《2022届高考数学二轮复习解答题满分专题04 利用导数研究函数有解问题 (解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高考数学二轮复习解答题满分专题04 利用导数研究函数有解问题 (解析版）（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022届高考数学二轮复习解答题满分专题导数及其应用专题四：利用导数研究函数有解问题一、必备秘籍分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题一般地，使得有解，则只需；，使得有解，则只需。二、例题讲解1（2021辽宁高三月考）已知函数.（1）若时，有解，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）把不等式有解，转化为有解，设函数，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解；【详解】（1）由题意，函
2、数，因为时，可得，即，设函数，可得，令，即，解得；令，即，解得，所以函数的单调递增区间为，同理可求得单调递减区间为.所以，所以，解得所以，即实数的取值范围.【点睛】利用函数的导数求解不等式的恒成立与有解问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；感悟升华（核心秘籍）对于有解问题，最核心的方法是变量分离法；1、变量分离时，注意不等式的方向是否改变2、变量分离后，需构造新函数，通过借助导函数，求出新构造函数的最大（小）值；往往涉及到二阶导。
3、三、实战练习1（2021北京顺义）已知函数（1）已知曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）若存在，使得，求的取值范围【答案】（1）,（2）.【分析】（1）由曲线在点处的切线方程为可得，求导将表示出来等于，列出方程求解即可；（2）问题等价于存在，即，构造函数，只需即可.【详解】（1）因为函数，所以，由于曲线在点处的切线方程为由导数的几何意义可知：，解得：.（2）因为存在，使得，即，又当时，上式不成立，所以存在，使得，参变分离得：，令，令，所以，因为，且恒成立，所以，所以在单调递减，即在上恒成立，即，所以在上单调递增，因为存在，使得，参变分离得：，即综上：m的取值范围为：.【点睛】导数是研究函数的
4、单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用2（2021全国）已知函数（）（1）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）转化条件为或在上恒成立，运算可得解；（2）转化条件为在区间上有解，结合导数确定在上的最大值即可得解.【详解】（1）由题意，若在区
5、间上是单调增加，则即在上恒成立，设，易得，故；若在区间上是单调减少，则，即在上恒成立，故只须，解得，综上，或；（2）由题意知，不等式在区间上有解，即在区间上有解，因为当时，（不同时取等号），所以在区间上有解，令，则，因为，所以，所以，在上单调递增，所以时，所以，所以实数的取值范围是【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将有解问题转化为求函数最值的问题，结合导数即可得解.3（2021全国）已知函数.（1）求函数的极小值；（2）关于的不等式在上存在解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值；（2）由参变量分离法得出在区间上有解，令，可
6、得出，利用导数求出函数在区间上的最大值，进而可得出实数的取值范围.【详解】（1）因为，所以，.当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值为；（2）由得，令，由在有解知，令，则.当时，；当时，.所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，函数在区间上单调递增，所以，使得，即，且当时，此时函数单调递减，则；当时，此时函数单调递增，则.所以，当时，则.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了利用导数求解函数不等式在区间上有解的问题，考查参变量分离法的应用，属于中等题.4（2020河南高三月考（理）已知函数（1）若在定义域内单调递增，
7、求的取值范围;（2）若存在，使得成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由在定义域内单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，从而可得答案.（2）根据题意将问题转化为在上有解，即在上有解，设，则，求出函数的导数，研究出其单调性，得出其最大值，即可得到答案.【详解】解： 在上恒成立即在上恒成立，当时，所以的取值范围为存在，使得成立，即在上有解.即在上有解，设，则，由，则当，所以在单调递增，所以，故在单调递增，所以所以，故所以的取值范围【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的单调区间求参数范围和根据不等式有解求参数范围，解答本题的关键是根据题意将问题转化为在上有解，即在上有解,即，属于中
8、档题.5（2020宿松县程集中学（文）设，函数.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）求函数单调区间（3）若有解，求的范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【分析】（1）利用导数的几何意义求处的导数值即可写出切线方程；（2）利用导数，结合讨论、研究的单调区间；（3）应用参变分离法将问题转化为在上能成立，利用导数研究的单调性，即可求a的范围.【详解】由解析式知：定义域为，.（1）当时，则切线方程为，即（2）若，则，是区间上的增函数，若，令有：在上，函数是增函数；在上，函数是减函数；（3）由有解，即在上能成立，令，则，即时单调递减；，即时单调递增；，即即可.【点睛】本题考查了利用导数几何
9、意义求切线方程，应用导数讨论含参函数的单调区间，以及研究函数的单调性求参数范围，属于中档题.6（2020河南南阳市南阳华龙高级中学高三月考（文）已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）设函数.若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）分别求出及，即可得到切线的斜率及切点坐标，结合点斜式可求出切线方程；（2）由，整理得，从而可知不等式存在解，只需，求解即可.【详解】（1）时，又，在点处的切线斜率，所求切线方程为，即.（2），依题意，令，.由，得.时，在上为增函数.【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数解决不等式存在解问题，考查学生的计算求
10、解能力，属于中档题.7（2020黑龙江大庆实验中学高三开学考试（理）已知函数.（1）若时，存在，使得不等式成立，求的最小值；（2）若在上是单调函数，求的取值范围.（参考数据）【答案】（1）；（2）.【分析】(1)由存在使不等式成立，只需，利用导数即可得的最小值；(2)分类讨论a保证在上是单调函数，从而确定a的范围【详解】（1）存在，使得不等式成立，则只需，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，在处取得极小值，即，又，故；（2），当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递增；当时，设，函数开口向下，其对称轴，故只需，即，此时在上单调递减，综上可得，.【点睛】本题考查了利用导数
11、解决不等式能成立问题，及利用导数研究函数的单调性求参数范围，考查了分类讨论的思想，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.8（2020全国）已知函数.（1）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围；（2）函数，若使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】试题分析：（1）在区间上是单调函数，说明其导函数在没有变号零点，由于，所以分析与区间的关系即可实数的取值范围；（2）不等式在区间上有解，即在区间上有解，分离参数可得在区间上有解，构造函数，利用导数研究其单调性并求得其最大值即得实数的取值范围.试题解析：（1），当导函数的零点落在区间内时，函数在区间上就不是单调函数，所以实数的取值范
12、围是：或.（2）由题意知，不等式在区间上有解，即在区间上有解.当时，（不同时取等号），.，在区间上有解.令，则单调递增，时， 所以实数的取值范围是.考点：利用导数研究函数的单调性、在给定区间上的最值及不等式的有解问题.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、在给定区间上的最值及不等式的有解问题，考查了转化的数学思想及函数与不等式的思想，属于中档题.对于函数在某个区间上的单调性问题通常转化为不等式的恒成立问题，本题中通过分析导函数的零点与所给区间的关系即得参数的范围，本题解答的关键是第二问中把不等式的有解通过分离参数转化为求函数的最值问题，通过构造新函数，利用导数研究其单调性并求得其
13、最大值即得所求的范围.9（2020全国高三月考（文）已知曲线在点处的切线方程为，其中为自然对数的底数（1）求函数的单调区间；（2）若在区间内，存在使得不等式成立，求实数的取值范围【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）【分析】（1）函数求导，利用切线方程求得，得到，再得到函数单调区间. （2）存在使得不等式成立等价于，构造，求得得解【详解】（1）由题可得函数的定义域为，则，又，所以，所以， 当，即时，解得；当，即时，结合，解得，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）由（1）可知，由，可得，令，则，因为在区间内，存在使得不等式成立，所以当时， 易得，令，可得，当时，的变化情况如下表： 单调递减极小值单调递增由表可知，所以，故实数的取值范围为【点睛】本题考查导数几何意义及利用导数解不等式能成立问题求解参数，属于基础题.
