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1、4.1 稳定性基本概念稳定性基本概念4.2 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义4.3 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法4.4 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法4.5 线性定常系统渐近稳定性判别法线性定常系统渐近稳定性判别法第四章第四章 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论4.6构造李雅普诺夫函数的一些方法构造李雅普诺夫函数的一些方法11.正正确确理理解解稳稳定定性性基基本本概概念念和和李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义稳稳定性概念。定性概念。2.熟练掌握李氏第一法熟练掌握李氏第一法,李氏第二法。李氏第二法。3.掌掌握握线线性性系系统统渐渐近近稳稳定定性性分分析析和和离离散散系系统统渐渐
2、近近稳定性分析方法。稳定性分析方法。重点内容：重点内容：李李雅雅普普诺诺夫夫第第一一、第第二二法法的的主主要要定定义义与与定定理理，李雅普诺夫函数的构造。李雅普诺夫函数的构造。线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。教学要求：教学要求：2v研究的目的和意义研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。正常工作的必要条件，是一个重要特征。v要求：要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动
3、消失后，仍然能恢状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。状态继续工作。v稳定性：稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。关。3v经典控制理论稳定性判别方法：经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据v非线性系统：非线性系统：相平面法相平面法(适用于一，二阶非线适用于一，二阶非线性系统性系统)4v1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳年，俄国学
4、者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。多变量等系统。v应用：自适应控制，最优控制，非线性应用：自适应控制，最优控制，非线性控制等。控制等。5主要内容：主要内容：v李氏第一法（间接法）：李氏第一法（间接法）：求解特征方程求解特征方程 的特征值的特征值v李氏第二法（直接法）：李氏第二法（直接法）：利用经验和技利用经验和技巧来构造李氏函数巧来构造李氏函数64.1 稳定性基本概念稳定性基本概念 1.自治系统：自治系统：输入为输入为0的系统的系统 =Ax+Bu(u=0)
5、2.初态初态 =f(x,t)的解为的解为 初态初态 3.平衡状态：平衡状态：系统的平衡状态系统的平衡状态 a.线性系统线性系统 A非奇异：非奇异：A奇异：奇异：有无穷多个有无穷多个7b.非线性系统非线性系统 可能有多个可能有多个 例例4-1:令令84.孤立的平衡状态：孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。的邻域内不存在别的平衡状态。对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。坐标变换，把它变换到状态空间的原点。94.2 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义1.李雅普诺夫意义
6、下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定如果对每个实数如果对每个实数 都对应存在另一都对应存在另一个实数个实数 满足满足的的任意初始态任意初始态 出发的运动轨迹出发的运动轨迹，在在 都满足：都满足：10则则称称 是李雅普诺夫意义下稳定的。是李雅普诺夫意义下稳定的。时变：时变：与与 有关有关 定常系统：定常系统：与与 无关，无关，是一致稳定的。是一致稳定的。注意：注意：向量范数向量范数(表示空间距离表示空间距离)欧几里得范数。欧几里得范数。112.渐近稳定渐近稳定1）是李雅普诺夫意义下的稳定）是李雅普诺夫意义下的稳定2）一致渐近稳定一致渐近稳定3.大范围内渐近稳定性大范围内渐近稳定性对对 都有都有12初始
7、条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。v线性系统线性系统(严格严格)：如果它是渐近稳定的，必如果它是渐近稳定的，必 是有大范围渐近稳定性是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初线性系统稳定性与初 始条件的大小无关始条件的大小无关)。v非线性系统：非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛态空间出发的轨迹都收敛 或其附近。或其附近。13v当当 与与 无关无关 大范围一致渐近稳定。大范围一致渐近稳定。v必要条件：必要条件：在整个状态空间中只有一个平在整个状态空间中只有一个平衡状态衡状态 4.不稳定性：不稳定性：不管
8、不管 ，有多小，只要有多小，只要 内由内由 出发的轨迹超出出发的轨迹超出 以外，则称此以外，则称此平衡状态是不稳定的。平衡状态是不稳定的。14线性系统的平衡状态不稳定线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。表征系统不稳定。非线性系统的平衡状态不稳定非线性系统的平衡状态不稳定 只说明轨迹离只说明轨迹离开了开了S(），这说明平衡状态是不稳定的。然），这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在轨迹还可能趋于在S(）外的某个极限环）外的某个极限环,若存若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳在极限环，则系统仍是李雅
9、普诺夫意义下的稳定。定。15图图4.1（a）稳定平衡状态及一条典型轨迹）稳定平衡状态及一条典型轨迹（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹）不稳定平衡状态及一条典型轨迹164.3 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法（间接法）（间接法）利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。1.线性定常系统稳定性的特征值判据线性定常系统稳定性的特征值判据1）李雅普诺夫意义下的李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：稳定的充要条件：2）渐近稳定的充要条件：）渐近稳定的充要条件：3）不）不稳定的充要条件：稳定的充要条件：172
10、.非非线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析假定非线性系统在平衡状态附近可展假定非线性系统在平衡状态附近可展开成台劳级数，可用线性化系统的特征值开成台劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。性。设非线性系统状态方程：设非线性系统状态方程：在平衡状态在平衡状态 附近存在各阶偏导数，附近存在各阶偏导数，于是：于是：-非线性函数非线性函数18其中：其中：-级数展开式中二阶以上各项之和级数展开式中二阶以上各项之和19v上式为上式为向量函数的向量函数的雅可比矩阵雅可比矩阵。令令 则线性化系统方程为：则线性化系统方程为：20结论：结论：1
11、)若若 ，则非线性系，则非线性系统在统在 处是处是渐近稳定的渐近稳定的，与，与 无关。无关。2)若若 ,则非线性系统则非线性系统不稳定不稳定。3)若若 ，稳定性与稳定性与 有关，有关，则是李雅普诺夫意义下的稳定。则是李雅普诺夫意义下的稳定。21例例4-2：已知非线性系统的状态方程为：已知非线性系统的状态方程为：试分析系统在平衡状态处的稳定性。试分析系统在平衡状态处的稳定性。解：解：令令2223可见非线性系统在平衡状态可见非线性系统在平衡状态xe1处不稳定。处不稳定。不能确定非线性系统在平衡状态不能确定非线性系统在平衡状态xe2处稳定性。处稳定性。244.4 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法(直
12、接法直接法)v4.4.1 预备知识预备知识252627 本店经营各类毛绒玩具礼品、公仔、靠垫、挂件等本店经营各类毛绒玩具礼品、公仔、靠垫、挂件等等，支持批发零售，欢迎来样看样定做生产。为了赚人等，支持批发零售，欢迎来样看样定做生产。为了赚人气，本店所有商品批发价销售，超低秒杀！虽然我们的气，本店所有商品批发价销售，超低秒杀！虽然我们的信誉不高，但我们会以诚信为本，为您提供质高价廉的信誉不高，但我们会以诚信为本，为您提供质高价廉的商品和优质的服务！祝您购物愉快！商品和优质的服务！祝您购物愉快！欢迎大家来逛逛欢迎大家来逛逛【扬州五亭龙玩具总动员扬州五亭龙玩具总动员】个人小广告：个人小广告：28 5
13、.V(x)不定不定:v(x)0或或V(x)0 则则 V(x)是不定的。是不定的。如：如：29302.如果如果P是奇异矩是奇异矩阵阵，且它的所有主子行列式均非，且它的所有主子行列式均非负负，则则是正半定的。是正半定的。3.如果如果矩矩阵阵P的的奇数奇数阶阶主子行列式主子行列式为为负负值值，偶数阶偶数阶主子行列式为正值，则主子行列式为正值，则是是负负定的。定的。即即:3132v4.4.2 几个稳定性定理几个稳定性定理 设系统状态方程：设系统状态方程：其平衡状态满足其平衡状态满足 ，假定状假定状态空间原点态空间原点作为平衡状态作为平衡状态()，并设在，并设在原点邻域存在原点邻域存在 对对 x 的连续
14、的一阶偏导的连续的一阶偏导数。数。33v定理定理1：若若(1)正定；正定；(2)负定；负定；则原点是渐近稳定的。则原点是渐近稳定的。(3)当当 时时 ,则系统在原点处是大范围渐近稳定的。则系统在原点处是大范围渐近稳定的。说明：说明：负定负定 能量随时间连续单调能量随时间连续单调衰减。衰减。v定理定理2：若若(1)正定；正定；(2)负半定；负半定；(3)在非零状态不恒为在非零状态不恒为零，零，则原点是渐近稳定的。则原点是渐近稳定的。34说明：不存在说明：不存在 ，经历能量等于恒定，但不维持在该状态。经历能量等于恒定，但不维持在该状态。v定理定理3：若若(1)正定；正定；(2)负半定；负半定；(3
15、)在非零状态恒为零；在非零状态恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。35说明：说明：系统维持等系统维持等能量水平运动，使能量水平运动，使 维持在非零维持在非零状态而不运行至原点。状态而不运行至原点。v定理定理4：若若(1)正定；正定；(2)正定正定 则原点是不稳定的。则原点是不稳定的。说明：说明：正定正定 能量函数随时间增能量函数随时间增大，大，在在 处发散。处发散。36v推论推论1：当当 正定，正定，正半定，正半定，且且 在非零状态不恒为零时在非零状态不恒为零时,则原则原点不稳定。点不稳定。v推论推论2：正定，正定，负半定，若负半定，若 ，则原点是李雅普诺夫
16、，则原点是李雅普诺夫意义下稳定意义下稳定(同定理同定理3)。37几点说明：几点说明：1)选取不唯一，但没有通用办法，选取不唯一，但没有通用办法，选取不当，会导致选取不当，会导致 不定的结果。不定的结果。2)这仅仅是充分条件。这仅仅是充分条件。-单调衰减单调衰减(实际上是衰减振荡实际上是衰减振荡)38选取李雅普诺夫函数的方法选取李雅普诺夫函数的方法:构造一个构造一个 二次型函数；二次型函数；1)求求 ，并代入状态方程；，并代入状态方程；2)判断判断 的定号性；的定号性；3)判断非零状态情况下，判断非零状态情况下，是否为零。是否为零。渐近稳定渐近稳定李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定不稳定不稳定39v令令 若若 成立成立 李氏意义下稳定李氏意义下稳定 若仅若仅 成立成立 渐近稳定渐近稳定 若若 负半定负半定40例例4-3：已知非线性系统的状态方程为：已知非线性系统的状态方程为：试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。解：解：令令原点是唯一平衡点原点是唯一平衡点41设设则则负定负定1)原点是渐近稳定的；原点是渐近稳定的；2)只有一个平衡状态，该系统是大范围渐
