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1、祝您考上理想学校 加油！绝密启用前试卷类型:A2022年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的
2、答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若集合,则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合后可求.详解】,故,故选:D2. 若,则（）A. B. C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法可求,从而可求.【详解】由题设有,故,故,故选:D3. 在中,点D在边AB上,记,则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运
3、算即可解出【详解】因为点D在边AB上,所以,即,所以故选:B4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时,相应水面的面积为；水位为海拔时,相应水面的面积为,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔上升到时,增加的水量约为（）（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高,即可利用棱台的体积公式求出【详解】依题意可知棱台的高为(m),所以增加的水量即为棱台的体积棱台上底面积,下底面积,故选:C5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为（）A. B. C. D. 【答
4、案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有种不同的取法,若两数不互质,不同的取法有:,共7种,故所求概率.故选:D.6. 记函数的最小正周期为T若,且的图象关于点中心对称,则（）A. 1B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数,进而可得函数解析式,代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足,得,解得,又因为函数图象关于点对称,所以,且,所以,所以,所以.故选:A7. 设,则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数,导数判断其单调性,由此确定大小.【详解】设
5、,因为,当时,当时,所以函数在单调递减,在上单调递增,所以,所以,故,即,所以,所以,故,所以,故,设,则,令,当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,又,所以当时,所以当时,函数单调递增,所以,即,所以故选:C.8. 已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为,且,则该正四棱锥体积的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为,由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系,由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】球的体积为,所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为,高为,则,所以,所以正四棱锥的体积,所以,当时,当时,所以当时,正
6、四棱锥的体积取最大值,最大值为,又时,时,所以正四棱锥的体积的最小值为,所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选:C.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9. 已知正方体,则（）A. 直线与所成的角为B. 直线与所成的角为C. 直线与平面所成的角为D. 直线与平面ABCD所成的角为【答案】ABD【解析】【分析】数形结合,依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图,连接、,因为,所以直线与所成的角即为直线与所成的角,因为四边形为正方形,则,故直线与所成的角为,A正确；连接,因为平面,平面,则,因为,所以
7、平面,又平面,所以,故B正确；连接,设,连接,因为平面,平面,则,因为,所以平面,所以为直线与平面所成的角,设正方体棱长为,则,所以,直线与平面所成的角为,故C错误；因为平面,所以为直线与平面所成的角,易得,故D正确.故选:ABD10. 已知函数,则（）A. 有两个极值点B. 有三个零点C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线【答案】AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A,结合的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题,令得或,令得,所以在上单调递减,在,上单调递增,所以是极值点,故A正确；因,所以,函数在上有一个零点,当时,即函数在上无零点,
8、综上所述,函数有一个零点,故B错误；令,该函数的定义域为,则是奇函数,是的对称中心,将的图象向上移动一个单位得到的图象,所以点是曲线的对称中心,故C正确；令,可得,又,当切点为时,切线方程为,当切点为时,切线方程为,故D错误.故选:AC11. 已知O为坐标原点,点在抛物线上,过点的直线交C于P,Q两点,则（）A. C的准线为B. 直线AB与C相切C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A,联立AB与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点的代入抛物线方程得,所以抛物线方程为,故准线方程为,A错误；,所以直线的方程为,联立,可得,解得,故
9、B正确；设过的直线为,若直线与轴重合,则直线与抛物线只有一个交点,所以,直线的斜率存在,设其方程为,联立,得,所以,所以或,又,所以,故C正确；因为,所以,而,故D正确.故选:BCD12. 已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则（）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性,结合原函数与导函数图象的关系,根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为,均为偶函数,所以即,所以,则,故C正确；函数,的图象分别关于直线对称,又,且函数可导,所以,所以,所以,所以,故B正确,D错误；若函数满足题设条件,则函数（C为常数）也满足题设条件,所以无法确定的
10、函数值,故A错误.故选:BC.【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质,准确把握原函数与导函数图象间的关系,准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 的展开式中的系数为_（用数字作答）【答案】-28【解析】【分析】可化为,结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为,所以的展开式中含的项为,的展开式中的系数为-28故答案为:-2814. 写出与圆和都相切的一条直线的方程_【答案】或或【解析】【分析】先判断两圆位置关系,分情况讨论即可.【详解】圆的圆心为,半径为,圆的圆心为,半径为,两圆圆心距为,等于两圆半径之和,
11、故两圆外切,如图,当切线为l时,因为,所以,设方程为O到l的距离,解得,所以l的方程为,当切线为m时,设直线方程为,其中,由题意,解得,当切线为n时,易知切线方程为,故答案为:或或.15. 若曲线有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】设出切点横坐标,利用导数的几何意义求得切线方程,根据切线经过原点得到关于的方程,根据此方程应有两个不同的实数根,求得的取值范围.【详解】,设切点为,则,切线斜率,切线方程为:,切线过原点,整理得:,切线有两条,解得或,的取值范围是,故答案为:16. 已知椭圆,C的上顶点为A,两个焦点为,离心率为过且垂直于的直线与C交于D,E两点,则的周
12、长是_【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为,根据离心率得到直线的斜率,进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率,写出直线的方程:,代入椭圆方程,整理化简得到:,利用弦长公式求得,得,根据对称性将的周长转化为的周长,利用椭圆的定义得到周长为.【详解】椭圆的离心率为,椭圆的方程为,不妨设左焦点为,右焦点为,如图所示,为正三角形,过且垂直于的直线与C交于D,E两点,为线段的垂直平分线,直线的斜率为,斜率倒数为, 直线的方程:,代入椭圆方程,整理化简得到:,判别式, , 得, 为线段的垂直平分线,根据对称性,的周长等于的周长,利用椭圆的定义得到周长为.故答案为:13.四、解答题:本题共6
13、小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 记为数列的前n项和,已知是公差为的等差数列（1）求的通项公式；（2）证明:【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得,得到,利用和与项的关系得到当时,进而得:,利用累乘法求得,检验对于也成立,得到的通项公式；（2）由（1）的结论,利用裂项求和法得到,进而证得.【小问1详解】,又是公差为的等差数列,当时,整理得:,即,显然对于也成立,的通项公式；【小问2详解】18. 记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知（1）若,求B；（2）求的最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及
14、两角差的余弦公式可将化成,再结合,即可求出；（2）由（1）知,再利用正弦定理以及二倍角公式将化成,然后利用基本不等式即可解出【小问1详解】因为,即,而,所以；【小问2详解】由（1）知,所以,而,所以,即有所以当且仅当时取等号,所以的最小值为19. 如图,直三棱柱的体积为4,的面积为（1）求A到平面的距离；（2）设D为的中点,平面平面,求二面角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得平面,建立空间直角坐标系,利用空间向量法即可得解.【小问1详解】在直三棱柱中,设点A到平面的距离为h,则,解得,所以点A到平面的距离为；【小问2详解】取的中点E,连接AE,如图,因为,所
