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1、欢欢 迎迎 新新 同同 学学高高 等等 数数 学学教教 材：材：高等数学高等数学（上册）中国地质大学（北京）（上册）中国地质大学（北京）李明霞李明霞 (讲师讲师)教学环节教学环节 授课授课 共共192 课时，上册课时，上册96课时，课时，作业：作业：每周三交作业每周三交作业，单页纸单页纸 批改一半左右批改一半左右 平时成绩占课程总成绩一部分平时成绩占课程总成绩一部分学习方法：学习方法：尽快适应大学的教学方法尽快适应大学的教学方法 培养自学的能力培养自学的能力 课后先复习，后做作业课后先复习，后做作业主讲教师：主讲教师：1.分析基础:函数,极限,连续 2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.
2、向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程主要内容主要内容多元微积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 如何学习高等数学如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习,天才在于积累天才在于积累.学而优则用学而优则用,学而优则创学而优则创.由薄到厚由薄到厚,由厚到薄由厚到薄.马克思马克思 恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.第一节 目录 上页 下页 返回 结束 华罗庚华罗庚第一章第一章第第 0 节节 函数函数一、基本概念一、基本概念1.绝对值
3、绝对值(absolute value)运算性质运算性质绝对值不等式绝对值不等式2.邻域邻域(neighbourhood)数集数集即即 邻域邻域,记作记作几何表示几何表示 有时简记为有时简记为去心去心(空心空心)即即两个闭区间的直积表示两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形平面上的矩形区域区域.如如,即为即为xOy平面上的矩形区域平面上的矩形区域,这个区域在这个区域在x轴与轴与y轴上的投影分别为闭区间轴上的投影分别为闭区间和闭区间和闭区间3.逻辑符号逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号“”表示表示“任取任取”,或或“任意给定任意给定”.“”表示表示“
4、存在存在”,“至少存在一个至少存在一个”,或或“能够找到能够找到”.如如实数的阿基米德实数的阿基米德(Archmed)公理是这样叙公理是这样叙述的述的:任意给定两个正的实数任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个都存在一个自然数自然数n,用逻辑符号用逻辑符号将将阿基米德阿基米德公理改写公理改写:Any(每一个每一个)或或All(所有的所有的)的字头的字头A的倒写的倒写Exist(存在存在)的的 字头字头E的倒写的倒写符号符号“”表示表示“蕴含蕴含”,或或“推出推出”.符号符号“”表示表示“等价等价”,或或“充分必要充分必要”.映射与函数映射与函数二、映射二、映射1.映射概念映射概念(mappi
5、ng)（集合略）（集合略）定义定义 设设 X、Y 是两个非空集合是两个非空集合,如果存在如果存在一个法则一个法则f,使得对使得对通过通过f,在在Y中有中有唯一唯一确定的确定的元素元素 y 与之对应与之对应,则称则称f 为为从从 X 到到 Y 的的映映(或或算子算子),记作记作并称并称y为为x(在映射在映射f下下)的的像像,并记作并记作即即x称为称为y的的原像原像.射射定义域定义域 即即记记映射与函数映射与函数X中所有元素的像所组成的集合中所有元素的像所组成的集合记作记作 或或f 的的即即称为称为在中学数学中所接触的在中学数学中所接触的函数函数实际是实际是:实数集实数集(或其子集或其子集)到实数
6、集的到实数集的映射映射.例如例如,映射映射f:正弦函数正弦函数值域值域,像集像集,对对元素元素 x 的像的像y是是唯一唯一的的;映射与函数映射与函数而对而对元素元素 y 的原像不一定是唯一的的原像不一定是唯一的;映射映射 f 的值域的值域是是Y 的一个子的一个子集集,不一定不一定(2)注注(1)集合集合X,即定义域即定义域集合集合Y,即值域的范围即值域的范围:对应法则对应法则f,使对使对有有唯一唯一确定的确定的与之对应与之对应.三个要素三个要素:构成一个构成一个映射映射必须具备以下必须具备以下1.常量常量(constant quantity)与变量与变量(variable)注注三、函数(fun
7、ction)而是相对而是相对“过程过程”而言的而言的.映射与函数映射与函数常量常量;变量变量.在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为而在过程中数值变化的量称为而在过程中数值变化的量称为一个量是常量还是变量一个量是常量还是变量,不是绝对的不是绝对的,常量与变量的表示方法常量与变量的表示方法:在高等数学中在高等数学中,通常用字母通常用字母 a,b,c等表示常量等表示常量,用字母用字母 x,y,t 等表示等表示变变量量.映射与函数映射与函数 定义定义 设数集设数集则称映射则称映射为定义在为定义在D上的上的函数函数,通常简记为通常简记为自变量自变量因变量因变量定义域定义域(dom
8、ain)定义中定义中,按对应法则按对应法则f,总有总有唯一唯一确定的值确定的值y与之对应与之对应,这个值称为函数这个值称为函数f 在在x处的处的函数值函数值,记作记作函数关系函数关系函数值函数值全体组成的集合称为全体组成的集合称为range记作记作即即函数函数f 的的值域值域,2.函数概念函数概念),(xfy=,Dx ,Dx 如果对如果对),(xfy=映射与函数映射与函数注注含义的区别含义的区别.自变量自变量x和因变量和因变量y之间的对应法则之间的对应法则;与自变量与自变量x对应的函数值对应的函数值;定义在定义在D上的函数上的函数,应理解为由它所确定的函数应理解为由它所确定的函数f.(1)(2
9、)函数的记号函数的记号:除常用的除常用的f 外外,可任意选取可任意选取,如如相应地相应地,函数可记作函数可记作:等等,等等,也可记作也可记作:在同一个问题中在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时讨论到几个不同的函数时.映射与函数映射与函数(3)对应的函数值对应的函数值y总是唯一的总是唯一的,否则称为否则称为如如是多值函数是多值函数,它的两个单值支是它的两个单值支是:单值函数单值函数,多值函数多值函数.约定约定:今后今后无特别说明无特别说明时时,函数是指单值函数函数是指单值函数.这种函数称为这种函数称为(4)构成函数的构成函数的是是两个不同的函数两个不同的函数.(因为定义域不同因为定义域不同).
10、如如与对应法则与对应法则f.定义域定义域两个要素两个要素:,Dx 对对 函数的表示法只与定义域和对应法则有关函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即即简称函数表示法的简称函数表示法的答案答案表达式求解表达式求解这是由这是由的的映射与函数映射与函数(5)而与用什么字母无关而与用什么字母无关,的有效方法的有效方法.无关特性无关特性,L=)()()(fff常用的函数关系表示法常用的函数关系表示法公式法公式法(解析法解析法);主要有主要有三种形式三种形式表格法表格法.各种表示法各种表示法,都有其都有其优点和不足优点和不足.图形法图形法;公式法公式法(解析法解析法)图形法图形法表格法表格法今后以公式法为
11、主今后以公式法为主,映射与函数映射与函数便于进行理论分析和计算便于进行理论分析和计算;形象直观形象直观,富有启发性富有启发性,便于记忆便于记忆;便于查找函数值便于查找函数值,但它常常是不完全的但它常常是不完全的.也可用语言描述也可用语言描述.配合使用图形法和表格法配合使用图形法和表格法.是多种多样的是多种多样的.函数的图形函数的图形(图象图象)取自变量在横轴上取自变量在横轴上在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,因变量在纵轴上变化因变量在纵轴上变化,则函数的图形是指则函数的图形是指变化变化,平面点集平面点集:通常是一条或几条通常是一条或几条映射与函数映射与函数曲线曲线(包括直线包括直线).中的
12、集合中的集合例例 按国家规定按国家规定,个人月收入个人月收入x不超过不超过880元不纳税元不纳税,超过超过880元而小于元而小于1380元的部分按元的部分按 5纳税纳税,而而超过超过1380元小于元小于2000元的部分按元的部分按 10纳税纳税,则则个人月收入个人月收入x与交纳所得税与交纳所得税 y 的函数关系为的函数关系为 除了可用除了可用一个数学式子表示函数一个数学式子表示函数外外,有些有些函数随着自变量取不同的值函数随着自变量取不同的值,分段函数分段函数.我国部分工薪人员应纳多少税我国部分工薪人员应纳多少税映射与函数映射与函数这种函数称为这种函数称为函数关系也不同函数关系也不同,映射与函
13、数映射与函数例例几个今后常引用的函数几个今后常引用的函数映射与函数映射与函数绝对值函数绝对值函数例例 定义域定义域值域值域符号函数符号函数 定义域定义域值域值域对对例例映射与函数映射与函数有有或或 取整函数取整函数如如例例映射与函数映射与函数当当阶阶梯梯曲曲线线 定义域定义域值域值域表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859(x为有理函数为有理函数)(x为无理函数为无理函数)映射与函数映射与函数 定义域定义域值域值域有理数点有理数点无理数点无理数点设设则则f(x)的定义域的定义域 20(1)填空填空:
14、映射与函数映射与函数 -=.31,1;10,2;01,2)(xxxxxfx（2）.用分段函数表示函数用分段函数表示函数分段函数在其整个定义域上是一个函数分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案答案:即即注注映射与函数映射与函数而不是几个函数而不是几个函数.1-2431.有界性有界性(bounded)设函数设函数y=f(x)在区间在区间I上有定义上有定义,则说则说 f(x)在区间在区间I上上有上有上 界界.(下下)使得对所有使得对所有若存在若存在常数常数A都有都有映射与函数映射与函数(B),四四.函数的几种特性函数的几种特性 若存在常数若存在常数使得对所有使得对所有则称则称 f(x)在在I上上有
15、界有界.在在 I上上无界无界;映射与函数映射与函数都有都有 若这样的若这样的M 不存在不存在,则称则称 f(x)即为对于任何即为对于任何 总总存在存在使使则称则称 f(x)在在 I上上无界无界.有界有界无界无界在定义域上有界的函数叫做在定义域上有界的函数叫做例例是有界函数是有界函数;是无界函数是无界函数,但它在区间但它在区间 上上在区间在区间 上上 注注 一定要把区间明确出来一定要把区间明确出来!不是有界函数不是有界函数,就是无界函数就是无界函数.显然显然,映射与函数映射与函数(bounded function)有界函数有界函数.有界等同于既有上界又有下界有界等同于既有上界又有下界.有下界有下
16、界,有界有界.A.有上界无下界有上界无下界B.有下界无上界有下界无上界C.有界有界,且且D.有界且有界且解解C解题提示解题提示将函数取绝对值将函数取绝对值,然后用不等式然后用不等式放缩法放缩法.映射与函数映射与函数六个常见的有界函数六个常见的有界函数映射与函数映射与函数2.单调性单调性(monotonicity)是是单调增加单调增加;映射与函数映射与函数如果对如果对恒有恒有 monotone increasing 注注 应指明单调区间应指明单调区间,否则会产生错误否则会产生错误.是是单调减少单调减少.映射与函数映射与函数如果对如果对恒有恒有monotone decreasing3函数的奇偶性（略）函数的奇偶性（略）4.4.函数的周期性（略）函数的周期性（略）判别给定函数的奇偶性判别给定函数的奇偶性,解题提示解题提示奇函数奇函数的的有效方法有效方法.判别下列函数的奇偶性判别下列函数的奇偶性:奇函数奇函数偶函数偶函数有时也用其运算性质有时也用其运算性质.映射与函数映射与函数主要是根据主要是根据奇偶性的定义奇偶性的定义,映射与函数映射与函数例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数
