左边为xf（x）；第二步：令g（x）=xf（x），用g
2、（x）表示f（x），并写出f（x）；第三步：对f（x）的分子再求导，从而求出分子的最大值；第四步：判断f（x）的符号，即可判断f（x）的单调性解答： 解：由x2f（x）+xf（x）=lnx，得xf（x）+f（x）=，从而xf（x）=，令g（x）=xf（x），则f（x）=，=，令h（x）=lnxg（x），则h（x）=（x0），令h（x）0，即1lnx0，得0xe时，h（x）为增函数；令h（x）0，即1lnx0，得xe时，h（x）为减函数；由f（e）=，得g（e）=ef（e）=1h（x）在（0，+）上有极大值h（e）=lneg（e）=11=0，也是最大值，h（x）0，即f（x）0，当且仅当x=e时
3、，f（x）=0，f（x）在（0，+）上为减函数故选：B点评： 本题考查了函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，难度较大“在x2f（x）+xf（x）=lnx两边同时除以x”是解题的突破口，“求h（x）的极大值”是关键2. 某班在5男生4女生中选择4人参加演讲比赛，选中的4人中有男有女，且男生甲和女生乙最少选中一个，则不同的选择方法有 A91种 B90种 C89种 D86种参考答案：D略3. 如图，在ABC中，,P为CD上一点，且满足，若ABC的面积为，则的最小值为 A. B. C. 3 D. 参考答案：B4. 某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )A3+3B8+3C6+6D8+6参考
4、答案：B考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，根据已知分析各个面的形状，求出面积后，相加可得该几何体的表面积解答：解：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，下底面为边长为2的正方形，面积为4；上底面为边长为1的正方形，面积为1；左侧面和后侧面是上底为1，下底为2，高为1的梯形，每个面的面积为右侧面和前侧面是上底为1，下底为2，高为的梯形，每个面的面积为故该几何体的表面积为4+1+2+2=8+3故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图，求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及棱长是解答的关键5. 已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B
5、(1，3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在ABC内部，则zxy的取值范围是（ ）A(1 ，2) B(0，2) C(1，2) D(0，1)参考答案：A略6. 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是 (A) (B)(C) (D)参考答案：B略7. 已知全集，集合 则集合中的元素的个数为 ( )A.1 B.1 C.3 D.4参考答案：【知识点】集合的运算 A1因为集合，所以，求得，所以，故选择.【思路点拨】先求得集合，可得，根据补集定义求的其补集.8. 下列四个图像中，是函数图像的是参考答案：B由函数定义知（2）不符合，故选B.9. 关于函数，下列判断正确的是（ ）Af(x)有最大值和最小值B
6、f(x)的图象的对称中心为（）Cf(x)在上存在单调递减区间Df(x)的图象可由的图象向左平移个单位而得 参考答案：B函数=2sin（2x+）且sin（2x+）0，对于A：f（x）=2sin（2x+）存在最大值和不存在最小值A不对；对于B：令2x+=k，可得x=，f（x）的图象的对称中心为（kZ），B对对于C：令2x+，可得，f（x）在上不存在单调递减区间对于D：y=2sin2x的图象向左平移个单位，可得2sin2（x）=2sin（2x+），但sin（2x+）0，故选：B10. 已知全集U=R，集合A=x|3x7，B=x|x27x+100，则?R（AB）=（）A（，3）（5，+）B（，3）5，
7、+）C（，35，+）D（，3（5，+）参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先计算集合B，再计算AB，最后计算CR（AB）【解答】解：B=x|2x5，AB=x|3x5，CR（AB）=（，3）5，+）故答案选B【点评】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设Sn为等比数列an的前n项和，则 参考答案：11试题分析：通过，设公比为，将该式转化为，解得，代入所求式可知答案1112. 在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在APMC中任取一点记为E，在B
8、、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为 。参考答案：解析：由题意知，G点共有16种取法，而只有E为P、M中一点，F为Q、N中一点时，落在平行四边形内，故符合要求的G的只有4个，因此概率为，本题主要考察了平面向量与古典概型的综合运用，属中档题13. 一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体棱长的最大值为 .参考答案：14. 已知向量满足则向量与夹角的余弦值为参考答案：-考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：把|+|=两边
9、平方，然后代入数量积公式求得向量与夹角的余弦值解答：解：由|=，|=2，|+|=，得，即，3+2+4=5，即故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆与运用，是基础题15. 在区间和分别取一个数,记为, 则方程表示离心率大于的双曲线的概率为 参考答案： 【知识点】双曲线的简单性质H6解析：方程表示离心率大于的双曲线，b2a，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示离心率大于的双曲线的概率为：P=，故答案为：【思路点拨】当方程表示离心率大于的双曲线，表示焦点在x轴上且离心率大于的双曲线时，计算出（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间和分别各取一个数（a，b）
10、点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解即可16. 等比数列的公比, 已知=1，则的前4项和= 。参考答案：17. 在ABC中，B(10，0)，直线BC与圆：x2(y5)225相切，切点为线段BC的中点若ABC的重心恰好为圆的圆心，则点A的坐标为 参考答案：【答案解析】(0，15) 或 (8，1)解析：由已知得过点B与圆相切的切线长为10，则以B为圆心，切线长为半径的圆的方程为与已知圆的方程联立 解得切点坐标为（0,0）或（4,8），所以C点坐标为（10,0）或（2,16），又已知圆心坐标为（0,5）设A点坐标为(x,y)，利用三角形重心坐标公式得A点坐标为(0，1
11、5) 或 (8，1).【思路点拨】本题的关键是先求切点坐标，可转化为两圆的交点问题，联立方程求切点坐标.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （13分）已知数列满足：其中，数列满足： （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）是否存在正数k，使得数列的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k.参考答案：解析：（1）经过计算可知：.求得.（4分）（2）由条件可知：.类似地有：.-有：.即：.因此：即：故所以：.（8分）（3）假设存在正数，使得数列的每一项均为整数.则由（2）可知：由，及可知.当时，为整数，利用，结合式，反复递推
12、，可知，均为整数.当时，变为我们用数学归纳法证明为偶数，为整数时，结论显然成立，假设时结论成立，这时为偶数，为整数，故为偶数，为整数，所以时，命题成立.故数列是整数列.综上所述，的取值集合是.（13分）19. （本小题满分14分）如图，在直角梯形中，现将沿线段折成的二面角，设分别是的中点() 求证：平面；（II）若为线段上的动点，问点在什么位置时，与平面所成角为.参考答案：（）证明：取中点，连接，易得四边形为梯形，有在平面上，又， 结合平面，平面，得平面；6分（）分别以，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，有， 设平面的法向量为，则根据，取，得到 设点，于是， 有题知, 即，解得 点在的中点时，与平面所成角为14分20. （本小题满分12分） 已知函数 =ax3 (1+a)x2 +3x -3（其中aR） (I)若函数 在x= -1时取得极值，求a； ()求函数的单调区间参考答案：（1）若函数在时取得极值， ; 2分（2）当时，函数单调递增区间为， 单调递减区间为 当时， 函数单调递增区间为 ， 单调递减区间为，当时，函数单调递减区间为 ，单调递增区间为，当时，函数单调递减区间为， 单调递增区间为，当时，函数单调递增. 12分21. 已知，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 参考答案：由，得，或. 4分由，得. 或 8分是的必要不充分条件，
