《线性代数之第5章.特征值和特征向量_矩阵的对角化课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数之第5章.特征值和特征向量_矩阵的对角化课件（87页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第5章章 特征值和特征向量、特征值和特征向量、矩阵的对角化矩阵的对角化第第5章章 特征值和特征向量、特征值和特征向量、矩阵的对角化矩阵的对角化矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量定义：定义：设A为复数C上的n阶矩阵，如果存在数C和非零的n维向量x，使得Ax=x，就称是矩阵A的特征值特征值，x是A的属于（或对应于）特征值的特征向量特征向量。注意：1)特征向量特征向量x0；2)特征值
2、问题是对方阵而言的特征值问题是对方阵而言的，本章的矩阵如不加说明，都是方阵。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量根据定义，n阶矩阵A的特征值，就是使齐次线性方程组 (IA)x=0有非零解的值，即满足方程 det(IA)=0的都是矩阵A的特征值。因此，特征值是的多项式det(IA)的根。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量定义：定义：设n阶矩阵A=(aij)，则：称为矩阵A的特征多项式特征多项式，IA称为A的特征矩阵特征矩阵，det(IA
3、)=0称为A的特征方程特征方程。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量显然，n阶矩阵A的特征多项式是的n次多项式。特征多项式的k重根也称为k重特征值。当n5时，特征多项式没有一般的求根公式，即使是三阶矩阵的特征多项式，一般也难以求根，所以求矩阵的特征值一般要采用近似计算的方法，它是计算方法课中的一个专题。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例矩阵的特征值和特征向量举例例1：求矩阵的特征值和特征向量。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向
4、量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例矩阵的特征值和特征向量举例解：矩阵A的特征方程为该特征矩阵的行列式的每行之和均为-3，将各列加到第1列，并将第1行乘-1加到第2、3行得：5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例矩阵的特征值和特征向量举例故A的特征值为13，22（二重特征值）。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例矩阵的特征值和特征向量举例当13时，由(1IA)x=0，即：得其基础解系为x1=(1,1,1)T，因此，k1x1（k1为非零任意常数）是A的对应于13的全部特征向
5、量。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例矩阵的特征值和特征向量举例当22时，由(2IA)x=0，即：得其基础解系为x2=(1,1,2)T，因此，k2x2（k2为非零任意常数）是A的对应于22的全部特征向量。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量举例矩阵的特征值和特征向量举例例2：主对角元为a11,a22,ann的对角矩阵对角矩阵A或上（下）三角矩阵B的特征多项式是：|IA|=|IB|=(a11)(a22)(ann)故故A，B的的n个特征值就是个特征值就是n个主对角元个主对角元。
6、5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质定理：定理：若x1和x2都是A的属于特征值0的特征向量，则k1x1+k2x2也是A的属于0的特征向量（其中k1，k2是任意常数，但k1x1+k2x20）。证：证：由于x1，x2是齐次线性方程组(0IA)x=0的解，因此k1x1+k2x2也是上式的解，故当k1x1+k2x20时，是A的属于0的特征向量。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质在在(0IA)x=0的解空间中，除零向量以外的全体解向的解空间中，
7、除零向量以外的全体解向量就是量就是A的属于特征值的属于特征值的全体特征向量的全体特征向量，因此(IA)x=0的解空间也称为矩阵矩阵A关于特征值关于特征值的特征子空间的特征子空间，记作V。n阶矩阵A的特征子空间是n维向量空间的子空间，它的维数为：dimV=nr(IA)5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质需要注意的是，n阶矩阵的特征值可能是复数，所以特征子空间一般是n维复向量空间Cn（见附录）的子空间。例1中矩阵A的两个特征子空间为：5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向
8、量的性质特征值和特征向量的性质定理：定理：设n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为1,2,n，则：证明过程见课本用*标注的部分。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质由前面定理的第2项可知：当当detA0（即（即A为可逆矩阵）为可逆矩阵）时，其特征值全为非零数；反之，奇异矩阵时，其特征值全为非零数；反之，奇异矩阵A至少有一至少有一个零特征值。个零特征值。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的。一个一个
9、特征向量不能属于不同的特征值特征向量不能属于不同的特征值，这是因为，如果x同时是A的属于特征值1,2(12)的特征向量，即有：Ax=1x 且 Ax=2x 则：1x=2x 即(1-2)x=0。由于1-2 0，则x=0，这与x0矛盾。矩阵的特征值和特征向量还有以下性质：5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质性质性质1：若是矩阵A的特征值，x是A的属于的特征向量，则：1)k是kA的特征值（k是任意常数）2)m是Am的特征值（m是正整数）3)当A可逆时，-1是A-1的特征值且x仍是矩阵kA,Am,A-1的分别对应于特征值k,
10、m,1/的特征向量。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质证：证：1）省略。2）由已知条件Ax=x，可得：A(Ax)=A(x)=(Ax)=(x)即 A2x=2x 再继续施行上述步骤m-2次，就得：Amx=mx 故m是矩阵Am的特征值，且x也是Am对应于m的特征向量。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质3)当A可逆时，0，由Ax=x可得：A-1(Ax)=A-1(x)=A-1x因此 A-1x=-1x故-1是A-1的特征值，且x也是A-1对应于
11、-1的特征向量。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质性质性质2：矩阵A和AT的特征值相同。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质证：证：因为(I-A)T=(I)T-AT=I-AT，所以 det(I-A)=det(I-AT)因此，A和AT有完全相同的特征值。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质例3：设1）求A的特征值和特征向量；2）求可逆矩阵P，使P-1AP为对
12、角阵。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质解：1）A的特征值为1=2=0（二重特征值）和3=-2。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质当1=0时，由(1I-A)x=0，即Ax=0得基础解系x1=(1,1,0)T和x2=(-1,0,1)T 故A对应于1=0的全体特征向量为k1x1+k2x2=k1(1,1,0)T+k2(-1,0,1)T 其中k1,k2为不全为零的任意常数。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似
13、矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质当3=-2时，由(3I-A)x=0，即：得基础解系为x3=(-1,-2,1)T，A对应于3=-2的全体特征向量为k3x3=k3(-1,-2,1)Tk3为非零任意常数。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质2）将Axi=ixi(i=1,2,3)排成矩阵等式取AP=P，且|P|=20，因此就得P-1AP=为对角阵。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质定义：定义：对于矩阵A和B，若存在可逆矩阵P，使P-1AP
14、=B，就称A相似于相似于B，记作AB。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质矩阵的相似关系也是一种等价关系，即也有以下三条性质。1）反身性：AA2）对称性：若AB，则BA3）传递性：若AB，BC，则AC证明略。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质相似矩阵有以下性质：1）P-1(k1A1+k2A2)P=k1P-1A1P+k2P-1A2P（其中k1,k2是任意常数）2）P-1(A1A2)P=(P-1A1P)(P-1A2P)3）若AB，则AmBm（m为正整数）5.1
15、矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质证：证：因为AB，所以存在可逆矩阵P，使 P-1AP=B于是 Bm=(P-1AP)(P-1AP)(P-1AP)=P-1AmP故 AmBm5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质定理：定理：相似矩阵的特征值相同。5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质证：证：只需证明相似矩阵有相同的特征多项式。设AB，则存在可逆矩阵P，使得：P-1AP=B于是|I-B|=|I-P-1AP|=
16、|P-1(I-A)P|=|P-1|I-A|P|=|I-A|5.1 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质必须注意，该定理的逆命题不成立，例如：都以1为二重特征值，但对于任何可逆矩阵P，都有P-1IP=IA，故A和I不相似。5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件所谓矩阵可对角化指的是，矩阵与对角阵相似。本节讨论矩阵可对角化的条件。其主要结论是：矩阵可对角化的充分必要条件是矩阵可对角化的充分必要条件是n阶矩阶矩阵有阵有n个线性无关的特征向量，或矩阵的每个特征值的个线性无关的特征向量，或矩阵的每个特征值的（代数）重数等于对应特征子空间的（几何）维数（代数）重数等于对应特征子空间的（几何）维数。今后我们常将主对角元为a1,a2,an的对角阵记作diag(a1,a2,an)，或记作。5.2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件从5.1节例3可见，当三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量x1,x2,x3时，取P=(x1,x2,x3)就有：P-1AP=diag(1,2,
