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1、三角函数简史之数与弦角的概念会产生歧义 ,因为他既描述了两条相交直线之间“别离这个定性的概念 ,也描述了这种别离程度的数值角的度量 ,而在两个点之间的“别离上却没有这种歧义 ,因为线段和长度这两个概念能分得很清楚。好在我们不需要担忧这种混淆 ,因为在三角学中 ,我们只关注线段与角的性质当中可以量化的局部。?三角之美?三角学算是最古老的学科了 ,真要说起来 ,它的历史比平面几何还早 ,当然如果把早期的三角学计算也算作平面几何的一局部的话那另当别论。如今我们中学生接触三角学 ,是以直角三角形为基准 ,各边之比的定义得来的 ,然后到了高中就将三角函数定义放到圆和坐标系里 ,这一点倒是符合三角学的历史
2、开展的 ,数学史上第一份三角学资料 ,也是拿来解直角三角形。一：角度平面上的运动只有两种平移和旋转。平移的程度由距离和面积来度量 ,而旋转的程度那么由角度来度量 ,对长度的定义一直以来都没什么难度 ,确定一个单位长度标准就行了。对角度的定义却没那么简单角度描述两条相交直线之间的相离程度 ,到底多大程度才能定为一个标准？相对于距离来说 ,角度的大小更充满“定性的味道。好在巴比伦人利用了圆这一个标准他们将圆从圆心分成了360份 ,要衡量一个角度大小 ,只需要将角度的顶点与圆心重合 ,算出对应的弧长占圆周长的百分数 ,就能够衡量这个角的大小了。所以利用圆来衡量角度 ,大概是古人早已发现圆周角所对弧长
3、与圆周角之间简单的比例关系。圆与三角学的关系 ,从一开始就密不可分 ,往后也是。至于巴比伦人为何将圆分为360分 ,具体原因以及不可考 ,但很明显 ,这与巴比伦人一贯使用的六十进制有很大关系。其中有一个解释是 ,因为巴比伦人使用的是六十进制 ,所以实际上它们是将一个圆分成了六个进制 ,这样的一个好处就是分出来的每一份中对应的弦长与半径相等。另一个解释就是360份恰与一年的天数很接近。当然从未有任何证据说明这一点 ,一切都只是猜想 ,所以对于360的规定的具体原因已经不知。但这利用圆来衡量角度的方法一直很有效 ,流传至今。不久之后 ,希腊人采用了这一套系统 ,托勒密在他的?至大论?中就使用了这一
4、系统。一直以来 ,六十进制作为一种计数法 ,早已被十进制淘汰 ,但作为角度和时间的度量却一直流传下来 ,这种制度是如此受欢送 ,即使是在“公制化的创始地法国也无法被替代。这倒是很有趣的现象。到了近代 ,出现了另一种度量制度弧度制 ,1弧度就是圆上的弧长等于半径时所对的圆心角。我们经常听说采用弧度制的原因是能够用较小的数字表示角。实际上并非如此 ,采用弧度制的唯一原因是他能够简化许多公式 ,比方弧长公式将变成l=r ,扇形面积公式也将变得非常简单 ,弧度的应用去除了这些公式中“多余的因子/180.另一个事实是 ,弧度的采用将使得这个事实成立：一个很小的角和他的正弦值在数值上是近似相等的 ,也就是
5、sinx/x在x趋于零时其极限值趋近于1 ,这种近似假设采用弧度制将使得在x不是很小的时候就变得非常接近。因此使得弧度制在微积分学中变得非常重要。二：弦三角学一开始和圆扯上了关系 ,然后就与角度所对的弦长扯上了关系。在数学开展初期的巴比伦时期 ,人们就已经发现了三角形相似的性质 ,最后传到希腊 ,得到了进一步的应用 ,人类历史上第一位数学家泰勒斯据此计算出了埃及金字塔的高度 ,可谓是一大奇闻。现代意义上的“三角学一词 ,说来还得多亏了天文学 ,天文学的开展急需科学家求解各种各样的三角形 ,那时候自然还没有我们今日的什么正弦定理余弦定理可用。有一位叫西巴尔卡斯的科学家在这方面迈出了重要一步：他将
6、三角形置于圆中 ,这样三角形的边就变成了弦 ,为了计算三角形的各局部 ,就必须考察圆心角与弦长的关系。这事情自此以后成为了各个数学家在这方面的研究重点。第一本三角学著作出自于托勒密之手 ,他编制出了第一套“正弦函数表 ,当然并无正弦这一概念 ,这个表格继承了西巴尔卡斯的工作 ,列出了角度从0180变化时 ,对应的弦长 ,托勒密取将圆的半径定为60单位长度 ,为了方便 ,我们就不谈六十进制了。实际上相当于十进制中取10为半径 ,根据我们现在的认识 ,知道托勒密的表格实际上就是给出了一个sin(/2)表：与当今“教师一称最接近的“老师概念 ,最早也要追溯至宋元时期。金代元好问?示侄孙伯安?诗云：“
7、伯安入小学 ,颖悟非凡貌 ,属句有夙性 ,说字惊老师。于是看 ,宋元时期小学教师被称为“老师有案可稽。清代称主考官也为“老师 ,而一般学堂里的先生那么称为“教师或“教习。可见 ,“教师一说是比拟晚的事了。如今体会 ,“教师的含义比之“老师一说 ,具有资历和学识程度上较低一些的差异。辛亥革命后 ,教师与其他官员一样依法令任命 ,故又称“教师为“教员。宋以后 ,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习。到清末 ,学堂兴起 ,各科教师仍沿用“教习一称。其实“教谕在明清时还有学官一意 ,即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生
8、员者那么谓“教授和“学正。“教授“学正和“教谕的副手一律称“训导。于民间 ,特别是汉代以后 ,对于在“校或“学中传授经学者也称为“经师。在一些特定的讲学场合 ,比方书院、皇室 ,也称教师为“院长、西席、讲席等。d=2rsin(/2)=20sin(/2)观察内容的选择 ,我本着先静后动 ,由近及远的原那么 ,有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的 ,能理解的观察内容。随机观察也是不可少的 ,是相当有趣的 ,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等 ,孩子一边观察 ,一边提问 ,兴趣很浓。我提供的观察对象 ,注意形象逼真 ,色彩鲜明 ,大小适中 ,引导幼儿多角度多层面地进行观察 ,保证每个幼儿看得到 ,看得清。看得
9、清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法 ,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察 ,观察与说话相结合 ,在观察中积累词汇 ,理解词汇 ,如一次我抓住时机 ,引导幼儿观察雷雨 ,雷雨前天空急剧变化 ,乌云密布 ,我问幼儿乌云是什么样子的 ,有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。我加以肯定说“这是乌云滚滚。当幼儿看到闪电时 ,我告诉他“这叫电光闪闪。接着幼儿听到雷声惊叫起来 ,我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。一会儿下起了大雨 ,我问：“雨下得怎样?幼儿说大极了 ,我就舀一盆水往下一倒 ,作比拟观察 ,让幼儿掌握“倾盆大雨这个词。雨后 ,我又带幼儿观察
10、晴朗的天空 ,朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高 ,白云飘 ,鸟儿飞 ,树儿摇 ,太阳公公咪咪笑。这样抓住特征见景生情 ,幼儿不仅印象深刻 ,对雷雨前后气象变化的词语学得快 ,记得牢 ,而且会应用。我还在观察的根底上 ,引导幼儿联想 ,让他们与以往学的词语、生活经验联系起来 ,在开展想象力中开展语言。如啄木鸟的嘴是长长的 ,尖尖的 ,硬硬的 ,像医生用的手术刀样 ,给大树开刀治病。通过联想 ,幼儿能够生动形象地描述观察对象。今天我们可以看到一个有趣的现象 ,在圆心角与弦长d之间的关系重 ,我们需要先把圆心角除以2 ,最后的结果还要乘以20 ,这实际上是一个重复的过程 ,重复做这样的工作只是在浪费时间而已 ,几百年以后 ,终于有人将此表简化 ,不再考虑圆心角与弦长的关系 ,而是考察“弦长的一半与“圆心角的一半之间的关系。我们可以看出 ,这一看起来貌似简单的简化其实是一次伟大的进步本来只是等腰三角形的顶角与底边的关系 ,现在变成了直角三角形一锐角与对边的关系。如果我们注意到“圆周角是圆心角的一半这个结论 ,实际上这一进步以及在孕育着正弦定理。往后三角学正式慢慢脱离圆的束缚 ,转向了以直角三角形为根底 ,我们今天熟知的正弦余弦之比的定义由此变得清晰起来。4 / 4
