《2022届高考数学二轮复习解答题满分专题02 异面直线所成角(解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高考数学二轮复习解答题满分专题02 异面直线所成角(解析版）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022届高考数学二轮复习解答题满分专题立体几何专题二：异面直线所成角一、必备秘籍两条异面直线所成的角定义：设是两条异面直线，过空间任一点作直线，则与所夹的锐角或直角叫做所成的角范围：两异面直线所成角的取值范围是向量求法：设直线的方向向量分别为，其夹角为，则有。二、例题讲解1（2021海原县第一中学高三二模（理）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，并且，底面，已知，四边形的面积为.（1）证明：直线平面；（2）点为棱的中点，当直线与平面所成的角为时，求直线与所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）本题首先可根据四边形的面积为得出，然后过点作于点，根据勾股定理得出，再然后通
2、过底面得出，最后通过线面垂直的判定即可得出结果；（2）本题首先可以构建空间直角坐标系，然后得出，最后通过即可得出结果.【详解】（1）因为四边形的面积为，所以，解得，如图，过点作于点，则，因为，所以，因为底面，底面，所以，因为，所以直线平面.（2）因为底面，所以为在平面内的投影，故即为直线与平面所成的角，因为，所以，因为，所以，如图，作空间直角坐标系，则，则，故直线与所成角的余弦值为.【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直的判定以及异面直线所成角的求法，若平面外一条直线垂直平面内两条相交直线，则线面垂直，考查勾股定理与空间直角坐标系的应用，考查线面角的相关性质，考查数形结合思想，是中档题.感悟升华
3、（核心秘籍）异面直线所成角是比较简单的考点，计算时还是需要注意向量计算准则，最后求值特别注意问题问的是正弦，余弦，还是正切。三、实战练习1（2021全国高三模拟预测）直角梯形绕直角边旋转一周的旋转的上底面面积为，下底面面积为，侧面积为，且二面角为，分别在线段，上（）若，分别为，中点，求与所成角的余弦值；【答案】（）；【分析】（）设出圆台上、下底面半径，求出圆台高，再利用直二面角建立合适的空间直角坐标系，即可求解；【详解】（）设圆台上、下底面半径分别为，；，过点作于点，则，圆台的高为二面角是直二面角，建立空间直角坐标系如图所示，点，与所成角的余弦值为2（2021江苏扬州中学高三模拟预测）如图，在
4、四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为的中点，点在棱上，且（1）求直线与直线所成角的余弦值；【答案】（1）；【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的余弦值【详解】（1）如图，以为坐标原点，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，则，与所成角的余弦值为3（2021天津北辰高三模拟预测）如图，在三棱柱中，四边形为矩形，且，平面平面，（1）证明：平面.（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；【分析】（1）利用面面垂直性质可证得平面，从而得到；利用勾股定理可证得，由线面垂直的判定可证得结论；（2）取中点，中点，由面面垂直性质可证得
5、平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可求得结果；【详解】（1）四边形为矩形，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；，又平面，平面；（2）取中点，中点，连接，平面平面，平面平面，平面，平面；又，则以为坐标原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，设异面直线与所成角为，则，异面直线与所成角的余弦值为；4（2021北京二中高三模拟预测）如图1，在直角梯形中，为对角线的中点.现将沿折起到的位置，使平面平面，如图2.（1）求证：直线平面；（2）求异面直线和所成角的余弦值；【答案】（1）证明见解析；（2）；【分析】（1）利用面面垂直的性质定理进行证明；（2）建立合适空间
6、直角坐标系，根据直线的方向向量夹角的余弦值求解出异面直线所成角的余弦值；【详解】（1）因为平面平面，且平面平面，又由图1可知且为中点，所以，又平面，所以平面；（2）建立空间直角坐标系，以方向为轴，以垂直方向为轴，以方向为轴，如下图所示：由图1可知为等腰直角三角形，所以，所以为等腰直角三角形，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以异面直线所成角的余弦值为；5（2021江西高三三模（理）在四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，为的中点，是棱上的点，.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与所成角的余弦值；【答案】（1）证明见解析；（2）；【分析】（1）证明，利用面面垂直的性质可得出平面，再利用面面
7、垂直的判定定理可证得平面平面；（2）连接，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，根据可得出，求出的值，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值；【详解】（1）为的中点，且，则，又因为，则，故四边形为平行四边形，因为，故四边形为矩形，所以，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，因此，平面平面；（2）连接，由（1）可知，平面，为的中点，则，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则、，设，因为，则，解得，则.因此，直线与所成角的余弦值为；6（2021浙江高三期末）如图，在四棱中，已知平面，且四边形为直角梯形，（1）求与平面所成角的余弦值；【答案】（1）；【分析
8、】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，是平面的一个法向量，再由向量计算可得正弦，从而得解；【详解】以为坐标原点，以、所在直线分别为、轴建系如图，由题可知.（1）平面，是平面的一个法向量，设与平面所成角为，与平面所成角的余弦值为。7（2021上海市大同中学高三三模）如图，在直三棱柱中，点分别为的中点，与底面所成的角为.（1）求异面直线与所成角的大小余弦值。【答案】（1）；【分析】（1）建立恰当的空间直角坐标系，将问题转化为与的夹角即可求解；【详解】解：（1）因为平面，所以为与底面所成的角，即，所以.如图所示建立直角坐标系，则，.则，设异面直线与所成的角为，则，8（2021天津市滨海新区塘沽第一中
9、学高三三模）如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，（1）求证：平面.（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）位于点.【分析】建立空间直角坐标系.（1）求出平面的法向量，再根据数量积的运算即可证明；（2）利用夹角公式可求得；【详解】以为原点，以，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，（1）证明：，设平面的法向量为，则，令得，又平面，平面.（2），设异面直线与所成角为.则，异面直线与所成角的余弦值为.9（2021山西晋中高三三模（理）在三棱锥中，分别是棱，上的点，且平面（1）求证：平面；（2）若平面，二面角的平面角的余弦值为，求直线与所成角的余弦值【答案】（
10、1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由线面平行的性质得到即可；（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，算出平面和平面的法向量，然后可求出，然后可算出答案.【详解】（1）因为平面，平面，平面平面所以因为平面，平面，所以平面（2）因为平面，所以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系设，则所以，设平面的法向量为则，即，所以可取，即设平面的法向量为则，即，所以可取因为二面角的平面角的余弦值为，所以，即，解得，所以所以所以直线与所成角的余弦值为10（2021天津静海一中高三月考）如图，在三棱柱中，平面，侧棱，是的中点（1）求证：；（2）求直线与所成角的余弦值；【答案】（1）证明见
11、解析；（2）；（3）【分析】（1）以点C为坐标原点建系如图，易得，因此；（2）将向量和代入夹角公式，即可求得直线与所成角的余弦值；【详解】（1）证明：依题意，以点C为坐标原点，分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系则，所以，所以，所以，即（2）解：由（1），得，所以，所以即所求直线与所成角的余弦值为11（2021海南高三模拟预测）如图，在三棱柱中，底面，（1）求直线与所成角的余弦值；【答案】（1）；（2）到平面的距离为，到平面的距离为1【分析】（1）根据题设可知，两两垂直，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系根据异面直线所成的角的空间向量求解方法可求得直线与所成角的余弦值；【详解】解：（1）根据题设可知，两两垂直，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系则，所以，所以，所以直线与所成角的余弦值为
