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1、第一章第一章 绪论与数值计算中的误差绪论与数值计算中的误差 数值分析所研究的问题，是为求解各类数学问题去构造算数值分析所研究的问题，是为求解各类数学问题去构造算法、分析算法和使用算法。法、分析算法和使用算法。用计算机解决科学计算问题的过程：用计算机解决科学计算问题的过程：数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。及其理论与软件实现。1、数值分析的研究对象、数值分析的研究对象数学问题数学问题程序设计程序设
2、计上机计算求解上机计算求解数学模型数学模型数值计算方法数值计算方法（应用数学）（应用数学）（计算数学）（计算数学）1 1 绪论绪论青岛理工大学数值分析青岛理工大学数值分析2、数值分析的特点：、数值分析的特点：面向计算机面向计算机，根据计算机的特点提供切实可行的有效算法；，根据计算机的特点提供切实可行的有效算法；（加、减、乘、除、逻辑）（加、减、乘、除、逻辑）有可靠的理论分析有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，对误差进行分析；算法要保证收敛性和数值稳定性，对误差进行分析；需要有需要有好的计算复杂性好的计算复杂性（时间和
3、空间）；（时间和空间）；需要进行需要进行数值试验数值试验，以证明算法是行之有效的。，以证明算法是行之有效的。2 2 数值计算中的误差与算法稳定性数值计算中的误差与算法稳定性1、数值计算中的误差来源与分类、数值计算中的误差来源与分类用计算机解决科学计算问题的过程：用计算机解决科学计算问题的过程：观测误差观测误差模型误差模型误差截断误差截断误差舍入误差舍入误差总误差截断误差舍入误差总误差截断误差舍入误差数学问题数学问题程序设计程序设计上机计算求解上机计算求解数学模型数学模型数值计算方法数值计算方法（应用数学）（应用数学）（计算数学）（计算数学）误差分配原则：截断误差舍入误差误差分配原则：截断误差舍
4、入误差2、绝对误差和相对误差：、绝对误差和相对误差：设设A为精确值，为精确值，a为为A的近似值，称的近似值，称 为为a的的绝对绝对误差误差(absolute error)，简称，简称误差误差(error).时称为时称为正绝对误差正绝对误差，否则称为，否则称为负绝对误差负绝对误差。称根据测量误差或计算情况可以估计出的绝对误差的上称根据测量误差或计算情况可以估计出的绝对误差的上界界 为为a的的绝对误差限（界）绝对误差限（界）或或误差限（界）误差限（界）(limit of error),即即 或或称绝对误差与精确值的比值为称绝对误差与精确值的比值为相对误差相对误差(relative error),记
5、为记为 而实际计算时采用而实际计算时采用 代替。代替。问题：问题：已知地球的质量为已知地球的质量为 而氢原子的质量为而氢原子的质量为 如果测量的绝对误差都是如果测量的绝对误差都是1个单位，个单位，那么哪一个更准确呢？那么哪一个更准确呢？3、数学问题的性态与算法稳定性、数学问题的性态与算法稳定性 对于一个数值问题，如果输入数据有微小扰动（即误差），对于一个数值问题，如果输入数据有微小扰动（即误差），引起输出数据（即问题的解）引起输出数据（即问题的解）相对误差相对误差很大，称之为很大，称之为病态问题病态问题。输出数据与输入数据的输出数据与输入数据的相对误差比值相对误差比值称为称为条件数条件数。对于
6、一个数值方法，如果输入数据有误差，而在计算过对于一个数值方法，如果输入数据有误差，而在计算过程中程中舍入误差舍入误差不增长，则称此算法是不增长，则称此算法是稳定稳定的，否则称为的，否则称为不稳不稳定定的。的。例如，例如，计算函数值计算函数值 时，若时，若 有扰动有扰动 其相对其相对误差为误差为 函数值函数值 的相对误差为的相对误差为 则称比值则称比值 为此问题的条件数。为此问题的条件数。3 3 计数与数值计数与数值（1）远古的计数）远古的计数（2）罗马记数法：）罗马记数法：（3）巴比伦记数法：六十进制）巴比伦记数法：六十进制（4）印度记数法（阿拉伯记数法）：十进制）印度记数法（阿拉伯记数法）：
7、十进制（5）中国记数法：十进制）中国记数法：十进制（6）通用记数法：）通用记数法：R进制记数法进制记数法(1)(5)(10)L(50)C(100)依最大数左减右加依最大数左减右加定点形式：定点形式：其中其中 都是介于都是介于0与与R-1之间的整数。称该数的总位数之间的整数。称该数的总位数m+n+1为为字长字长。浮点形式：浮点形式：称称 为为阶码阶码，为为尾数尾数，其中，其中 是介于是介于0与与R-1之间的正整数。若之间的正整数。若 则称该浮点数为则称该浮点数为规格规格化数化数，否则称为，否则称为非规格化数非规格化数。尾数的位数为。尾数的位数为字长字长。用浮点形式表达的数值的范围较定点形式要广。
8、用浮点形式表达的数值的范围较定点形式要广。例如，例如，地球的质量为地球的质量为氢原子的质量为氢原子的质量为R进制记数法的两种表示形式：进制记数法的两种表示形式：1、舍入方法、舍入方法 计算机只能处理有限位字长的数，对字长较长的数要作计算机只能处理有限位字长的数，对字长较长的数要作舍入处理，以得到一个有限字长的近似数。舍入处理，以得到一个有限字长的近似数。（1）截断法）截断法：设要对设要对 作作舍入处理，得到具有舍入处理，得到具有n位小数的近似数位小数的近似数a，常见的舍入方法有，常见的舍入方法有:（2）四舍五入法）四舍五入法：取取此时舍入误差估计为此时舍入误差估计为 根据根据 的大小的大小 当
9、当 时，取时，取此时舍入误差估计为此时舍入误差估计为 4 4 舍入方法与有效数字舍入方法与有效数字（3）改进的四舍五入法）改进的四舍五入法：当当 时，取时，取此时舍入误差估计为此时舍入误差估计为 当当 时，依时，依 的奇偶性进行取舍的奇偶性进行取舍，可采取，可采取“奇奇进偶不进进偶不进”或或“偶进奇不进偶进奇不进”的方法。的方法。2、有效数字、有效数字定义定义：推论推论1：推论推论2：对于给出的一个有效数，其相对误差限对于给出的一个有效数，其相对误差限注意注意：有效数的位数越多，绝对误差和相对误差就越小；有效数的位数越多，绝对误差和相对误差就越小；近似数近似数a的有效数字的位数应从左边第一个不
10、是零的数的有效数字的位数应从左边第一个不是零的数字开始计数，直至最末位数字为止；字开始计数，直至最末位数字为止；浮点数的有效数位由其定点部分的有效位数确定。浮点数的有效数位由其定点部分的有效位数确定。舍入误差限不超过舍入误差限不超过0.510-n的近似数的近似数a称为称为准确到小数点后准确到小数点后第第n位的有效数位的有效数，其中每一位数都称为，其中每一位数都称为有效数字有效数字，共有共有m+n+1位有效数字位有效数字。对于给出的一个有效数，其绝对误差限不大于其最末位对于给出的一个有效数，其绝对误差限不大于其最末位数字的半个单位。数字的半个单位。它共有它共有4位有效数字。位有效数字。解：解：例
11、例 已知数已知数 如果要求它的绝对误差限如果要求它的绝对误差限 求它的有效数。求它的有效数。设得到的有效数小数点后有设得到的有效数小数点后有n位数，则只要找到正整数位数，则只要找到正整数 使得使得 即可。即可。因为因为所以所以这个数的有效数就四舍五入到小数点后这个数的有效数就四舍五入到小数点后3位，即位，即5 5 算术运算中的误差算术运算中的误差1、c=xy例例1 求近似值求近似值285.35，196.87，58.43，4.96的和，其中每个数的和，其中每个数的绝对误差限为的绝对误差限为0.510-2.设设 为准确值，为准确值，分别为其近似值，绝对误差限分分别为其近似值，绝对误差限分别为别为
12、可以用微分近似表示它们的绝对误差，即可以用微分近似表示它们的绝对误差，即解：解：285.35+196.87+58.43+4.96=545.61,由由和的误差限和的误差限误差限之和误差限之和，上述四个数的误差限之和为，上述四个数的误差限之和为4（0.510-2）=0.02 0.05=0.510-1，这四个数的和应该为这四个数的和应该为545.6，它具有，它具有4位有效数字。位有效数字。例例2 求有效数求有效数3.150950，15.426463，568.3758，7684.388的和的和.解：解：3.150950+15.426463+568.3758+7684.388=8271.341213,上
13、述四个有效数的误差限之和为上述四个有效数的误差限之和为0.510-6+0.510-6+0.510-4+0.510-31)例例5 求求c=(12.2)2的绝对误差限和相对误差限。的绝对误差限和相对误差限。解：解：c=(12.2)2=148.84,根据绝对误差限，应取根据绝对误差限，应取c=15101。小结：小结：避免误差危害的若干原则避免误差危害的若干原则1.避免大数避免大数“吃吃”小数，多个数相加减时，按照小数，多个数相加减时，按照绝对值从小到大的顺序进行；绝对值从小到大的顺序进行；2.避免两个相近的数相减，可通过多取几位有效避免两个相近的数相减，可通过多取几位有效数字或改变公式来解决；数字或
14、改变公式来解决；3.避免分子的绝对值远远大于分母的绝对值的除避免分子的绝对值远远大于分母的绝对值的除法和绝对值很大的乘数的乘法；法和绝对值很大的乘数的乘法；4.注意简化计算步骤，减少运算次数。注意简化计算步骤，减少运算次数。6 6 算法举例算法举例例例6 计算计算解：算法解：算法1 先分别计算分子分母的值（各取先分别计算分子分母的值（各取9为小数）为小数）故应取故应取真实值：真实值：D=0.169481481例例6 计算计算算法算法2 分为三组因子，分别求得商后再相乘（每组取分为三组因子，分别求得商后再相乘（每组取6为小数）为小数）故应取故应取真实值：真实值：D=0.169481481例例7
15、求方程求方程x2-105x+1=0的根。的根。解：解：按照二次方程的求根公式按照二次方程的求根公式真实解真实解由由8位浮点数计算可得位浮点数计算可得改进方法：改进方法：1、增加浮点数（本题增至、增加浮点数（本题增至11位以上即可）；位以上即可）；“大数吃小数大数吃小数”、“两相近的数相减两相近的数相减”2、改进计算公式、改进计算公式计算可得计算可得解：算法解：算法1 采用递推公式采用递推公式 进行计算。进行计算。起始值起始值例例8 计算计算 的值。的值。依次计算依次计算算法算法2 采用递推公式采用递推公式 进行计算。进行计算。起始值起始值 依次计算依次计算 起始值具有相同的舍入误差限起始值具有
16、相同的舍入误差限=0.510-4，而计算结果，而计算结果（如下表如下表）却相差很远。）却相差很远。误差被依次放大为误差被依次放大为1!，2!，7!.“乘数越来越大乘数越来越大”第八章第八章 函数逼近函数逼近拟解决的问题：拟解决的问题：1.计算复杂的函数值计算复杂的函数值2.已知有限点集上的函数值，给出在包含该点集的已知有限点集上的函数值，给出在包含该点集的区间上函数的简单表达式区间上函数的简单表达式函数逼近函数逼近对函数类对函数类A中给定的函数中给定的函数f(x)，记作，记作 要求在另一类简单的便于计算的函数类要求在另一类简单的便于计算的函数类B中求函数中求函数 使使p(x)与与f(x)的误差在的误差在某种度量意义某种度量意义下最小。下最小。逼近问题逼近问题函数逼近函数逼近曲线拟合曲线拟合本章只讨论逼近函数为本章只讨论逼近函数为m次的代数多项式次的代数多项式pm(x)的情形。的情形。Rn中向量的范数：中向量的范数：1范数范数2范数范数范数范数用记号用记号 泛指任意一种范数。泛指任意一种范数。两函数两函数f(x),g(x)之间的距离可以用之间的距离可以用|f-g|来度量。来度量。度量函数
