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1、第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示第1课时 集合的含义一、元素与集合一、元素与集合1.1.定义：定义：(1)(1)元素：一般地，把所研究的元素：一般地，把所研究的_统称为元素，常用小写的统称为元素，常用小写的拉丁字母拉丁字母a,b,ca,b,c，表示表示.(2)(2)集合：一些元素组成的总体，简称为集合：一些元素组成的总体，简称为_，常用大写拉丁字，常用大写拉丁字母母A,B,CA,B,C，表示表示.2.2.集合相等：指构成两个集合的元素是集合相等：指构成两个集合的元素是_的的.3.3.集合中元素的特性：集合中元素的特性：_、_和和_._.对象对象集集一样一样确定性确
2、定性互异性互异性无序性无序性4.4.元素与集合的关系元素与集合的关系 判断：判断：(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素在一个集合中可以找到两个相同的元素.().()(2)(2)漂亮的花组成集合漂亮的花组成集合.().()(3)(3)本班所有的姓氏组成集合本班所有的姓氏组成集合.().()(4)(4)由由3 3个不同的元素进行排序可以构成个不同的元素进行排序可以构成6 6个不同的集合个不同的集合.().()提示：提示：(1)(1)错误错误.集合中元素满足互异性集合中元素满足互异性.(2)(2)错误错误.因为什么样的花是漂亮的花不确
3、定，所以漂亮的花因为什么样的花是漂亮的花不确定，所以漂亮的花构不成集合构不成集合.(3)(3)正确正确.因为本班的姓氏是一定的，确定的，所以能组成集因为本班的姓氏是一定的，确定的，所以能组成集合合.(4)(4)错误错误.集合中元素满足无序性集合中元素满足无序性.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)二、常用的数集及其记法二、常用的数集及其记法数集数集非负整数集非负整数集正整数集正整数集整数集整数集有理数集有理数集实数集实数集符号符号_N NN N*或或N N+Z ZQ QR R思思考：考：N N与与N N+(或或N N*)有何区别？有何区别？提示：提示：N N+是所有正整
4、数组成的集合，而是所有正整数组成的集合，而N N是由是由0 0和所有的正整数和所有的正整数组成的集合，所以组成的集合，所以N N比比N N+(或或N N*)多一个元素多一个元素0.0.【知识点拨知识点拨】1.1.对集合相关概念的理解对集合相关概念的理解(1)(1)集合的含义：集合是数学中不加定义的原始概念，我们只集合的含义：集合是数学中不加定义的原始概念，我们只对它进行描述性说明，其本质是某些确定元素组成的总体对它进行描述性说明，其本质是某些确定元素组成的总体.(2)(2)元素：集合中的元素：集合中的“元素元素”所指的范围非常广泛，现实生活所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、所触
5、摸到的、所能想到的各种各样中我们看到的、听到的、所触摸到的、所能想到的各种各样的事物或一些抽象符号等，都可以看作集合的元素的事物或一些抽象符号等，都可以看作集合的元素.(3)(3)整体：集合是一个整体，已暗含整体：集合是一个整体，已暗含“所有所有”“”“全部全部”“”“全体全体”的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而并非个别对象这些对象的全体，而并非个别对象.2.2.集合中元素的三个特性集合中元素的三个特性(1)(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的
6、，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，确定的要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合(2)(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的给定的集合，它的任何两个元素都是不同的(3)(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a a，b b
7、，c c与由元素与由元素b b，a a，c c组成的集合是相等的集合这个性质通组成的集合是相等的集合这个性质通常用来判断两个集合的关系常用来判断两个集合的关系3.3.元素和集合之间的关系元素和集合之间的关系(1)(1)根据集合中元素的确定性可知，对任何元素根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a a和集合和集合A A，在，在aAaA和和a a A A两种情况中有且只有一种成立两种情况中有且只有一种成立.(2)(2)符号符号“”和和“”只是表示元素与集合之间的关系只是表示元素与集合之间的关系.4.4.对一些常用的数集及其记法要关注的两点对一些常用的数集及其记法要关注的两点类型类型 一一 集合的判
8、定集合的判定 【典型例题典型例题】1.1.下列说法中正确的序号是下列说法中正确的序号是 .高一高一(四四)班学习成绩较好的同学组成一个集合；班学习成绩较好的同学组成一个集合；中国海洋大学中国海洋大学20132013级大一新生组成一个集合；级大一新生组成一个集合；参加参加20122012年伦敦奥运会的所有国家组成一个集合；年伦敦奥运会的所有国家组成一个集合；未来世界的高科技产品组成一个集合未来世界的高科技产品组成一个集合.2.2.判断下列说法是否正确，并说明理由判断下列说法是否正确，并说明理由(1)1,0.5(1)1,0.5，组成的集合含有四个元素组成的集合含有四个元素.(2)(2)方程方程x
9、x2 2+2x+1=0+2x+1=0的解集中有两个元素的解集中有两个元素.(3)(3)组成单词组成单词chinachina的字母组成一个集合的字母组成一个集合.【解题探究解题探究】1.1.集合中的元素有哪些特性？集合中的元素有哪些特性？2.2.集合中的元素能重复吗？集合中的元素能重复吗？探究提示：探究提示：1.1.集合中的元素有三个特性，即确定性、互异性和无序性集合中的元素有三个特性，即确定性、互异性和无序性.2.2.构成集合的元素必须是不相同的，即集合元素具有互异性，构成集合的元素必须是不相同的，即集合元素具有互异性，相同的元素只能算作一个相同的元素只能算作一个.【解析解析】1.1.不正确不
10、正确.因为成绩较好没有明确的标准因为成绩较好没有明确的标准正确中国海洋大学正确中国海洋大学20132013级大一新生是确定的，明确的级大一新生是确定的，明确的正确因为参加正确因为参加20122012年伦敦奥运会的所有国家是确定的，年伦敦奥运会的所有国家是确定的，明确的明确的不正确因为高科技产品的标准不确定不正确因为高科技产品的标准不确定答案：答案：2.(1)2.(1)不正确对一个集合，它的元素必须是互异的，由于不正确对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.50.5 ，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素三个元素(2)(2)不正确不
11、正确.因为方程虽有两个相等的实根，但其解集中只有因为方程虽有两个相等的实根，但其解集中只有一个元素一个元素-1.-1.(3)(3)正确正确.因为组成单词因为组成单词chinachina的字母是确定的的字母是确定的.【拓展提升拓展提升】判断一组对象组成集合的依据及流程判断一组对象组成集合的依据及流程(1)(1)依据：元素的确定性是判断的依据依据：元素的确定性是判断的依据.如果考察的对象是确定如果考察的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合的，就能组成集合，否则不能组成集合.(2)(2)流程：找出对象流程：找出对象 判断确定性判断确定性 验证互异性验证互异性 得出结论得出结论【变式训练变式训
12、练】1.1.下列对象能组成集合的是下列对象能组成集合的是()()A.A.充分小的负数全体充分小的负数全体B.B.爱好音乐的一些人爱好音乐的一些人C.C.某班本学期视力较差的同学某班本学期视力较差的同学D.D.某校某班某一天所有课程某校某班某一天所有课程【解析解析】选选D.AD.A，B B，C C的对象不确定，唯有的对象不确定，唯有D D某校某班某一天某校某班某一天所有课程是确定的，故能形成集合的是所有课程是确定的，故能形成集合的是D.D.2.2.指出下列集合中的元素：指出下列集合中的元素：(1)young(1)young中的字母组成的集合中的字母组成的集合.(2)book(2)book中的字母
13、组成的集合中的字母组成的集合.【解析解析】(1)(1)单词单词youngyoung中的字母互不相同，其组成的集合中中的字母互不相同，其组成的集合中有有5 5个元素，分别是个元素，分别是y y，o o，u u，n n，g.(2)g.(2)单词单词bookbook中的字母有中的字母有两个是相同的，其组成的集合中元素有两个是相同的，其组成的集合中元素有3 3个，分别是个，分别是b b，o o，k.k.类型类型 二二 元素和集合的关系元素和集合的关系 【典型例题典型例题】1.(20131.(2013临沂高一检测临沂高一检测)下列所给关系中正确的个数是下列所给关系中正确的个数是()()RR；Q Q；0N
14、0N*；|4|4|N N*.A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.42.2.设直线设直线y y2x2x3 3上的点集为上的点集为P P，点，点(2,7)(2,7)与点集与点集P P的关系为的关系为(2,7)_P(2,7)_P(填填“”“”或或“”).).【解题探究解题探究】1.1.常用数集有哪些？分别是指哪些数组成的集常用数集有哪些？分别是指哪些数组成的集合？合？2.2.判断一个元素是否是某个集合的元素的关键是什么？判断一个元素是否是某个集合的元素的关键是什么？探究提示：探究提示：1.1.常用的数集有常用的数集有“N N”，表示非负整数集；，表示非负整数集；“N N*”或或
15、“N N+”，表示正整数集；表示正整数集；“Z Z”，表示整数集；，表示整数集；“Q Q”，表示有理数集；，表示有理数集；“R R”，表示实数集，表示实数集.2.2.判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具备就是，否则不是具有这个集合中元素的特征，若具备就是，否则不是.【解析解析】1.1.选选B.B.根据各数集的意义可知，根据各数集的意义可知，正确，正确，错错误误2.2.直线直线y y2x2x3 3上的点的横坐标上的点的横坐标x x和纵坐标和纵坐标y y具有具有y y2x2x3 3的的关系，即只要具备此关
16、系的点就是集合关系，即只要具备此关系的点就是集合P P的元素的元素.由于当由于当x x2 2时，时，y y22223 37 7，故，故(2,7)P.(2,7)P.答案：答案：【互动探究互动探究】题题2 2中，集合中，集合P P不变，则不变，则2 2与集合与集合P P的关系是什么的关系是什么？(3,4)(3,4)与集合与集合P P又有什么关系？又有什么关系？【解题指南解题指南】充分理解数集和点集的区别是正确解答本题的充分理解数集和点集的区别是正确解答本题的关键关键.【解析解析】由于由于2 2是实数，而集合是实数，而集合P P是点集，故是点集，故2 2 P P；由于当由于当x x3 3时，时，y y23233 39494，故，故(3,4)(3,4)P.P.【拓展提升拓展提升】判断元素和集合关系的两种方法判断元素和集合关系的两种方法直直接接法法如果集合中的元素是直接给出的如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素只要判断该元素在已知集合中是否出现即可在已知集合中是否出现即可.此时应首先明确集合此时应首先明确集合是由哪些元素构成是由哪些元素构成.推推理理法法对于某些不便直接表示的集合对于某些
