《2022届高考数学二轮复习解答题满分专题06 非线性回归方程(解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高考数学二轮复习解答题满分专题06 非线性回归方程(解析版）（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022届高考数学二轮复习解答题满分专题概率与统计专题六:非线性回归方程一、 必备秘籍当经验回归方程并非形如(）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总结如下：曲线方程变换公式变换后的线性关系式建立非线性经验回归模型的基本步骤1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；4.按照公式计算
2、经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；5.消去新元，得到非线性经验回归方程；6.得出结果后分析残差图是否有异常 二、例题讲解1（2021全国高三专题练习（文）人类已经进入大数据时代.目前，数据量级已经从(1=1024)级别跃升到(1=1024)，(1=1024)乃至(1=1024)级别.国际数据公司(IDC)研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49，2009年数据量为0.8，2010年增长到1.2，2011年数据量更是高达1.82.下表是国际数据公司(IDC)研究的全球近6年每年产生的数据量(单位：)及相关统计量的值：年份201420152016201720182019序号1234
3、56年数据量6.68.616.121.633.041.03.521.152.8517.5813.82125.356.73表中，.（1）根据上表数据信息判断，方程(是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y关于年份序号x的回归方程类型，试求此回归方程(精确到0.01).（2）有人预计2021年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据（1）中的回归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由.参考数据：，回归方程中，斜率最小二乘法公式为，.【答案】（1）；（2）见解析.【分析】（1）设，则，再根据参考数据及公式即可得解（2）先将代入得预计2021年数据量，进而和2011年的50倍比较大
4、小即可得解【详解】（1）由，两边同时取自然对数得，设，则.因为，所以，.所以，所以；（2）令，得.预计2021年全世界产生的数据规模会超过2011年的50倍.【点睛】关键点点睛：对于非线性回归方程的求解，一般要结合题意作变换，转化为线性回归方程来求解，同时也要注意相应数据的变化.感悟升华（核心秘籍）1、根据题目提供的参考数据，明显提示如何换元：根据题意换元；2、题目提供了很多数据，对于代入的变量不能再直接选择的数据，而应该选择换元后的变量的数据，字母字母，替换了字母，而字母没有换元，所以公式修改为，修改后，在从参考数据总选择需要的数据代入计算。2（2021全国高三专题练习（文）有一种速度叫中国
5、速度，有一种骄傲叫中国高铁.中国高铁经过十几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变.中国的高铁技术不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁.高铁可以说是中国一张行走的名片.截至到2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里.下表是2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展：年份20132014201520162017201820192020年份代码12345678运营里程万公里1.31.61.92.22.52.93.53.9根据以上数据，回答下面问题.（1）甲同学用曲线来拟合，并算得相关系数，乙同
6、学用曲线来拟合，并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数，试问哪一个更适合作为关于的回归方程类型，并说明理由；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程(系数精确到).参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：；参考数据：令【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】(1)比较已知的相关系数大小关系即可得出正确答案;(2)由已知数据求出，结合回归方程变形为，求出和，从而可求出回归方程.【详解】解：（1），更适合作为y关于x的回归方程类型.（2），由得，即，则，所以.【点睛】关键点睛:本题考查了回归方程的求解，本题第二问的关键是对回归方程，结合对数的运算性质进行变形，结合最小二乘
7、法求线性回归方程的系数公式进行求解.感悟升华（核心秘籍）1、根据题目提供的参考数据，明显提示如何换元：根据题意换元；2、题目提供了很多数据，对于代入的变量不能再直接选择的数据，而应该选择换元后的变量的数据，字母字母，替换了字母，而字母没有换元，所以公式修改为，修改后，在从参考数据总选择需要的数据代入计算。三、实战练习1（2021山东菏泽高三二模）“十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为2021年到2025年某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了
8、解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了两个函数模型：；，其中， ， 均为常数，为自然对数的底数令，经计算得如下数据：，问：（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？（2）根据（1）的选择及表中数据，建立，关于的回归方程（系数精确到0.01）（3）若希望2021年盈利额y为500亿元，请预测2021年的研发资金投入额为多少亿元？（结果精确到0.01）附：相关系数r回归直线中：，参考数据：，【答案】（1）模型的拟合程度更好；（2）；（3）亿元【分析】（1）分别计算两个函数
9、模型的相关系数和，比较和的大小关系即可判断；（2）由得，即，根据最小二乘法求和的值，即可求解；（3）将代入（2）中的回归方程即可求解.【详解】（1）为了判断两个函数模型：；，拟合程度，只需要判断两个函数模型，拟合程度即可设和的相关系数为，和的相关系数为，由题意，显然，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好（2）先建立关于的线性回归方程，由得，即，所以关于的线性回归方程为，即，所求回归方程为：，（3）若2021年盈利额为500亿元，即为，解得：，所以2021年的研发资金投入量约为亿元2（2021重庆高三三模）近几年，快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平
10、均成本(单位：元)与当天揽收的快递件数(单位：千件)之间的关系，对该网点近5天的每日揽件量(单位：千件)与当日收发一件快递的平均成本(单位；元)(i=1，2，3，4，5)数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.45.160.4152.028300.507表中，.（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为关于的回归方程类型？并根据判断结果及表中数据求出关于的回归方程；（2）各快递业为提高快递揽收量并实现总利润的增长，除了提升服务质量提高时效保障外，价格优惠也是重要策略之一.已知该网点每天揽收快递的件数(单位：千件)与单件快递的平均价格(单位；元)之间的关系是，收发一件快递的利润等于单件
11、的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的回归方程解决以下问题：预测该网点某天揽收2000件快递可获得的总利润；单件快递的平均价格为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1）适宜作为y关于x的回归方程类型，回归方程为；（2）总利润约为12000元；平均价格t为8元.【分析】（1）点不在一条直线的近旁，但与双曲线类似，可得回归曲线类型令，根据已知数据求得回归方程，即可得结论（2）利用（1）的结论求出利润函数，令可得估计利润值；由二次函数性质可得【详解】解：（1）适宜作为y关于x的回归方程类型.令，则，即所求回归
12、方程为；（2）设收发x千件快递获利z千元，则，当时，故该网点某天揽收2000件快递可获得的总利润约为12000元；，当即时，z取最大值，故单件快递的平均价格t为8元时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大.3（2021安徽蚌埠二中高三模拟预测（文）自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国2020年4月9日-12月14日每隔25天统计1次共计11次累计确诊人数（万）日期（月/日）4/095/045/296/237/188/13统计时间序号123456累计确认人数43.3118.8179.4238.8377.0536.0日期（月/日）9/0610/0110/2611/1912/1
13、4统计时间序号7891011累计确认人数646.0744.7888.91187.41673.7（1）将4月9日作为第1次统计，若将统计时间序号作为变量，每次累计确诊人数作为变量，得到函数关系，对上表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的值，根据相关数据，确定该函数关系式（参数，的取值精确到0.01）；（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地曾患新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为45人，30人，15人，按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少有一人是老年人的概率参考公式：线性回归方程中，；【答案】（1）；（2）【
14、分析】（1）由已知函数，两边到自然对数可得，再计算，可得函数方程（2）先由分层抽样的方法求得老年、中年、青年分别抽取的人数，运用列举法和古典概率公式可求得答案.【详解】（1）因为，所以，由已知得，所求函数方程为（2）从90人中按照分层抽样的方法随机抽取6人，老年、中年、青年分别抽取的人数为3人，2人，1人，记3个老年人为，2个中年人为，1个青年人为，抽取的全部结果为，共15种至少1人是老年人的有，共12种所以至少1人是老年人的概率为【点睛】关键点睛：本题考查线性回归方程的应用，分层抽样，古典概率的求解，关键在于正确地理解线性回归方程的意义，准确地运用古典概率公式.4（2021贵州（理）某二手车交易市场对2020年某品牌二手车的交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图和散点图.用表示该车的使用时间（单位：年），表示其相应的平均交易价格（单位：万元）.（）已知2020年在此交易市场成交的该品牌二手车为辆，求使用时
